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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 26 立体几何中的轨迹问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、立体几何中的轨迹问题
立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的
交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌
握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.
二、常用的解决策略
(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.
(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.
(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.
(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化
也是解决立体几何题目的一般性思路.
三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析
θ(0<θ<90°)
令平面与轴线的夹角为 ,圆雉的母线与轴的夹角为 ,如图②.
(1) 当 时,截口曲线为椭圆;
(2)当 时,截口曲线为抛物线;
(3)当 时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点 .在截口曲线上任取一点 ,过点
作圆雉的母线,分别与两球切于点 .由球的性质可知 ,于是为定值,这样截口曲线上的任一点 到两个定点 的距离之和为
常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别
与截面切于点 .在截口曲线上任取一点 ,过点 作圆雉的母线,分别与两球切于点 .由球的性质
可知 ,于是 为定值,这样截口曲线上的任一
点 到两个定点 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线 且垂直于轴截面 的平面 去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧
面与截面 相切,球与截面切于点 .设 为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记 .在截口
曲线上任取一点 ,作直线与球相切于点 ,连结 ,有 .在母线 上取点 ( 为 与
球的切点),使得 .过点 作 ,有点 在 上,且 .另一方面,因为平面
与 垂直,那么 平面 ,有 ,所以 .于是截口曲线是以点 为焦点, 为准线的抛
物线.二、题型精讲精练
1 . 平行、垂直有关的的轨迹问题
①平行有关的轨迹问题的解题策略
1.线面平行转化为面面平行得轨迹;
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
②垂直有关的轨迹问题的解题策略
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
2.利用空间坐标运算求轨迹;
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.
【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-ABC D 中，E、F、G、H、N分别是CC 、C D、DD 、
1 1 1 1 1 1 1 1
CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面ABD，则点M轨迹的长度是（ ）
1
A． a B． a C． D．
【答案】D
【分析】连接GH、HN，有GH∥BA ，HN∥BD，证得面A BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运
1 1
动，即满足条件，由此可得选项.
【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A B C D 中，E、F、G、H分别是
1 1 1 1CC 、C D、DD 、CD的中点，N是BC的中点，
1 1 1 1
则GH∥BA ，HN∥BD，又 面A BD，BA 面A BD，所以 面A BD，同理可证得 面
1 1 1 1 1
A BD，
1
又 ，∴面A BD∥面GHN，
1
又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A BD，
1
则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH= a，则点M轨迹的长度是 a.
【典例2】在正方体 中，Q是正方形 内的动点， ，则Q点的轨迹是（
）
A．点 B．线段 C．线段 D．平面
【答案】B
【分析】如图，连接 ,证明 ,又 ，即得解.
【详解】
如图，连接 ,
因为 平面 ,所以 平面 , 又 平面
,
所以 ,又 .所以点 在线段 上.故选：B
2 . 距离、角度有关的的轨迹问题
①距离有关的轨迹问题的解题策略
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识
求解轨迹；
2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略
1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例3】已知正方体ABCD-ABC D 的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，AD 距离相
1 1 1 1 1 1
等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】D
【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系 ，求出点P的轨迹方程即可判断.
【详解】
如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA 交A D 于G，连结PG，由题意可知
1 1 1
PE=PG
以D为坐标原点建立空间直角坐标系 ，设 ，由PE=PG得：
，平方得： 即点P的轨迹是双曲线.故选：D.
【典例4】正方体 中， ， 分别为 ， 的中点， 是边 上的一个点（包括
端点）， 是平面 上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线 与直线 的夹角相等，则
点 所在轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线【答案】D
【分析】根据题设分析可知： 点轨迹为以 为母线， 为轴， 为底面直径的圆锥体，及其关于
反向对称的锥体与平面 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断
所在轨迹的形状.
【详解】由题设， 点轨迹为以 为母线， 为轴， 为底面直径的圆锥体，及其关于 反向对称
的锥体与平面 的交线，如下图示：
当 是边 上移动过程中，只与下方锥体有相交， 点轨迹为抛物线；
当 是边 上移动过程中，与上方锥体也有相交， 点轨迹为双曲线；
故选：D
3 . 翻折有关的的轨迹问题
①翻折有关的轨迹问题的解题策略
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例5】1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，
可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在
生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的
圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，
使得 与小球相切．若 ，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，从而可得 ， ， ，利用勾股定理可得 ，再由离心
率的定义即可求解.
【详解】在 中，设 ，
， ， ， ，
， ∴长轴长 ， ， 则离心率 .故选：A
【题型训练2-刷模拟】
1 . 平行、垂直有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥 的底面边长为2，高为2，E是边 的中点，动点P在
表面上运动，并且总保持 ，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由题意，动点P的轨迹为过E且垂直 的平面与正四棱锥 的交线，再根据线面垂直的
性质求解即可.
【详解】如图，设 交于 ，连接 ，由正四棱锥的性质可得， 平面 ，因为 平面，故 .
又 ， ， 平面 ，故 平面 .
由题意， 则动点P的轨迹为过E且垂直 的平面与正四棱锥 的交线，即如图 ，
则 平面 .
由线面垂直的性质可得平面 平面 ，又由面面平行的性质可得 ， ， ，
又E是边 的中点，故 分别为 的中位线.
由题意 ，故 .
即动点P的轨迹的周长为 .
故选：A
2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱 中， ， ，
为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且 ，则点 的轨迹的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点 垂直于 的正四棱柱的截面即可计算
作答.
【详解】在正四棱柱 中，连接 ，如图， ， 平面 ，因为 平面 ，则 ，又 平面 ，
，则 平面 ，又 平面 ，则 ，
取 中点 ，连接 ，在平面 内过 作 ，交 于 ，显然 ，
而 平面 ，则 平面 ，有 ，
又 平面 ， ，于是 平面 ，而 平面 ，因此 ，
因为 平面 ， ，从而 平面 ，
连接 ，则点 的轨迹为平面 与四棱柱的交线，即 ，
因为 ，即有 ，又 ，
于是 ，有 ， ，
所以点 的轨迹长为 .
故选：A
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几
何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点
中至少有两个点在几何体的同一平面上.
3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体 中，点 满足 ， ， 分别为棱 ， 的中点，点 在正方体 的表面上运动，满足 面 ，则点 的轨
迹所构成的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，找到点 的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.
【详解】延长 ，交 的延长线与 ，连接 ，分别交 ， 于 ，
过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 ，
过点 作 交 于点 ，
连接 ，则
则平行四边形 （ 点除外）为点 的轨迹所构成的图形，
因为正方体棱长为4， ， 分别为棱 ， 的中点， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
过点 作 ⊥ 于点 ，则 ，
则由几何关系可知 ，所以 ，由勾股定理得 ，
所以点 的轨迹所构成的周长为 .
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ， 的
中点，点P是正方体表面上的动点，若 平面 ，则 点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要满足 平面 ，只需要寻找一个平面，使该平面经过 ，且与平面 平行即可,
取 的中点G， 的中点H，连结 .证明出面 面 .得到 点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形 ，求出周长即可.
【详解】取 的中点G， 的中点H，连结 .
正方体 的棱长为2. 为中点，所以 ,所以 且
.
因为 为分别为 的中点，所以 ,且 ，所以四边形 为平行四边形，所以
.
因为 面 ， 面 ，所以 面 .
同理可证： 面 .
又 , 面 , 面 ,
所以面 面 .
所以 点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形 .
因为正方体 的棱长为2，所以 ,
所以三角形 的周长为 .
故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体 中， 分别为 ， 的中点，
点 在正方体的表面上运动，且满足 平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 可以是棱 的中点 B．线段 的最大值为
C．点 的轨迹是正方形 D．点 轨迹的长度为
【答案】B
【分析】如图，取棱 的中点 ，连接 ，进而证明平面 平面 ，再结合题意可
知直线 必过 点，进而取 中点 ，连接 ，证明 平面 即可得四边形
为点 的轨迹，再根据几何关系依次判断各选项即可.
【详解】解：如图，取棱 的中点 ，连接 ，
因为 分别为 ， 的中点，
所以，在 中， ，由于 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，所以，四边形 为平行四边形，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以，平面 平面 ，
由于 为体对角线 的中点，
所以，连接 并延长，直线 必过 点，
故取 中点 ，连接 ，
所以，由正方体的性质易知 ，
所以，四边形 是平行四边形， ， ，
因为， ， ，
所以， 共线，即 平面 ，
所以，四边形 为点 的轨迹，故A选项错误；
由正方体的棱长为 ，所以，四边形 的棱长均为 ，且对角线为 ，，
所以，四边形 为菱形，周长为 ，故CD选项错误，
由菱形的性质知，线段 的最大值为 ，故B选项正确.
故选：B【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱 的中点 ，进而证明平面 平面 ，再根据
面面平行的性质求解点 轨迹即可求解.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为1的正方体 ， 是 的中点，动点 在正
方体内部或表面上，且 平面 ，则动点 的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点M做平面 的平行截面，再求四边形面积即可.
【详解】
如图所示 E、F、G、M分别是 、 、 、 的中点，
则 ， ，所以 平面 ， 平面 ，且 ，
所以平面 平面 ，故点P的轨迹为矩形 .
，所以 ，所以 .
故选：A
【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题.
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图， 为圆柱下底面圆 的直径， 是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点 在圆柱表面上运动，且满足 ，则点 的轨迹所围成图
形的面积为 ．
【答案】10
【分析】先推出 平面 ，设过 的母线与上底面的交点为 ，过 的母线与上底面的交点为 ，
连 ，推出 平面 ，从而可得点 的轨迹是矩形 ，计算这个矩形的面积即可得解.
【详解】因为 是圆柱下底面圆 的直径，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
设过 的母线与上底面的交点为 ，过 的母线与上底面的交点为 ，连 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点 在平面 内，又点 在圆柱的表面，所以点 的轨迹是矩形 ，
依题意得 ， ， ，所以 ，
所以矩形 的面积为 .
故点 的轨迹所围成图形的面积为 .
故答案为： .
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体 的棱长为 ，动点P在 内，满足，则点P的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】确定正方体 对角线 与 的交点E，求出 确定轨迹形状，再求出轨迹
长度作答.
【详解】在正方体 中，如图，
平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
则 ，同理 ，而 平面 ，因此 平面 ，
令 交平面 于点E，由 ，得 ，
即 ，解得 ，而 ，于是 ，
因为点P在 内，满足 ，则 ，
因此点P的轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆在 内的圆弧，
而 为正三角形，则三棱锥 必为正三棱锥， 为正 的中心，
于是正 的内切圆半径 ，
则 ，即 ， ，所以圆在 内的圆弧为圆周长的 ，即点P的轨迹长度为 ．故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面
平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.
9．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点 是棱长为 的正方体
的内切球 的球面上的动点，点 为棱 上的一点，且 ， ，则动
点的轨迹的长度为 ．
【答案】
【分析】由题意画出图形， 上取点 ，使得 ，连接 ，由线面垂直的判定定理和
性质，可得 平面 ，所以 点的轨迹为平面 与球 的截面圆周，求出截面圆的半径即可得
出答案.
【详解】
如图所示，在 上取点 ，使得 ，连接
，又 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ， 平面
平面
又点 是棱长为 的正方体 的内切球 的球面上的动点且 ，可得 点的轨
迹为平面 与球 的截面圆周.
连接 ,则
又
又 在平面 ，则 到平面 的距离：
又
设 到平面 的距离为 ，则 ，解得
又正方体 的内切球 得半径
则截面圆的半径 ，
因此可得动 点的轨迹的长度为 .
故答案为：
【点睛】本题是一道空间线面位置关系及多面体与球的内切等位置关系与距离、体积的计算等能力的综合
运用．解答时先将问题转化和化归为平面 与球 的截面圆周的周长问题，进而转化为 到平面
的距离为 ，运用等体积法求出 ，借助截面圆的半径与球的半径，球心距之间的关系 求出截
面圆周的半径，最后求出截面圆的周长也即为动 点的轨迹的长度.2 . 距离、角度有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体 的外接球的表面积为 ， ，
点P在四边形 内，且直线BP与平面 所成角为 ，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹
长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由题意得到长方体体积最大时，得到几何体的棱长，设 ， 相交于点 ，由 平面
，确定线面角，从而确定点 的轨迹，从而得解.
【详解】因为长方体 的外接球的表面积为 ，设外接球的半径为 ，
所以 ，解得 或 （舍去），即外接球的直径为 ，
设 ， ，则 ，可得 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立．
如图，设 ， 相交于点 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，故 ，则点 的轨迹是以 为圆心，半径 的半圆弧，
所以动点 的轨迹长为 ．故选：C
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱
锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为 ，动点Q在正方形ABCD内运
动，且满足 ，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等体积法及几何关系求出关于动点Q的等式关系 ，根据相关几何意义即可求出动点Q形成
轨迹的周长.
【详解】设内切球O的半径为R，则 ，∴ ．
如图，连接AC与BD，设交点为F，取AD的中点E，连接PE，PF，EF．
根据等体积法得 ，
∴ ，整理得 ，又 ，解得 ， ．∴ ， ， ．
在 中， ．
∴点Q在以点F为圆心， 为半径的圆上，其周长为 ．
故选：C．
3．（2023·山东淄博·统考三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且 ，球体O表面
上动点P满足 ，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，根据 确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心
距 ，对应圆的半径为 ，再计算周长得到答案.
【详解】以 所在的平面建立直角坐标系， 为 轴， 的垂直平分线为 轴，
，则 ， ，设 ， ，
则 ，整理得到 ，
故 轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
转化到空间中：当 绕 为轴旋转一周时， 不变，依然满足 ，
故空间中 的轨迹为以 为球心，半径为 的球，
同时 在球 上，故 在两球的交线上，为圆.
球心距为 ，为直角三角形，对应圆的半径为 ，
周长为 .
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）在正方体 中，E为 的中点，F为底面ABCD上一动点，
且EF与底面ABCD所成的角为 ．若该正方体外接球的表面积为 ，则动点F的轨迹长度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取AD的中点H，连接EH，判断出 为EF与底面ABCD所成的角，即 ．设正
方体的棱长为a，利用外接球的表面积求出 .判断出F的轨迹为以H为圆心， 为半径的圆在正方形
ABCD区域内的部分，利用弧长公式求出动点F的轨迹的长度.
【详解】
如图1，取AD的中点H，连接EH，则 .在正方体 中， 底面ABCD，所以 底面ABCD.
所以 为EF与底面ABCD所成的角，则 ．
设正方体的棱长为a，因为该正方体外接球的表面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，从而 ，
所以F的轨迹为以H为圆心， 为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2．
在图2中， ，
所以 ，则 ，
根据对称性可知 ，所以 ，
故动点F的轨迹周长为 ．
故选：A
5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥 的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶
点P到底面ABC的距离为4，体积为 ，若该三棱锥的外接球O的半径为 ，则满足上述条件的顶点P
的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三棱锥 的体积，求解底边边长，求出 的外接圆半径，以及球心 到底面
的距离，判断顶点 的轨迹是一个截面圆的圆周，进而求解周长即可．
【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形 的直角边长为 ，
三棱锥 的体积解得：
的外接圆半径为
球心 到底面 的距离为
，
又 顶点P到底面ABC的距离为4，
顶点 的轨迹是一个截面圆的圆周
当球心在底面 和截面圆之间时，
球心 到该截面圆的距离为 ，
截面圆的半径为 ，
顶点P的轨迹长度为 ；
当球心在底面 和截面圆同一侧时，
球心 到该截面圆的距离为 ，故不成立．
综上所述，顶点P的轨迹的总长度为 ．
故选：D．
6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）在正四面体 中，点 为 所在平面上的
动点，若 与 所成角为定值 ， 则动点 的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】B
【分析】把条件转化为 与圆锥的轴重合，面 与圆锥的相交轨迹即为点 的轨迹后即可求解.
【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令 与圆
锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与 所成角为定值，所以面 与圆锥的相交轨迹即为点 的轨
迹.根据题意， 不可能垂直于平面 即轨迹不可能为圆. 面 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算 与平面 所成角为 ，即 时，轨迹为抛物线，
时，轨迹为椭圆， ，所以轨迹为椭圆.
故选：B.
【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.
7．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体 中，点 是侧面 上的一个动点
（包含边界），则下面结论正确的有（ ）
①若点 满足 ，则动点 的轨迹是线段；
②若点 满足 ，则动点 的轨迹是椭圆的一部分；
③在线段 上存在点 ，使直线 与 ．所成的角为 ；
④当 在棱 上移动时， 的最小值是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】对于①，证明 平面 即可解决；对于②，若 ，则 在以 为轴，母线所在
直线为 的圆锥曲线的侧面上，即可解决；对于③，当 为 中点时， 此时 最小，计算得 即可解决；对于④，平面 旋转到与平面 重合，连接 交
于 ，即可解决.
【详解】连接
所以 ，
又正方体 中， 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
所以只要 在线段 上，就有 ，
所以动点 的轨迹是线段 ；故①正确；
若 ，
则 在以 为轴，母线所在直线为 的圆锥曲线的侧面上，
平面 与圆锥的轴 斜交，截圆锥的侧面所得的截线是椭圆，故②正确；因为
所以 与 所成的角等于 与 所成的角 ，
当 为 中点时，
此时 最小，
在 中，
所以 不可能为 .故③错误；
如图，将平面 旋转到与平面 重合，
连接 交 于 ，
此时 的最小值为 故④错误；
故选：B.二、填空题
8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）在棱长为3的正方体 中， 为棱 上一点，
且 ，则正方体表面到 点距离为 的点的轨迹总长度为 .
【答案】
【分析】根据以 为球心， 为半径的球与正方体表面的交线长度来求得轨迹总长度.
【详解】以 为球心， 为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，
在平面 和平面 上轨迹是以 为圆心， 为半径，
圆心角为 的两段弧，弧长为 ，
在平面 上的轨迹是以 为圆心，1为半径，圆心角为 的弧，弧长为 ，
在平面 上的轨迹是以 为圆心，2为半径，圆心角为 的弧，弧长为 ，
因此，轨迹的总长度为 .
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的外接球 的半径为 ， 为等腰直角三角形，若顶点 到底面 的距离为4，且三棱锥 的体积为 ，则满足上述条件的顶点 的轨迹长度是
．
【答案】
【分析】设 直角边的边长为 ，根据三棱锥 的体积为 ，求得 ，进而求得外接圆
半径为 ，得出球心 到底面 的距离 ，得出球心 到该截面圆的距离 ，进而求得截面
圆的半径 ，即可求得点 的轨迹长度.
【详解】设底面等腰直角三角形 的直角边的边长为 ，
∴顶点 到底面 的距离为4且三棱锥 的体积为 ，
∴ ，解得 ，
∴ 的外接圆半径为 ，
∴球心 到底面 的距离为 ，
又∵顶点 到底面 的距离为4，
∴顶点 的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面 和截面圆之间）且球心 到该截面圆的距离为
，
∵截面圆的半径 ，
∴顶点 的轨迹长度是 ，
故答案是： ．
【点睛】解题方法点拨：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出
动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；10．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 为正方体 的内切球球面上的动
点， 为 的中点， ，若动点 的轨迹长度为 ，则正方体的体积是 .
【答案】
【分析】将动点 的轨迹转化到平面与内切球的交线，其交线为圆，根据轨迹长度可求得圆的半径，利用
射影定理与中位线性质，求出 到截面的距离，再利用勾股定理即可求出内切球的半径，即可得正方体的
棱长，即可求体积.
【详解】如图所示：
正方体 ，设 ，则内切球的半径 ，
其中 为 的中点，取 的中点 ，连接 ,
则有： ,
又 , 平面 ，
所以 平面 ，
所以动点 的轨迹是平面 截内切球 的交线，
即平面 截内切球 的交线，
因为正方体 ， ，
如图所示：连接 ,则有 且 ，
， 且 ，
设 到平面 的距离为： ，
则在三棱锥 中，有 ，
所以 ，
即 ，
解得： ，
截面圆的半径 ，
所以动点 的轨迹长度为： ，
即 ，解得 ，
所以 ，正方体的体积： ，
故答案为： .
3 . 翻折有关的的轨迹问题
一、单选题
1．已知菱形 的各边长为 .如图所示，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置，
连接 ，得到三棱锥 ，此时 ， 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 ，则点 的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取 中点 ，作 ，设点 轨迹所在平面为 ，设三棱锥 外接球的球心为
的中心分别为 ，则可得 平面 平面 ，且 四点共面，求
出三棱锥 外接球半径和 到平面 的距离，从而可求出平面 截外接球所得截面圆的半径，进而
可得结果.
【详解】取 中点 ，连接 ，
则 ， 平面
∴ 平面 ， ，又 ，
∴ ，
则三棱锥 的高 ，
三棱锥 体积为 ；
作 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 且 ，设三棱锥 外接球的球心为 的中心分别为 ，
易知 平面 平面 ，且 四点共面，
由题可得 ， ，
解Rt ，得 ，又 ，
则三棱锥 外接球半径 ，
易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
∴截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 .
故答案为： .
2．如图，正方形 的边长为 为 的中点，将 沿 向上翻折到 ，连接 ，在
翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）①四棱锥 的体积最大值为 ②． 中点 的轨迹长度为
③ 与平面 所成角的正弦值之比为
④三棱锥 的外接球半径有最小值 ，没有最大值
A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】根据题意，根据四棱锥的体积公式，以及线面角的概念和三棱锥的外接球概念作图，逐个选项进
行判断即可求解
【详解】由已知梯形 面积为 ，直角 斜边
上的高为 .当平面 平面 时，四棱锥 的
体积取最大值 . ①正确；
取 中点为 ，则 平行且相等，四边形 是平行四边形，
所以，点 的轨迹与点 的轨迹完全相同，过 作 的垂线，垂足为
的轨迹是 以为圆心， 为半径 的半圆弧，从而
中点 的轨迹长度为 .②错误；由四边形 是平行四边形知 ，
则 平面 ，则 到平面 距离相等，
故 ， 与平面 所成角的正弦值之比为等于 . ③正确；
外接圆 半径为 是 中点，根据正弦定理
外接圆 半径为 是圆 与圆 公共弦， .
设三棱锥 外接球球心为 ，半径为 ，
则
因为 ，所以 ，所以 最小值为 ，没有最大值. ④正确；
故选：C
3．如图，在长方形ABCD中，AB= ，BC=1，E为线段DC上一动点，现将 AED沿AE折起，使点D
在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
