文档内容
第19讲 圆锥曲线中的光学性质
（高阶拓展、竞赛适用）
（3 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线光学性质的形式
2.理解、掌握圆锥曲线的光学性质问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习
知识讲解
1. 抛物线的光学性质
如图 1 所示, 从抛物线的焦点 F 发出的光线, 被抛物线反射后, 得到的是一系列的与抛物线对称轴平行
(或重合) 的光线;
如图 2 所示, 设抛物线在 P 处的切线 l交对称轴于点 Q,PM⊥ 上切线 l交对称轴于点 M, 则焦点 F
是 QM 的中点.图1 图2
2. 椭圆的光学性质
如图 3 所示, 从椭圆的一个焦点发出的光线, 被椭圆反射后,必定经过另一个焦点;
如图 4 所示, 椭圆在点 P 处的切线为 l, 直线 PQ⊥l 交直线 F F 于点 Q, 则 PQ 平分 ∠F PF
1 2 1 2
|PF | |QF |
, 由角平分线性质定理, 1 = 1 .
|PF | |QF |
2 2
图3 图 4
3. 双曲线的光学性质
如图 5 所示, 从双曲线一个焦点发出的光线, 被双曲线反射后, 反射光线的反向延长线交于另一个焦点;
如图 6 所示, 双曲线在点 P 处的切线 / 与直线 F F 相交于点 Q, 则 PQ 平分 ∠F PF , 由角平
1 2 1 2
|PF | |QF |
分线性质定理, 1 = 1
|PF | |QF |
2 2
图5 图6考点一、 椭圆中的光学性质
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆
反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为
，其左、右焦点分别是 ， ，直线l与椭圆C切于点P，且 ，过点P且与直线l垂直
的直线 与椭圆长轴交于点M，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得
【详解】由已知得 ， ，
由椭圆定义可得 ，
根据光的反射定理可得 为 的角平分线，
由正弦定理 ，
所以 ， ，又
所以
即 .
故选：D.
2．（22-23高三·安徽六安·阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，
经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆 的左、右焦点为 , ，P
为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为 的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为 ，
，若 ，则椭圆的离心率为 ．√3 1
【答案】 / √3
3 3
【分析】根据椭圆的焦点三角形以及内切圆的性质 ，结合两点距离公式化简得 ，
由等面积法可得 ，由斜率关系即可代入化简求值.
【详解】不妨设点 在第二象限， 的内切圆与各边的切点分别为 ,设 ,
则
，
故 ， ，
，
由于点 在第二象限， ，所以
，故 ，
，因此 ，
，
当 代入得 （负值舍去），
故答案为：3．（2024高三·全国·专题练习）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反
射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， ，
左､右顶点分别为 ， ，一光线从点F (−1,0)射出经椭圆 上 点反射，法线（与椭圆 在 处的切线
1
垂直的直线）与 轴交于点 ，已知 ， .求椭圆 的方程.
【答案】
【分析】根据题中所给的性质，结合角平分线的性质、椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由椭圆的定义知 ，则 .
由光学性质可知 是 的角平分线，所以 .
因为 ，所以 ，得 ，
从而 ，
故椭圆 的方程为 .
1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆
的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆 的方程为 ，其左、右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 切于点 ，且 ，过
点 且与直线 垂直的直线 与椭圆长轴交于点 ，则 （ ）（注：若 的角平分线 交
于点 ，则 ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由光反射的性质易得 平分 ，再由椭圆的定义及已知即可求比例.
【详解】由题设 ，则 平分 ，故 ，
而 ， ，则 ，所以 .
故选：A
2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反
射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直
线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】结合题目所给信息及图形可得 ，后由椭圆定义及条件可得 ，
.最后由 可得答案.
【详解】如图，由椭圆的光学性质可得 三点共线.
设 ，则 ， .
故 ，解得 .又 ，所以 ， .
所以 .
故选：A.
3．（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：
点 为椭圆（ 为焦点）上一点，则点 处的切线平分 外角.已知椭圆 为坐标原
点， 是点 处的切线，过左焦点 作 的垂线，垂足为 ，则 为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】先求得直线 的方程，然后求得直线 的方程，进而求得 点坐标，从而求得 .
【详解】依题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
代入 得 ，
整理得 ，
由于直线 和椭圆 相切，则 ，
整理得 ，所以直线 的方程为 ，
对于椭圆 ， ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
由 解得 ，所以 .
故选：A
考点二、 双曲线中的光学性质
1．（2023·山西·模拟预测）双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射
光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，
从 发出的光线射向 上的点 后，被 反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出点 ，进而求出 ，利用余弦定理即可得出结果.
【详解】设 在第一象限， ，
， ，
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目.
2．（21-22高三上·全国·阶段练习）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线 ： 的左、右
焦点分别为 ， ，过 沿倾斜角120°出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30°，则
该双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】依题意画出图形，则 ， ，即可得到 ，再利用锐角三角函
数及双曲线的定义计算可得；
【详解】解：设反射点为 ，则 ， ，所以 ，
设 ，因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
3．（2023·湖南邵阳·三模）（多选）已知双曲线C 的左､右焦点分别为 ， ，双曲线
具有如下光学性质：从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向
延长线过左焦点 ，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为 ，则下列结论正确的有
（ ）A．双曲线C的方程为
B．若 ，则
C．若射线n所在直线的斜率为k，则
D．当n过点M（8，5）时，光由 所经过的路程为10
【答案】AC
【分析】利用双曲线的渐近线方程及勾股定理，结合双曲线的定义及两点间的距离公式即可求解.
【详解】对于A ，由题意可知， 因为双曲线C的一条渐近线的方程为 ，
所以 ，即 ，所以双曲线的方程为 故A正确；
对于B，由 ，得 ，解得 ，
在 中， ，由勾股定理及双曲线的定义知，
，
即 ，解得 ，故B错误；
对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为 ，
由双曲线的性质可得射线 所在直线的斜率范围为 ，故C正确；
对于D，由题意可知， ，当 过点 时，
由双曲线定义可得光由 所经过的路程为
，故D错误.
故选：AC.1．（2024·山东济宁·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，根据双曲线
的光学性质可知，过双曲线 上任意一点 的切线 平分 .直线 过
交双曲线 的右支于A，B两点，设 的内心分别为 ，若 与 的面
积之比为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D． .
【答案】C
【分析】利用切线长定理求得直线 的方程，再借助双曲线的切线方程求出点 的横坐标，结合面积关
系求解即得.
【详解】令圆 切 分别为点 ，则 ，
，令点 ，而 ，
因此 ，解得 ，又 ，则点 横坐标为 ，同理点 横坐标为 ，
即直线 的方程为 ，设 ，依题意，直线 的方程分别为：
， ，联立消去 得： ，
整理得 ，令直线 的方程为 ，
于是 ，即点 的横坐标为 ，
因此 ，所以双曲线 的离心率 .
故选：C
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
②齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
2．（2023·全国·模拟预测）“双曲线新闻灯”的研制是利用了双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出
的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.已知一个“双曲线新闻灯”的轴截面是
双曲线的一部分，其方程为 ，离心率为 ， 为其右焦点.若从右焦点 发出的
光线经双曲线右支上的点 和 反射， ， 为反射光线，且满足 ，则 .
【答案】 /
【分析】利用双曲线的几何性质，结合解三角形的知识，分别求出 、 和 的各边长，即
可求出 ，进而求出 .
【详解】设双曲线的左焦点为 ，则 .
因为离心率为 ，所以 ，所以 .
不妨设 ，则 .
因为 ，所以 ，
把 代入，解得： （ 舍去）.
所以 .
在直角 中， .
所以 .在 中， .
设 ，则 .
由余弦定理得： ,
即 ，
把 代入解得： .
所以 .
在直角 中， .
所以 .
所以 .
故答案为： .
3．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ，
从 发出的两条光线经过 的右支上的 两点反射后，分别经过点 和 ，其中 共线，则
（ ）
A．若直线 的斜率 存在，则 的取值范围为
B．当点 的坐标为 时，光线由 经过点 到达点 所经过的路程为6
C．当 时， 的面积为12D．当 时，
【答案】ABD
【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由 经过点 到达点
所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到 ，得到 ，设 ，
列出方程，求得 ，进而可判定C错误；在直角 中，结合 ，可判定D正
确．
【详解】如图所示，过点 分别作 的两条渐近线的平行线 ，则 的斜率分别为 和 ，
对于A中，由图可知，当点 均在 的右支时， 或 ，所以A正确；
对于B中，光线由 经过点 到达点 所经过的路程为
，所以B正确；
对于C中，由 ，得 ，即 ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），所以 ， ，
所以 的面积 ，所以C错误；
对于D项，在直角 中， ，
所以 ，所以D正确．
故选：ABD．
考点三、 抛物线中的光学性质1．（2022·福建莆田·三模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物
线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线
，一条平行于x轴的光线从点 射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物
线E交于点C，若 的面积是10，则 ( )
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的
方程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线
距离公式可求A到直线BC的距离d，根据 即可求出p．
【详解】由题知抛物线焦点为 ，AB∥x轴，
将y=2p代入 得x=2p，则B为(2p，2p)，
由题可知B、F、C三点共线，BC方程为： ，即 ，
代入抛物线方程消去y得， ，
设方程两根为 ，则 ，则 ，
又 到BC： 的距离为： ，
∴由 得 ．
故选：D．2．（23-24高二上·广东广州·期末）（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射
后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物
线的焦点．已知抛物线 ， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，
经过 上的点A(x ,y )反射后，再经 上另一点B(x ,y )反射后，沿直线 射出，且 经过点 ，则
1 1 2 2
（ ）
A．当 时，延长 交直线 于点 ，则 、 、 三点共线
B．当 时，若 平分 ，则
C． 的大小为定值
D．设该抛物线的准线与 轴交于点 ，则
【答案】AD
【分析】对AB，可代入条件求出抛物线方程后计算出相应的点的坐标，A选项验证三点纵坐标可得，B选
项中结合条件得到 计算即可得；对CD，设出直线 方程，联立后得出两点横纵坐标关系后，
结合斜率与倾斜角的关系即可得.
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，如图所示：
1 1 2 2对AB选项：直线 平行于 轴，当 ， 时，抛物线的方程为 ，
过点 ，即有 ，则 ，即 ，直线 经过焦点 ，
直线 的方程为 ，即 ，
由 消去x得 ，由 ，得 ，于是 ，
显然直线 的方程为 ，直线 交直线 于点 ，
显然直线 轴，由光学性质知， 轴，因此 、 、 三点共线，A正确；
由光学性质知 轴，而 轴，则 ，有 ，
又 平分 ，即 ，则 ，
于是 ，即 ，解得 ，B错误；
对CD选项： 设直线 的方程为 ，
由 消去 得： ， 显然 ，
则 ， ， ，
设 ，由斜率坐标公式得 ， ，
于是 ，即 ，
而 不是定值，因此 不是定值，C错误；点 ，直线 斜率 ，直线 斜率
，
即 ，因此 ，D正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，
可直接使用公式 ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）（多选）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点
反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 为抛物线 上
两个动点，且 三点不共线，抛物线 在 两点处的切线分别为 在 上的射影点
分别为 ，则（ ）
A．点 关于 的对称点在 上 B．点 在 上
C．点 为 的外心 D．
【答案】AC
【分析】根据抛物线的光学性质及定义知 ，从而 的垂直平分线为 ，
的垂直平分线为 ，即可判断选项AC，再利用 三点共线时，得到点 在 上和 判断CD.
【详解】如图：由抛物线定义知， ， ，根据抛物线的光学性质知：
从F发出的光线经抛物线的反射光线AD、BC与y轴平行，
又抛物线 在 两点处的切线分别为 ，
结合平行线性质及对顶角相等得 ，
即 的垂直平分线为 ， 的垂直平分线为 ，
所以 ， ，所以点 为 的外心，故选项C正确；
点 关于 的对称点 在 上，故选项A正确；
假设 三点共线，设A(x ,y )，B(x ,y )，直线AB方程为 ，
1 1 2 2
因为 ，即 ，所以 ，所以 ， ，
所以 的方程分别为 ， ，
即 ， ，
联立 ，所以 ，所以 ，
则
，所以 ，
说明 三点共线时， 点才落在 ，因为 三点不共线，
所以点 不在 上，所以选项B错误；
当 三点共线时， ，
当 时，直线AB方程为 ，直线FT方程为 ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
故只有 三点共线时，才有 ，因为 三点不共线，所以 与 不垂直，故选项D错
误.
故选：AC
【点睛】结论点睛：抛物线的切线相关结论：抛物线C： 的焦点为F，直线l过焦点F与抛
物线相交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，则点G在抛物线的准线上，且
GF⊥AB.1．（2023·江西·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称
轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．
用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线 放在平面直角坐标系中，对称轴与 轴重合，
顶点与原点重合，如图，若抛物线 的方程为 ，平行于 轴的光线从点 射出，经过 上的
点 反射后，再从 上的另一点 射出，则 （ ）
A．6 B．8 C． D．29
【答案】C
【分析】依题意设 ，代入抛物线方程，求出 ，即可得到直线 的方程，联立直线与抛物线方程
求出 点坐标，即可求出 .
【详解】由 ，可得 的纵坐标为 ，设 ，则 ，解得 ，
由题意反射光线经过抛物线 的焦点 ，
所以直线 的方程为 ，整理可得 ，
由 消去 整理得 ，解得 ， ，
则 ，所以 ，所以 .
故选：C
2．（2024·浙江·模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远
镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光
学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜 弧所在的曲线为抛物线，另一个反
射镜 弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知 是双曲线的两个焦点，其中 同时又是抛物线的
焦点，且， 的面积为10， ，则抛物线方程为 ．【答案】
【分析】设 ，由 ，解出
得 点坐标，结合 得抛物线方程.
【详解】以 的中点 为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系，
不妨设 ．
由 ，则有 ，解得 ，
又 ，解得 ，
，则有 ，
故抛物线方程为 ．
故答案为：
3．（23-24高三上·山东滨州·期末）拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物
线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛
物线 ， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射
后，再经过 上另一个点 反射，沿直线 射出，经过点 ，则（ ）
A．
B．
C．延长 交直线 于点 ，则 ， ， 三点共线
D．若 平分 ，则
【答案】BCD【分析】设出直线 方程，联立后得出两点纵坐标关系后可判断A；由选项A求出点 可得 可判
断B；结合题意求得 ，由 的横坐标相同得 三点共线可判断C；由 平分 ，
根据平面几何的知识可证得 ，可判断D.
【详解】对于A，由题意点 ，解得 ，即点 ，
抛物线焦点F(0,1)，
所以直线 的方程为 ，即 ，
将其代入 可得 ，
由韦达定理可得到 ，故A错误；
对于B，由知 ，因为 ，所以 ，
代入 可得 ，解得： ，所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，易得 的方程为 ，联立 ，故 ，
又 轴，所以 三点的横坐标都相同，则 三点共线，故C正确；
对于D，若 平分 ，所以 ，
又因为 轴， 轴，所以 ，故 ，
所以 ，则 ，故 ， ，
则 ，故D正确.
故选：BCD.一、单选题
1．（23-24高二上·福建福州·期中）班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆
的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：
已知椭圆C的方程为 ，其左､右焦点分别是 ， ，直线l与椭圆C切于点P，且 ，过
点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解.
【详解】由椭圆定义可得 ，
由光学性质可知， 为 的角平分线，
所以 .
故选：C
2．（2022·新疆·三模）抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称
轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线 的焦点F发出的两条光线
a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为 ，且两条反射光线 和
之间的距离为 ，则 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】依题意设 ，联立直线与抛物线方程，消元，即可求出 ，同理求出 ，即可
得到方程，解得即可；
【详解】解：可设 ，与 联立消元得 ，解得 、
，∴ ，
同理 ，与 联立消元得 ，解得 、 ，∴
，∴ ，∴
故选：C
3．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线
平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知
抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过拋物线上的点 反射后，再经
抛物线上的另一点 射出，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出点 的坐标，进而求出直线 方程，与抛物线方程联立求出点 的坐标即
得.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，由点 在抛物线上，则 ，
直线 方程为： ，即 ，
由 ，消去 得 ，解得 或 ，由 ，得 ，于是 ， ，
而 ，
所以 的周长为 .
故选：D
4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过
双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线 的左、
右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点 和 ．且
， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ，由双曲线的定义可得 ， ，在直角三角形 中，在 中，
运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．
【详解】解：设 ， ，由双曲线的定义可得 ， ，
由 ，可得 ，
在直角三角形 中， ，①
，②
在 中，可得 ③
由①②可得 ， ，
代入③可得 ，
即为 ，
则 ，
故选：D．
5．（22-23高二下·贵州·阶段练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平
行于抛物线的对称轴；反之，抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦
点.已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，一条光线沿 射出，经过抛物线
上的点 （异于点 ）反射，反射光线经过点 ，若 ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】设直线AB的方程，联立其与抛物线方程求出 ，代入抛物线方程可求出 ，再运用抛物线焦点
弦公式可得 ，解方程即可.
【详解】如图所示，
，设 ， ，直线AB的方程为 ，
，
则 ，解得： ，
将 代入 得 ，
又因为 ，
即： ，即： ，
又因为 ，
所以 ，即： ，
所以抛物线方程为 .
故选：B.
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，
其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E： 的左、右焦点分
别为 ， ，从 发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 ，
，则E的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】使用题设条件得到 的比值，然后引入参数 并得到等量关系 ，最后使用余弦定
理即可得到齐次方程并求解.
【详解】连接 ，根据题意， 三点共线， 三点共线.
而 ，且由 知 ，
故 .
所以 ，
故可设 ， ， .
由于
，
故 .
从而 ， ，故 ， .
而 ，结合余弦定理得 .故 ，解得 ，所以 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在求得线段间比例后引入参数，方便后续的研究.
7．（2023·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲
线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E： 的左、
右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且
， ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用 表示 ，再在两个直角三角形中借
助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线 都过点 ，如图，有 ， ，
设 ，则 ，显然有 ， ，
，因此， ，在 ， ，
即 ，解得 ，即 ，令双曲线半焦距为c，在中， ，即 ，解得 ，
所以E的离心率为 .
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得 的值，
根据离心率的定义求解离心率 ；
②齐次式法，由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
二、多选题
8．（23-24高二上·湖北武汉·期末）双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，
反射光的反向延长线经过另一个焦点．如图，已知双曲线 为双曲线 的左、
右焦点．某光线从 出发照射到双曲线右支的 点，经过双曲线的反射后，反射光线 的反向延长线经
过 ．双曲线在点 处的切线与 轴交于点 ，且反射光线所在直线的斜率为 ．则以下
说法正确的是（ ）
A．点 到直线 和直线 的距离相等
B．
C．双曲线 的离心率为2
D．若过点 的直线与双曲线 交于 两点，则点 不可能是线段 的中点．
【答案】ABD
【分析】对于A，可由双曲线的光学性质得到 为 的角平分线；然后由角平分线的性质以及双曲
线定义求出 和 可判断B；再由直线 的斜率求出 ,根据余弦定理判断C；对于D，假设
直线存在，利用点差法导出矛盾.
【详解】对于A：由双曲线的光学性质可知， 为 的角平分线，故A正确；对于B：由角平分线性质可知 ，
又 ，解得 ， ，故B正确；
对于C：设 ，由直线 的斜率为 可得 ，
又 ，解得 ，
由余弦定理可知 ，
整理得： 解得 或 (舍去)，故C错误；
对于D：假设存在满足条件的直线AB，设 ，
由 可知 点的坐标为 ， 为AB中点可知 ，
，把 点的坐标代入双曲线方程得 ， ，
两式作差得 ，等式右边等于0，
等式要想成立只能左边也等于0，即 ，因为 ，
此时 两点关于 轴对称，即AB垂直于 轴，显然AB与双曲线不相交，
不满足题意，故D正确；
故选：ABD
9．（2023·湖南长沙·模拟预测）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行
于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．
已知抛物线 的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线 从点 射入，经过
抛物线上的点 反射后，再经抛物线上另一点 反射后，沿直线 射出，则下列结论中正确
的是（ ）
A．
B．点 关于x轴的对称点在直线 上
C．直线 与直线 相交于点D，则A，O，D三点共线
D．直线 与 间的距离最小值为4
【答案】ACD
【分析】设出直线 的方程，与抛物线方程联立，然后利用韦达定理即可求出 和直线 与 间的距离，从而可确定AD两项；表示出直线 和 的斜率即可确定C项；假设B项正确反推条件，从而可确定B
项.
【详解】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点 ，
设直线AB的方程为 ，
将直线AB的方程代入 中，得 ，
所以由韦达定理得 ， ，所以 ，故选项A正确；
若点 关于x轴的对称点在直线 上，则 ，
所以 ，即 ，不一定成立，故不合题意，选项B错误；
直线 与 相交于点 ，所以直线OD的斜率为 ，
又直线OA的斜率为 ，所以 ，所以A，O，D三点共线，故选项C正确；
直线 与 间的距离 ，
当 时，d取最小值4，故选项D正确；
故选：ACD.
10．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平
行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线 的焦点为F，一束平行于x轴的光线 从点 射入，
经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线了上另一点 反射，沿直线 射出，则下列结论中
正确的是（ ）A． B． C． D． 与 之间的距离为5
【答案】ABD
【分析】利用抛物线的光学性质可得 ， 即可计算出B正确；联立直线与抛物线方程可得A
正确；由抛物线定义可得C错误，根据 与 两直线平行可得D正确.
【详解】由抛物线的光学性质可知，直线 过抛物线的焦点 ，
又 是水平的，所以可得 ，因此 ，即选项B正确；
易知直线 的方程为 ，
联立直线和抛物线 ，消去 可得 ，
由韦达定理可知 ，故A正确；
由 可得 ，所以点 的坐标为 ，
利用抛物线定义可知 ，即C错误；
因为 与 两直线平行，所以 与 之间的距离为 ，即D正确.
故选：ABD
11．（2023·河南·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对
称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用
一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶
点与原点重合.若抛物线C： 的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 从点M射入，经
过C上的点 反射，再经过C上另一点 反射后，沿直线 射出，则（ ）A．C的准线方程为
B．
C．若点 ，则
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线 上
【答案】AD
【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A正确；设直线 ，联立方程组，结合韦达定理，可
判定B错误；根据 ，求得 ，可判定C错误；由 ，联立方程组得到
，结合 ，可判定D正确.
【详解】由题意，抛物线 ，可得焦点 ，准线方程为 ，所以A正确；
由抛物线的光学性质可知，直线 经过焦点F，且斜率不为0，
设直线 ，联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，所以 ，所以B错误；
若点 ，则 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，所以C错误；
又由直线 ，联立方程组 ，解得 ，
由 ，得 ，所以 ，所以点N在直线 上，所以D正确.
故选：AD.12．（2023·河北保定·一模）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定
经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为 ，则光线从椭
圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
【答案】ACD
【分析】根据已知，光线自 出发，可以沿 方向传播，也可以沿 方向传播，也可以不沿 轴传播.
根据椭圆的光学性质，分别得出光线传播的路径，结合椭圆的定义，即可得出答案.
【详解】设椭圆左焦点为 ，右焦点为 ，左顶点为 ，右顶点为 .
由已知可得， ， ，所以 .
①当光线从 出发，沿 方向传播，到达 后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿 方向传播，第一
次经过 ，此时所经过的路程为 ，故A项正确；
②当光线从 出发，沿 方向传播，到达 后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿 方向传播，过点
后，继续传播第一次经过 ，此时所经过的路程为 ，故C项正确；
③当光线从 出发后，不沿 轴传播，如图2光线开始沿 传播，到达 点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿 方向传播，过点 后，继续传
播到达 点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿 方向传播，第一次经过 ，此时所经过的路程为
.
根据椭圆的定义可知， ， ，
所以 ，故D项正确.
故选：ACD.
13．（2023·湖北·模拟预测）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射
后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与
两焦点连线的夹角．已知 ， 分别为双曲线 的左，右焦点，过 右支上一点
作直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．
C．过点 作 ，垂足为 ，则 D．四边形 面积的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A选项，求出双曲线的渐近线，故A正确；对于B选项， 证明 为双曲线的切线，由双曲
线的光学性质可知，AM平分 ，故B正确；对于C选项，延长 ，与 的延长线交于点 ，则
AH垂直平分 ，即点 为 的中点．又 是 的中点，求出 ，故C错误；对于D选项，利用基
本不等式求出四边形 面积的最小值为 ，故D正确.
【详解】对于A选项，由已知可得 ， ，∴C的渐近线方程为 ，故A正确；
对于B选项，由题意得，AM的直线方程为 ，所以
，∴ 为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分 ，故B正确；
对于C选项，延长 ，与 的延长线交于点 ，则AH垂直平分 ，即点 为 的中点．又 是
的中点，
∴ ，故C错误；
对于D选项，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．∴四边形 面积的最小值为 ，故D正确.
故选：ABD．
14．（23-24高二下·湖南·阶段练习）双曲线的光学性质为： ， 是双曲线的左､右焦点，从 发出的光
线 射在双曲线右支上一点 ，经点 反射后，反射光线 的反向延长线过 （如图1）；当 异于双曲
线顶点时，双曲线在点 处的切线平分 （如图2）.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利
用了双曲线的这个光学性质.若双曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．射线 所在直线的斜率为 ，则
B．当 时， 的面积为C．当 时，若 ，则双曲线 的离心率为
D．存在点 ，使双曲线 在点 处的切线经过原点
【答案】ABC
【分析】利用直线与双曲线的位置关系判断A，利用双曲线的定义求解焦点三角形面积判断B，构造齐次
方程求解离心率判断C，利用反证法判断D即可.
【详解】因为双曲线 的方程为 ，所以渐近线方程为 ，
对于A选项，因为直线 与双曲线有两个交点，所以 ，故A正确；
对于B选项，由双曲线的定义知， ，
若 ，则
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 的面积为 ，故B正确；
对于C选项，当 时，因为 ，
， ， ，
所以 ，求得 ，故C正确；
对于D选项，假设双曲线 在点 处的切线经过原点，因为 平分 ，
由角分线定理知， ，所以 ，
又 ，所以假设不成立，故D错误；
故选：ABC.
三、填空题
15．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学
性质．点P为椭圆（ ， 为焦点）上一点，点P处的切线平分 外角．已知椭圆 ，
O为坐标原点，l是点 处的切线，过左焦点 作l的垂线，垂足为M，则线段 的长为 ．
【答案】【分析】先求得直线l的方程，然后求得直线 的方程，进而求得M点坐标，进而求解.
【详解】由题意，设直线l的方程为 ，即 ，
联立 ，整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以直线l的方程为 ，
对于椭圆 ， ， ，
则 ，即 ， ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即 ，
则 .
故答案为： .
16．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射
后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 的方程为 ，
其左、右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 切于点 ，且 ，过点 且与直线 垂直的直线 与椭
圆长轴交于点 ，则
【答案】
【分析】将椭圆方程化为标准方程，求得 ，运用椭圆的定义和光线反射定律，以及角平分线定理和椭
圆的光学性质得到直线平分 ，可得 ，即可得到所求值．
【详解】曲线C的方程为 ，即 ，即有 ， ，
由椭圆的定义可得且 ，
过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆长轴交于点M，结合光线的反射定律可得 为 的角平分线，
即有 ．
故答案为：
17．（23-24高二上·河北张家口·期末）圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物
线的光学性质是平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线
一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远
镜就是应用这些性质设计的.下图为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央
开孔的凹抛物面镜 ，副镜是双曲线左支的旋转面型凸双曲面镜 ，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双
曲线的中心重合，当平行光线投射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点 处，但光线尚未汇
聚时，又受到以 为焦点的凸双曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点 处.以 的
中点为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系.若 米，凹抛物面镜的口径 为 米，凸
双曲面镜的口径 为1米，要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜 的中央孔洞，则孔洞直径最小为
米.
【答案】
【分析】根据抛物线C的焦点坐标为 ，求得其方程；根据 ，求得 的坐标，由
，求得 的纵坐标，再根据 ，求得其横坐标，再利用 得到答案.
【详解】因为曲线C的焦点坐标为 ，所以 ，则抛物线C的方程为 ，
因为 ，
所以 ，则 ，解得 ,
，
设 ，又 ，所以 ，
易知 ，则
则 ， 解得 ，
根据题意，从点 反射，与 轴的交点 ，此时孔洞半径最小，即 .
易知 ，则 ,
即 ，解得 ,直径为 .
所以要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜 的中央孔洞，则孔洞直径最小为 .
故答案为： .
18．（2023·浙江杭州·二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一
些光学性质．例如，点P为双曲线（ ， 为焦点）上一点，点P处的切线平分 ．已知双曲线
C： ，O为坐标原点，l是点 处的切线，过左焦点 作l的垂线，垂足为M，则
．
【答案】2【分析】延长 交 延长线于点 ，结合题意得点 为 的中点， ，从而得到
，再结合双曲线的定义即可求解．
【详解】如图，延长 交 延长线于点 ，
因为点 是 的角平分线上的一点，且 ，
所以点 为 的中点，所以 ，
又点 为 的中点，且 ，
所以 ．
故答案为：2．
19．（2024·山东淄博·二模）“若点P为椭圆上的一点， 为椭圆的两个焦点，则椭圆在点 处的切线
平分 的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆 ，点P是椭圆上的点，在点 处
的切线为直线 ，过左焦点 作 的垂线，垂足为 ，设点 的轨迹为曲线 ．若 是曲线 上一点，已
知点 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】先由已知椭圆的性质结合椭圆定义可得 轨迹，再利用圆的性质在 轴上找一定点 ，满足
，从而将 转化为 最值问题求解可得.
【详解】由椭圆 方程 ，知 .如图，延长 、 交于点 ，由题意可知 ，
又因为 ，则 为 的中点，且 ，
所以， ，
又因为 为 的中点，则 .
故点 的轨迹 为以 为原点， 为半径的圆，圆的方程为 .
设在 轴上存在定点 ，使得圆上任意一点 ，满足 ，
由 ，则 ，
化简得 ，
又∵ ，代入得 ，
要使等式恒成立，则 ，即 .
∴存在定点 ，使圆上任意一点 满足 ，
则 ，当 三点共线（ 位于 两侧）时，等号成立.
由 ，则 ，
所以 ，当 三点共线（ 位于 两侧）时等号成立.
如图，连接 ，线段 与圆 的交点即为取最值时的点 ，此时取到最小值 .
故答案为：5.
【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若 为两定点，动点 满足 ，则 时，动
点 的轨迹为直线；当 且 时，动点 的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助
阿波罗尼斯圆，可以转化动点到定点的距离，化系数 为 ，从而转化为到另一定点的距离进而由几何性
质等求解最值.四、解答题
20．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆C： 上、下顶点分别为 ，且短轴长为
，T为椭圆上（除 外）任意一点，直线 的斜率之积为 ， ， 分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年
外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证
明：由焦点 发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点 ．（提示：光线射
到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出T点，利用斜率之积为 列出方程化简即可；（2）当M为椭圆顶点时结论显然成立，
当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，只需证明法线平分 ．
【详解】（1）由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设 ，直线 的斜率分别为 ， ，
由题意知 ， ，由 得 ，整理得 ，故椭圆C
的方程为 ．
（2）
当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，
只需证明法线平分 ．
设M点坐标为 ，则 ．
设与椭圆切于M点的切线方程为 ，
与椭圆方程联立得 消去y得： ，，
得 ．
所以切线斜率为 ，所以法线斜率为 ，法线方程为 ，
令 ，可得法线与x轴交点N的横坐标为 ，
易知 ， ，所以 ， ，
，
所以 ， ，
所以 ，
则 或 （舍去），
所以法线MN平分 ，所以原结论成立．
