第十五届华罗庚金杯决赛试题一组总决赛（小学高年级组）答案_奥数专题合集_H003小学奥数培训班课程+习题_华罗庚_小高

第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛试题解答 少年一组一试 一、填空题 1 b 1 1. 化简1(a1(b ))  = . c ab1 b(abcac) 【答案】1. 【解答】 1 b 1 原式 =   c ab1 b  abcac  a bc1 bc1 ab1 1 =   abcac b b(abcac) ab2cbcab11 = b(abcac) = 1. 2. 小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园, 小兔 1 分钟向前跳36 米, 每 跳3 分钟就原地玩耍, 第 1 次玩耍0.5 分钟, 第 2次玩耍 1 分钟, 第 3 次玩耍1.5 分钟, , 第 k 次玩耍0.5k分钟, 小龟途中从不休息和玩耍. 已知小龟比小兔早 到森林游乐园3 分 20秒, A地到森林游乐园有2640 米, 则小龟1 分钟爬行 米. 【答案】12 米. 【解答】小兔到达森林游乐园需要跳动 1 26403673 (分钟). 3 既然 1 4 73 324 , 3 3 小兔在到达森林游乐园签在途中就要共玩耍0.511.5120.51225150（分钟）. 设小龟1分钟爬行m 米, 则可以列出方程： 1 2640 1 73 150 3 . 3 m 3 解此方程, m＝12（米）. 1 3. A、B、C、D用10、20、30、40四个数的一个排列代入, 使得式 1 A 1 B 1 C  D 的值最大, 则A2B3C4D的值为 . 【答案】290 【解答】 解答 1：由于 10、20、30、40 四个数都是大于1 的数, 故有下面的关系式： 1 1 1C1C C, 1 B  B  B1 D 1 C D 1 1 1 1 A1 A  A,   . 1 A 1 A1 B A 1 1 C  B D 1 C  D 比较 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , 101 10 201 20 301 30 401 40 得到, 要使得算式的值最大,A10. 同样, 要使得算式的值最大, 1 1 B 1 C  D应该尽量大, 由 1 1 B  B  B1, 1 C D 比较 1 1 1 1 1 1 , , , , , , 201 20 301 30 401 40 1 得B20. 同样要使算式尽量大, 要尽量小, 1 C D 1 1 1   , C 1 C1 C D 比较 1 1 1 1 , , , , 30 301 40 401 故C 40, D30. 所以A2B3C4D的值为290. 解答 2：令 1 q  , 1 A 1 B 1 C D 则 1 1 BCD BD q    1 CD1 ABCD  AB ADCD1 A A D BCD BD B CD1 1 ABCD  AB ADCD1CD1   A ABCD  AB ADCD1 1 CD1  (1 ) A ABCD  AB AD AD1 1 1 1 1  (1 )  (1 ). A AD A ABCD AD AB 1  1 CD1 CD CD1当 A变小, q值变大. 所以 A10, 乘积CD变大, q值变大, 所以CD3040, AD10D, D取 30, q最大. 因此C 40, D30. 注意 1 24020 1 24010  ,  , 1 239001 1 238901 10 10 1 1 20 20 1 1 30 40 40 30 所以 A2B3C4D290. 二、解答题 4. 长方形OO BA的宽AO 1厘米, 分别以O 与O 为 1 2 1 1 2 圆心, 1 厘米为半径画圆O 和圆O , 交线段O O 于点 C 和 1 2 1 2 D, 如图 A-45 所示. 则四边形ABCD的面积等于多少平方厘 米? 图 A-45 【答案】1 平方厘米. 【解答】四边形ABCD是个梯形, AB=O O 是大底, CD是小底. 1 2 ABCDOO CD(OCO DCD)CD11CDCD2. 1 2 1 2 所以 (ABCD)AO 21 S  1  1（平方厘米）. ABCD 2 2 5. 对于十进制自然数n, S(n)表示 n的数码和, 三位数中满足S(a)S(2a) 的数a有多少个？ 【答案】80. 【解答】以下用a 表示满足题设条件的三位数. 0S(2a)S(a)S(2aa)S(a)(mod9).所以a是 9的倍数. 是9 的倍数的三位数有129，139，，1119. 共计 100 个. （ 1 ） 数 码 5 x y z0 , 且 其 和 为 9 的 数 组 {x,y,z}{4,4,1},{4,3,2},{3,3,3}. 数组{4,4,1}可以组成 3 个三位数；数组 {4,3,2}可以组成6 个三位数；数组{3,3,3}可以组成1 个三位数, 这10 个数不满 足条件. （2）设a100x10yz, x,y,z为数码. 则2a1002x102y2z, 若 x,y,z中有一个不小于5 时, 例如y5, 则2y10m, 0m8. 2a100(2x1)10m2z, S(2a)2x1m2z2x1(2y10)2z2(x yz)92S(a)9 . 完 全 一 样 可 以 证 明 , 当 x,y,z 中 有 k (0k 3) 个 数 码 大 于 5 时 , S(2a)S(a)9k. 因此数码x5 y z0, 且其和为9 的数组{x,y,z}所组成的 三位数是满足条件的数. 数码和为 9的三位数不可能有2 个大于4 的数码. （3）三个数码和为18 的三位数, 至少有2 个数码大于4. 由上面的说明, 三 个数码和为18的三位数, 恰有 2个数码大于4 时, 这样的三位数满足条件. 三个 数码和为18, 恰有 3个数码大于4 的数组 {x,y,z}, x y z.{x,y,z}={5, 5, 8}; {5, 6, 7}; {6, 6, 6}. 用数码{5, 5, 8}可组成3 个三位数；用数码{5, 6, 7}可组成6个三位数；用数码{6, 6, 6}可组成一个三位数, 共计 10, 这 10 个三位数不满足条件. （4）三个数码和为27 的三位数只有999, 满足条件. 综上所述, 100个9的倍数的三位数中, 有20个数不满足条件, 所以, 满足条 件的三位数由80 个. 6. n 张纸片, 每张都写有不大于n 的3 个不同正整数, 任意2 张纸片恰有一 个数是相同的. 求纸片上所有写的数的和.【答案】84. 【解答】 设a是出现最多的数字. 一共有k 张, 则这k张纸片一共写有2k+1 个不同的数字, 因为每个数都不大于 n, 所以2k1n. 因此, k n, 所以, 至 少还有一张纸片没写上 a. 这张没写 a 的纸片与前面k 张纸片中任一张纸片都恰 有一个数相同, 这些数字彼此不同, 而且这个数不是 a. 但是这张纸片上只有三 个不同的数字, 所以, k=3. 因此, n2k17. 另外, n张纸片写有3n个数, 同 一个数最多写3 次, 所以, 1,2,,n每个数都写了3 次. 如果n7, 三张写有1 的纸片上有7个不同的数, 由于n7, 所以, 还有一 个数不出现在这三张纸片上, 记为b. 写有b的纸片上有 3 个数, 这张纸片与写 有a的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字, 这个数字不是1, 也不是b. 但是 写有b的纸片上,除了b 外, 还只有2个数字, 不可能与写有1 的三张纸片每张都 有一个相同的数字. 所以n=7． 每 个 数 恰 在 三 张 纸 片 上 出 现 , 所 有 写 的 数 的 和 为 3(127)32884. 下面是一个实例： 1, 2, 3 1, 4, 5 1, 6, 7 2, 4, 6 2, 5, 7 3, 4, 7 3, 5, 6