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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 14 平面向量中等和线的应用（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、平面向量共线定理
已知 ，若 ，则A，B，C三点共线，反之亦然.
二、等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点P在直线AB上或者在平行
于AB的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和
线.
（1）当等和线恰为直线AB时，k=1；
（2）当等和线在O点和直线AB之间时， ；
（3）当直线AB在点O与等和线之间时， ；
（4）当等和线过O点时，k=0；
（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.
三、证明步骤
如图1， 为 所在平面上一点，过 作直线 ，由平面向量基本定理知：
存在 ，使得
下面根据点 的位置分几种情况来考虑系数和 的值①若 时，则射线 与 无交点，由 知，存在实数 ，使得
而 ，所以 ，于是
②若 时，
（i）如图1，当 在 右侧时，过 作 ，交射线 于 两点，则
，不妨设 与 的相似比为
由 三点共线可知：存在 使得：
所以
（ii）当 在 左侧时，射线 的反向延长线与 有交点，如图1作 关于 的对称点 ，由（i）的
分析知：存在存在 使得：
所以 于是
，
综合上面的讨论可知：图1中 用 线性表示时，其系数和 只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为
三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过 作 边的垂线 ，设
点 在 上的射影为 ，直线 交直线 于点 ，则 ( 的符号由点 的位置确定)，因此
只需求出 的范围便知 的范围
一般解题步骤：（1）确定单位线（当 时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；
（3）从长度比计算最值.
二、题型精讲精练【典例1】设 是 边 上的点， ,若 ，则 =（
）
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以
，由于此时等和线为 ，所以 ，即 .
【典例2】如图，四边形 是边长为1的正方形，点 在 的延长线上，且 ，点 是
（含边界）的动点，设 ，则 的最大值为（ ）
【解析】当点 位于点 时，过点 作 ，交 的延长线于 ,则 ，
且 ，所以 ，所以
.故答案为： .
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1.已知 为 的外心，若 且 ，则
（ ）
【解析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，
过点 作 交 的延长线于 ，交 的延长线于 ，
因为 则 ，从而有 ,
而三角形 的外接圆的半径为 ，所以 ,
且 ，所以 ，所以 ,
所以 ,故 ，由于 ，因此 .2.在 中， 为边 上的任意一点，点 在线段 上，且满足 ，若
，则 的值为
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】设 ， ，
所以
，
又 ，
所以 ．
故选： ．
3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若 ，则
的最大值为（ ）
A.3 B. C. D.2
【解析】：根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时有最大值，此时 ，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则
答案：A
4.在 中，点D是线段BC上任意一点，且满足 ，若存在实数m和n，使得
，则m+n=（ ）
A. B. C. D.
【解析】 ，则 ，
所以 ，则
答案：C
5.已知抛物线 的焦点为F，点 ，过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛
物线上任意一点，若 ，则m+n的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】因 ，则 ，当等和线相切于抛物线时 有最小值，过C
作两等和线的垂线，垂足分别为T、S，则
由抛物线方程为 可得直线AB方程为 ， ，故
切点为 ，此时切线方程为 ， ，
则
答案：A
6.在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，若
，则 的最大值为( )
【解析】：如图所示：
过 作 的垂线，垂足为 ，则 ，
当 三点共线时，高线最长，即
7.已知 是 内一点，且 ，点 在 内（不含边界），若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 是 内一点，且
所以O为 的重心
在 内（不含边界），且当M与O重合时， 最小，此时
所以 ，即
当M与C重合时， 最大，此时
所以 ，即
因为 在 内且不含边界
所以取开区间，即
所以选B
8.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若 ，则 的最
大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设 ，则 ，
∵BC//EF，∴设 ，则
∴ ，
∴
∴ 故选：A.
二、填空题
1.如图，在同一个平面内，向量 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为 ，且
， 与 的夹角为 ，若 ，则m+n=______.
【解析】连接AB，过C点作AB的平行线，则 ，
在 中，由题意可知 ,
所以 ，根据三角形张角定理得 ，所以 ，则
答案：3
2.已知P是 内任一点，且满足 ， ，则y+2x的取值范围是_____.
【解析】 （D为AB中点）
所以当等和线过点B时，y+2x有最大值 ,当等和线过点A时，y+2x有最小值 ，又因P是
内任一点，故不能取等号，所以
答案：
3.如图，正六边形 ， 是 内（包括边界）的动点，设 ，
则 的取值范围是____________
【解析】：连接 因为正六边形 ，
由对称性知道，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，
当 在 上时， 在 上射影最小为 ；
当 与 重合时， 在 上射影最大为 ；
则
设 则
则
