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第 41 讲直线方程
【基础知识全通关】
一、直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，如果把 轴绕着交点按逆时针方向旋转
到和直线重合时所转的最小正角记为 ，则 叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和 轴平行或重合时，直线倾斜角为 ，所以，倾斜角的范围是
．
【点石成金】
1.要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；
②x轴正向；
③小于 的角.
2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的
角.
3.倾斜角α 的范围是 .当 时，直线与x轴平行或与x轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以
唯一确定直线的位置.
二、直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 表示，即
．
【点石成金】
l
(1)当直线 与x轴平行或重合时， =0°，k=tan0°=0；
l
(2)直线 与x轴垂直时， =90°，k不存在.
l
由此可知，一条直线 的倾斜角 一定存在，但是斜率k不一定存在.
2．直线的倾斜角 与斜率 之间的关系
由斜率的定义可知，当 在 范围内时，直线的斜率大于零；当 在 范
围内时，直线的斜率小于零；当 时，直线的斜率为零；当 时，直线的斜率
不存在．直线的斜率与直线的倾斜角( 除外)为一一对应关系，且在 和
范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．
因此若需在 或 范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反
之亦然．三、斜率公式
已知点 、 ，且 与 轴不垂直，过两点 、 的直
线斜率公式 .
【点石成金】
1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1) 当x=x 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 =90°，直线与x轴垂
1 2
直；
(2)k与P 、P 的顺序无关，即y ，y 和x ，x 在公式中的前后次序可以同时交换，但分子
1 2 1 2 1 2
与分母不能交换；
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当y=y 时，斜率k=0，直线的倾斜角 =0°，直线与x轴平行或重合；
1 2
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由 、 点的坐标求 的值；
(2)已知 及 中的三个量可求第四个量；
(3)已知 及 、 的横坐标(或纵坐标)可求 ；
(4)证明三点共线.
四：直线的点斜式方程
y−y =k(x−x ) y−y =k(x−x )
方程 0 0 由直线上一定点及其斜率决定，我们把 0 0 叫做直
线的点斜式方程，简称点斜式.
【点石成金】
1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能
表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
y=y
2.当直线 的倾斜角为0°时，直线方程为 1；
3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:
x=x
1.
P (x ,y ) y−y =k(x−x )
4. 表示直线去掉一个点 0 0 0 ； 0 0 表示一条直线.
五：直线的斜截式方程
如果直线 l 的斜率为 k ，且与 y轴的交点为 (0,b) ，根据直线的点斜式方程可得
y−b=k(x−0) ，即 y=kx+b .我们把直线 l 与y轴的交点 (0,b) 的纵坐标 b 叫做直线 l
在y轴上的截距，方程 y=kx+b 由直线的斜率 k 与它在y轴上的截距 b 确定，所以方程
y=kx+b
叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.【点石成金】
1.b为直线 在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大
于或等于零；
2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；
3.当
k≠0
时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直
线.
5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程
y=kx+b
中， k 是直线的斜率， b 是直线在y轴
上的截距.
六：直线的两点式方程
P (x ,y ),P (x ,y ) x ≠x , y ≠y
经 过 两 点 1 1 1 2 2 2 ( 其 中 1 2 1 2) 的 直 线 方 程 为
，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.
【点石成金】
1.这个方程由直线上两点确定；
0(y =y )
2.当直线没有斜率( )或斜率为 1 2 时，不能用两点式求出它的方程.
P (x ,y ),P (x ,y )
3.直线方程的的表示与 1 1 1 2 2 2 选择的顺序无关.
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式 通过
交叉相乘转化为整式形式 ，从而得到的方程中，包含
了x=x 或y=y 的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 、x
1 2 1 2 1 2
和y、y 是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
1 2
七：直线的截距式方程
l a≠0,b≠0
若直线 与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中 ，则过AB
x y
+ =1
a b
两点的直线方程为 ，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截
距，b叫做直线在y轴上的截距.
【点石成金】
a≠0,b≠0
1.截距式的条件是 ，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标
轴平行的直线.
2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴
上的截距.
3．截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况．
八：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B
不全为零)叫做直线方程的一般式．
【点石成金】
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.
当B≠0时，方程③可变形为 ，它表示过点 ，斜率为 的直线．
当B=0，A≠0时，方程③可变形为Ax+C=0，即 ，它表示一条与x轴垂直的直线．
由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过
来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1
的直线，其方程可以是 2x―y+1=0，也可以是 ，还可以是 4x―2y+2=0
等．）
九：中点坐标公式
若两点 P(x ，y)、P(x ，y)，且线段 的中点坐标为(x，y)，则 x= ，y=
1 1 1 2 2 2
，则此公式为线段 的中点坐标公式．
十：直线方程的不同形式间的关系
直线方程的五种形式的比较如下表：
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 y―y=k(x―x) （x，y）是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴
1 1 1 1
斜截式 y=kx+b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴
两点式 （x ，y ），（x ，y ）是直线上两定 不垂直于x轴和y轴
1 1 2 2
点
截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直 不垂直于 x 轴和 y
线在y轴上的非零截距 轴，且不过原点
一般式 Ax+By+C=0（A2+B2≠0） A、B、C为系数 任何位置的直线
【点石成金】
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种
形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x≠x ，
1 2
y≠y ），应用时若采用(y―y)(x―x)―(x―x)(y―y)=0的形式，即可消除局限性．截距
1 2 2 1 1 2 1 1
式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存
在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为
斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
十一：直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需
要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一
点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜
率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点
式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较
方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．
【考点研习一点通】
考点01直线的倾斜角与斜率
例1．设直线 与x轴的交点为P，且倾斜角为 ，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，
得到直线 的倾斜角为 +45°，则（ ）
A．0°≤ ＜90° B．0°≤ ＜135° C．0°＜ ≤135° D．0°＜ ＜135°
【答案】D
【解析】 ∵ ， +45°均为倾斜角，
∴ ，∴0°≤ ＜135°．
又∵直线 与x轴相交，∴ ≠0°．故选D．
【总结】
（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；② x轴的正方向；③小于平角的
正角．
（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．
（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾
斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜
角，二者缺一不可．
【变式1-1】下列说法正确的是________．
①若两直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合；
②若一直线的倾斜角为150°，则此直线关于y轴的对称直线的倾斜角为30°；
③若 ，2 ，3 分别为三条直线的倾斜角，则 不大于60°；
④若倾斜角 =90°，则此直线与坐标轴垂直．
考点02过两点的直线斜率公式的应用
例2．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
（1）（1，―1），（―3，2）；（2）（1，―2），（5，―2）；（3）（3，4），
（―2，―5）；（4）（3，0），（3， ）．
【答案】（1） （2）0（3） （4）不存在【解析】 当倾斜角 =90°时，斜率不存在；当 ≠90°时， ．
（1） ；（2） ；（3） ；（4）∵倾斜
角 =90°，∴k不存在．
【总结】 应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两
点的连线必与x轴垂直，即直线的倾斜角为90°，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式
求斜率．事实上，此时若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存
在；其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标
和横坐标．
【变式2-1】 直线 过点A（1，2），B（m，3），求 的斜率．
【变式2-2】已知A（a，2），B（5，1），C（―4，2a）三点在同一条直线上，求a的
值．
考点03点斜式直线方程
例3．求满足下列条件的直线方程。
（1）过点P（－4，3），斜率k=－3；
（2）过点A（－1，4），倾斜角为135°；
（3）过点P（3，－4），且与x轴平行；
（4）过点P（5，－2），且与y轴平行．
【答案】（1）3x+y+9=0（2）x+y－3=0（3）y=－4（4）x=5
【解析】
（1）∵直线过点P（－4，3），斜率k=－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3=－
3(x+4)，即3x+y+9=0．
（2）∵倾斜角为135°，∴k=tan 135°=－1，∴直线方程为y－4=－(x+1)，即x+y－3=0．
（3）与 x 轴平行的直线，其斜率 k=0，由直线方程的点斜式可得直线方程为 y－(－
4)=0×(x－3)，即y=－4。
（4）与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标
均为5，故直线方程为x=5。
【总结】点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线
方程为x=x．
0
【变式3-1】根据条件写出下列各题中的直线方程：
（1）经过点A（1，2），斜率为2；
（2）经过点B（1，4），倾斜角为135°；
（3）经过点C（4，2），倾斜角为90°；
（4）经过点D（―3，―2），且与x轴平行。
考点04斜截式直线方程
例4．（1）写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；
（2）求过点A（6，－4），斜率为 的直线方程的斜截式；
（3）已知直线方程为2x+y－1=0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐
标．
【答案】（1）y=－x－2（2） （3）k=－2，b=1，（0，1）
【解析】 （1）易知k=－1，b=－2，
由直线方程的斜截式知，
所求直线方程为y=－x－2．
（2）由于直线的斜率 ，且过点A（6，－4），
根据直线方程的点斜式得直线方程为 ，
化为斜截式为 ．
（3）直线方程2x+y－1=0，可化为y=－2x+1，
由直线方程的斜截式知，
直线与y轴交点的坐标为（0，1）。
【总结】
（1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率k和直线在y轴上
的截距b。
（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参
数k、b即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数k、x 、y 才能确定，而且它
0 0
的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化
繁为简的作用。如仅知道直线的斜率为k=2，则我们可设直线方程为y=2x+b，再根据其他
条件来求b的值。这种以“退”为进的思想方法是我们数学中常用的思想方法。类似地，若知道直线在y轴上的截距为2，则可设直线方程为y=kx+2（直线斜率存在的情况下）。
（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用。
【变式4-1】(1)写出倾斜角是 ，在y轴上的截距是-2直线的斜截式方程；
（2）写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？
【变式4-2】三角形的顶点坐标分别为A（―5，0），B（3，―3），C（0，2），求这个
三角形三边所在直线的方程。
考点05两点式直线方程
例5．已知△ABC三个顶点坐标A（2，－1），B（2，2），C（4，1），求三角形三条边
所在的直线方程．
【答案】x=2，x―y―3=0，x+2y―6=0
【解析】 ∵A（2，－1），B（2，2），A、B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故
其方程为x=2。
∵A（2，－1），C（4，1），由直线方程的两点式可得AC的方程为 ，即
x―y―3=0。
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为
，即x+2y－6=0。
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为
x=2，x―y―3=0，x+2y―6=0。
【总结】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的
适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程。在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公
式求出斜率，再用点斜式写出方程。
考点06截距式直线方程
例6．求过点P（2，－1），在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且满足a=3b的直线方
程。【答案】x+3y+1=0或
【解析】 若a=3b≠0，设所求直线的方程为 ，即 。
又∵直线过点P（2，－1），
∴ ，解得 。
故所求直线方程为 ，即x+3y+1=0。
若a=3b=0，则所求直线过原点，可设方程为y=kx。
∵该直线过点P（2，－1），
∴－1=2k， 。
故所求直线方程为 。
综上所述，所求直线的方程为x+3y+1=0或 。
【总结】应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零。
考点07直线的一般式
例7．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求
BC边上的中线所在的直线方程．
【点拨】 利用中点坐标公式得BC的中点坐标，由两点式得BC边上的中线所在的直线方
程．
【答案】x+13y+5=0
【解析】设BC的中点是M，则 ，
∴BC边上的中线所在直线方程是 ，即x+13y+5=0．
∴BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．
【总结】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求 BC边上的
高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求 BC
边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．
考点08直线方程的综合应用
例8． 过点P（3，0）作直线 ，使它被两条相交直线2x－y－2=0和x+y+3=0所截得的线段AB恰好被P点平分，求直线 的方程．
【答案】8x―y―24=0
【解析】 设直线 与直线2x－y－2=0交于点A（x，y）．
1 1
∵点P（3，0）是线段AB的中点，由中点坐标公式得B点的坐标为（6－x，－y），
1 1
∴ ，解得 。
由两点式直线方程得直线 的方程为 ，即8x―y―24=0。
【总结】
（1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题，如本例中，设 A
点坐标为（x，y），而P（3，0）为AB的中点，从而得到B点坐标为（6－x，－y）．
1 1 1 1
（2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用，如本例中，AB
被P点平分，通过画图分析，它事实上等价于AB的中点为P．
（3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行
四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等．
（4）本例中，在求直线方程时，不是先设直线方程，而是先设A点坐标（横、纵坐标均
为参数），再利用A、B分别在两直线上，从而得到两个方程组成的方程组，解之便得到
A点坐标，再利用两点式便可求出所求直线方程。这是以“退”为进的思想方法的灵活运
用，也是解决解析几何问题的基本思想方法，应深刻领悟，熟练掌握它．
【考点易错】
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2. 若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于( )
A．－1 B．－3
C．0 D．2
3.以 , 为端点的线段的垂直平分线方程是
A． B．
C． D．
4.过点 ，斜率是 的直线方程是（ ）A． B． C． D．
5.已知 的三个顶点都在第一象限，且 ， ， ，
求：
（1） 边所在直线的方程；
（2） 边和 边所在直线的方程．
【巩固提升】
1．直线3x―(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k―3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ）
A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠－9 C．k≠1且k≠9 D．k≠1且k≠－9
2．斜率为1的直线与两直线2x+y―1=0和x+2y―2=0分别交于A、B两点，则线段AB的
中点坐标满足方程（ ）．
A．x―y+1=0 B．x+y―1=0 C．x―2y+3=0 D．x―2y―3=0
3．直线y=2x―4与 关于直线 对称，则直线 的方程为（ ）
A．y=x+1 B．y=―x+8 C．y=x D．y=―x+8或y=x
4．无论m、n取何实数，直线(3m―n)x+(m+2n)y―n=0都过一定点P，则P点坐标为（
）
A．（―1，3） B． C． D．
5．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．4x+2y=5 B．4x―2y=5 C．x+2y=5 D．x―2y=5
6．若直线 与 轴平行且与 轴相距5时，则 等于（ ）
A． B． C．8 D．0
7．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（
）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（ ）
A．20 B．19 C．18 D．16
9．直线5x―2y―10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有（ ）
A．a=2，b=5 B．a=2，b=―5 C．a=―2，b=5 D．a=―2，b=―5
10．直线 的倾斜角和所过的定点分别为（ ）．
A．60°，（1，2） B．120°，（－l，2）
C．60°，（－1，2） D．120°，（－1，－2）
11．直线(a－1)y=(3a+2)x－1不通过第二象限，那么a的取值范围是（ ）．
A．a＞1 B．a＜0或a≥1 C．－1＜a＜2 D．a≥1
12．设 是 轴上两点，点 的横坐标为 2，且 ，若直线 的方程为
，则直线 的方程为（ ）．
A. x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0
13. 直线 ax+y+1=0与连接 A（2，3）、B（―3，2）的线段相交，则 a的取值范围是
（ ）
A．[―1，2] B．[2，+∞）∪（－∞，―1]
C．[―2，1] D．[1，+∞）∪（－∞，－2]
14．若直线 与直线 ， 分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，-1），
则直线 的斜率为( )．
A． B． C． D．
15．直线 与两坐标轴围成的三角形面积不小于1，那么 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
16．将直线 绕点（2，0）按顺时针方向旋转 30°，则所得直线方程为
________．
17．如果直线 沿 轴负方向平移3个单位，接着再沿 轴正方向平移1个单位后又回到原
来的位置，则直线 的斜率为 ．
18.点P（x,y）在线段 上运动，则 的最大值为 ．
19．已知直线 ，试求：
（1）与直线 的距离为 的直线的方程；
（2）点 关于直线 的对称点的坐标．20．在 中，点 ， 边上的高所在的直线方程为 ， 的平
分线所在的直线方程为 ，求 .
21．已知函数 的定义域为（0，+∞），且 ．设点P是函数图
象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N（如右图）．
（1）求a的值；
（2）问：PM·PN是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，则说明理由．
21．证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．
22．直线 与直线 分别相交于 两点，且线段 的中点为
，求直线 的方程．23．一条直线经过点A（―2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线
方程．
24．有一个设有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始 10分
钟内只进水不出水，在随后的 30分钟内既进水又出水，得到时间 x（分）与水量）y
（升）之间的关系如下图所示，若40分钟后只出水不进水，求y与x的函数关系式．
