第十五届华罗庚金杯决赛试题二组总决赛（小学高年级组）答案_奥数专题合集_H003小学奥数培训班课程+习题_华罗庚_小高

“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛试题解答 少年二组一试 一、填空题 1. 小林做下面的计算: M 37, 其中 M是一个自然数, 要求计算结果是经 四舍五入后保留六位小数. 小林得到的结果是9.684469. 这个结果的整数位是正 确的, 小数各位的数字也没错, 只是次序错了. 则正确的计算结果是 . 【答案】9.648649. 【解答】设 M m 9 , m36, 37 37 而 1         0.027, 0.027m0.027360.972, 37 M 所以 是循环节为3 的纯循环小数. 37 设 M A 9 (0 A999) 37 999 0.684469 是7位小数四舍五入的结果, 因此是2个循环节, 它的最后一位是循环   节的第 3位小数加1. 所以, 正确值的排序是0.648. 正确的结果是9.648649. 2. 小兔和小龟从A地同时出发到森林游乐园, 小兔 1 分钟向前跳36 米, 每 跳3 分钟就原地玩耍, 第 1 次玩耍0.5 分钟, 第 2次玩耍 1 分钟, 第 3 次玩耍1.5 分钟, , 第k次玩耍0.5k分钟, 小龟途中从不休息和玩耍. 已知小龟比小兔早到 森林游乐园3分 20 秒, A地到森林游乐园有2640 米, 则小龟 1分钟爬行 米. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 【答案】12 米. 【解答】小兔到达森林游乐园需要跳动 1 26403673 (分钟). 3 既然 1 4 73 324 , 3 3 小兔在到达森林游乐园签在途中就要共玩耍 0.511.5120.51225150（分钟）. 设小龟1分钟爬行m 米, 则可以列出方程： 1 2640 1 73 150 3 . 3 m 3 解此方程, m＝12（米）. 3. a ,a ,a ,,a 是满足0 a  a  a  a 的自然数, 且 1 2 3 n 1 2 3 n 13 1 1 1 1     , 14 a a a a 1 2 3 n 那么n的最小值是 . 【答案】4. 【解答】因为 13 1 6 3 1     , 14 2 14 7 3 13 1 1 3 1 2 1       , 14 2 3 7 3 21 11 13 1 1 1 2 1 1       , 14 2 3 11 21 11 231 所以n的最小值<5. 若n2, 则 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 13 1 1 13 2 28   , p q 1,  ,q  3. 14 p q 14 q 13 1 13 1 6 所以, q 2并且    , p 不是整数. p 14 2 14 若n3, 则 13 1 1 1 13 3 42    , p q r 1,  ,r  4. 14 p q r 14 r 13 所以, r 2或r 3. 如果r 2, 1 1 1 3 2     , 3q4. q p q 7 q 不难验证, q 为3 或 4时, p 都不是整数. 如果r 3, 1 1 1 25 2     , 2q3. q p q 42 q 但是, 3r q, 所以r 3. 综合上述讨论, n的最小值是4. 13 【注】将 分成4 个不同的自然数的倒数之和的分法不惟一, 另外还有 14 (a ,a ,a ,a )(2,3,12,84);(2,3,14,42);(2,3,15,35);(2,4,6,84);(2,4,7,28). 1 2 3 4 二、解答题 4. 长方形O O BA的宽AO =1厘米, 分别以O 与O 为圆 1 2 1 1 2 心, 1厘米为半径画圆O 和圆O , 交线段O O 于点C和D, 如 1 2 1 2 图A-49 所示. 则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米? 【答案】1 平方厘米. 图A-49 【解答】四边形ABCD是个梯形, AB=O O 是大底, CD是小底. 1 2 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn ABCDOO CD(OCO DCD)CD11CDCD2. 1 2 1 2 所以 (ABCD)AO 21 S  1  1（平方厘米）. ABCD 2 2 5. 如图A-50, 在直角三角形ABC中, ABC 90, AB//A'B', BC//B'C', AC//A'C', 且三对平行线的距离 都是1, 若AC 10, AB 8, BC 6, 求三角形A'B'C'上 的点到三角形ABC三边的距离和的最大值. 图A-50 【答案】A'. 【解答】设ABC中的任意一点P到边AC, AB, BC的距离分别为 h , h , h , 1 2 3 则 2倍ABC的面积 = 48 =h ACh ABh BC 1 2 3 =BC(h h h )h (ACBC)h (ABBC). 1 2 3 1 2 所以 48h (ACBC)h (ABBC) h h h  1 2 . 1 2 3 BC 只有当P点在A'的位置时, h 和h 都有最小值1. 所以当P点在A'B'C'中时, 有 1 2 48(10826) h h h  7. 1 2 3 6 6. n 张纸片, 每张都写有不大于n 的3 个不同正整数, 任意2 张纸片恰有一 个数是相同的. 求纸片上所有写的数的和. 【答案】84. 【解答】 设a是出现最多的数字. 一共有k 张, 则这k张纸片一共写有2k+1 个不同的数字, 因为每个数都不大于 n, 所以2k1n. 因此, k n, 所以, 至 少还有一张纸片没写上 a. 这张没写 a 的纸片与前面k 张纸片中任一张纸片都恰 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 有一个数相同, 这些数字彼此不同, 而且这个数不是 a. 但是这张纸片上只有三 个不同的数字, 所以, k=3. 因此, n2k17. 另外, n张纸片写有3n个数, 同 一个数最多写3 次, 所以, 1,2,,n每个数都写了3 次. 如果n7, 三张写有1 的纸片上有7个不同的数, 由于n7, 所以, 还有一 个数不出现在这三张纸片上, 记为b. 写有b的纸片上有 3 个数, 这张纸片与写 有a的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字, 这个数字不是1, 也不是b. 但是 写有b的纸片上, 除了b外, 还只有2个数字, 不可能与写有1的三张纸片每张都 有一个相同的数字. 所以n=7． 每 个 数 恰 在 三 张 纸 片 上 出 现 , 所 有 写 的 数 的 和 为 3(127)32884. 下面是一个实例： 1, 2, 3 1, 4, 5 1, 6, 7 2, 4, 6 2, 5, 7 3, 4, 7 3, 5, 6 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888