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专题 3-5 平行四边形（考题猜想，特殊平行四边形的性质和判
定综合应用的四种类型）
类型1：利用矩形的性质巧求折叠中线段的和
【例题1】（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在矩形 中， ，动点 满
足 ，则点P到 两点距离之和 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形 是矩形纸片， ，对折矩形
纸片 ，使 与 重合，折痕为 ，展平后再过点 折叠矩形纸片，使点 落在 上的点 处，
折痕为 ；再次展平，连接 ， ．则 ，若 为线段 上一动点， 是
的中点，则 的最小值是 ．
【变式2】（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在长方形 中，对角线 ， ，
将长方形 沿对角线 折叠，点 落在点 处，点 是线段 上一点，则 的最小值是【变式3】（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）如图，对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕
，将纸片展平，再一次折叠，使点 落到 上的点 处，折痕为 ；延长 交 于点 ．
(1)求证： 为等边三角形；
(2) 为线段 上一动点， 为 的中点，连接 ， ．若 （ ），则 的最小
值是__________．
类型2：特殊平行四边形中的操作型问题
【例题2】（22-23八年级下·湖南邵阳·期末）已知，如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的图形．记
图中正方形 、正方形 、正方形 的面积分别为 ， ， ，若正方形 的边长为
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）图1是邻边长为16和25的矩形，把它分割成①，②，
③，④四块后，拼接成不重叠、无缝隙的正方形 （如图2），则图2中 的长为 ，四边形
的面积为 ．【变式2】（21-22八年级下·山东潍坊·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜
边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，
，求该飞镖状图案的面积．
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的
面积分别为 ，若 ，求 ．
【变式3】（22-23八年级下·山东临沂·期末）综合与实践
问题：给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把他们拼接成一个大正方形吗？下面是某研究小组的研究过程：
(1)首先研究两个一样大小的正方形
把两个边长相等的正方形 和正方形 ，按图1所示的方式摆放，沿虚线 、 剪开后，可
按图1所示的移动方式拼接成四边形形 ，则四边形形 是正方形，请说明理由；
(2)研究大小不等的两个正方形
把边长不等的两个正方形 和正方形 ，按图2所示的方式摆放，连接 ，过点D作
，交 于点M，过点M作 ，过点E作 ， 与 相交于点N．
①证明四边形 是正方形；
②在图2中，将正方形 和正方形 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形 ，请简略说明你的
拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）．
类型3：特殊平行四边形中的探究型问题
【例题3】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中, 点O、 、 、 、
、 、 ……, 都是平行四边形的顶点，点 、 、 在 轴正半轴上， ， ，
， ， ， ， ，平行四边形按照此规律依次排列，则第 个
平行四边形的对称中心的坐标是（ ）A． B． C． D．
A B C D
【变式1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图：顺次连接矩形 四边的中点得到四边形
1 1 1 1
，再顺次连接四边形 四边的中点得四边形 ，…，按此规律得到四边形 ．
若矩形A B C D 的面积为24，那么四边形 的面积为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
【变式2】（22-23八年级下·四川泸州·期末）同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形
是正方形，点 是边 的中点， ，且 交正方形外角 的平分线 于点 ．求
证： ．书中的提示是：取 的中点G，连接 ，这样易证 后得到 ．
在此基础上，请同学们探究以下问题：
(1)如图（2），点E是边 上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变， 的结论还成立吗？
如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；
(2)如图（3），点E是 的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变， 的结论仍然成立
吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；【变式3】（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在菱形 中， ， 是对角线 上一动
点，以 为边向右侧作等边 （ ， ， 按逆时针排列），点 的位置随点 的位置变化而变化．
(1)如图1，当点 在菱形 内部时，连接 ，则 与 的数量关系是______， 与 的位置关
系是______；
(2)如图2，当点 在菱形 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请
说明理由．
【变式4】．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）探究规律：
如图1，点P为平行四边形 内一点， ， 的面积分别记为 ， ，平行四边形 的
面积记为S，试探究 与S之间的关系．
（2）解决问题：
如图2 矩形 中， ， ，点E、F、G、H分别在 、 、 、 上，且
， ，点P为矩形内一点，四边形 、四边形 的面积分别记为 ， ，
求 ．【变式5】．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）规律：如图1，直线 ， ， 为直线 上的点， ，
为直线 上的点．如果 ， ， 为三个定点，点 在直线 上移动，那么无论点 移动到何位置，
与 的面积始终相等，其理由是 ___．
应用：
（1）如图 ， 、 、 三点在同一条直线上， 与 都是等边三角形，连结 ， ．若
， ，求 的面积．
（2）如图 ，已知 ， ， ， 是矩形 边上的点，且 ， ，连结 交 于
点 ，连结 交 于点 ，连结 交 于点 ，连结 ，若四边形 的面积等于 ，求四边
形 的面积．
【变式6】．（22-23八年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 页的
练习中的第 题．
点 是矩形边 上的一个动点，矩形的两条边长 、 分别为 和 ．求点 到矩形的两条对角线
和 的距离之和．（提示：记对角线 和 的交点为点 ，连结 ）．
(1)【问题解决】小明发现：如图①，连结 ，过点 作 ，垂足分别为点 、 ，利用矩形对角
线的性质 ，便可求出 的值，请你运用小明发现的方法，求出点 到矩形的两
条对角线 和 的距离之和
(2)【规律应用】如图②，当点 是矩形边 上任意一点时， _______．
(3)【规律探究】如图③，当点 是 延长线上任意一点时，则 和 之间的数量关系是 ______．【变式7】．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那
么称这个正整数为“奇特数”．
例如： ；则 、 、 这三个数都是奇特数．
(1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”）
(2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形 ，其边长为
403，求阴影部分的面积．
【变式8】．（22-23八年级下·江苏·期末）解答题
(1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、
求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
(2)如图2，在 中，对角线交点为 分别是 的中点，
分别是 的中点，…，以此类推．若 的周长为1，直接用算式
表示各四边形的周长之和l；
(3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
类型4：特殊平行四边形中的阅读理解型问题
【例题4】（22-23八年级下·江苏常州·期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同．
应用：如图，点O是矩形 的对角线AC的中点， ，以O为直角顶点的 的顶点P在边
上， ，当P在 上运动时， 的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式1】（22-23八年级下·四川南充·期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图 ，在 中， 为 中点， 、 分别为 、 上一点，且
，求证： ．
小明发现，延长 到点 ，使 ，连接 、 ，构造 和 ，通过证明 与
全等、 为等腰三角形，利用 使问题得以解决 如图 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图 ，在矩形 中， 为对角线 中点，将矩形 翻折，使点 恰好与点 重合， 为折痕，
猜想 、 、 之间的数量关系？并证明你的猜想．
【变式2】（22-23八年级下·重庆渝北·期中）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在 中， ，且 ，试求 的值．
小明发现，过点E作 ，交 的延长线于点F，经过推理得到 ，再计算就能够使问题得
到解决（如图②） ，并写出推理和计算过程．
参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知 和矩形 ， 与 交于点G，求 的度数．【变式3】（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图 ，在 中， 分别交 于 ，交 于 ． 已知 ，
， ，求 的值．
小明发现，过点 作 ，交 延长线于点 ，构造 ，经过推理和计算能够使问题得到解决
(如图2)．
(1)请按照上述思路完成小明遇到的这个问题
(2)参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图 ，已知 和矩形 ， 与 交于点 ， ，求 的度数．
