文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 19 等差数列中 Sn 的最值问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、等差数列的通项公式和前n项和公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，那么它的通项公式是 ．
2.等差数列的前 项和公式
设等差数列 的公差为 ，其前 项和 ．
注：数列 是等差数列⇔ （ 为常数）．
二、等差数列的前n项和的最值
1.公差 为递增等差数列， 有最小值；
公差 为递减等差数列， 有最大值；
公差 为常数列．
2.在等差数列 中
（1）若 ，则满足 的项数 使得 取得最大值 ；
（2）若 ，则满足 的项数 使得 取得最小值 ．
即若 ，则 有最大值（所有正项或非负项之和）；
若 ，则 有最小值（所有负项或非正项之和）．
二、题型精讲精练【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．（2023·四川泸州·统考三模）记 为等差数列 的前n项和，已知 ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知求得公差 ，得等差数列前 项和 ，结合二次函数知识得最小值．
【详解】设公差为 ，
则 ， ，
，
所以 时， 取得最小值 ．故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则使
取得最大值时n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】由等差数列的通项公式、前 项和公式列方程组求得 和公差 ，写出前 项和，由二次函数性
质得结论．
【详解】等差数列 中， ，
则 ， ，
∴ ，
解得 ， ．
∴ ，
∴当 时， 取得最小值．
故选：B．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列 的前n项和为 ，公差为 ，若 ，则
不正确的（ ）
A．数列 单调递减 B．数列 没有最小值
C．数列{ }单调递减 D．数列{ }有最大值
【答案】C
【分析】根据等差数列的公差 即可判断AB,根据 的函数特征即可结合二次函数的性质求解CD.
【详解】由于公差 ，所以 单调递减，故A正确，由于 为无穷的递减等差数列，所以B正确，由 ，故 为开口向下关于 的二次函数，且对称轴为
，由于对称轴 与1的关系不明确，所以无法确定单调性，但是由于开口向下，故
有最大值，故C错误，D正确，
故选：C
4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，
则 取最大值时 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】利用等差数列的性质得出 即可求解.
【详解】 等差数列 ， ， ，
， ，则 取最大值时， .
故选：A.
5．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则
当 取最大值时， 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由已知结合等差数列的性质和前 项和公式，可推得 ， ，从而得解．
【详解】因为等差数列 中， ，即 ，
所以 ，因为 ，即 ，
所以 ，
由 为等差数列，得 时， ； 时， ，
所以当 时， 取得最大值．
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）设数列 为等差数列， 是其前n项和，且 ，则下
列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最大值
【答案】C
【分析】由 可判断B；由 ，分析可判断A；由 可
判断C；由 ， 可判断D.
【详解】根据题意，设等差数列 的公差为 ，依次分析选项：
是等差数列，若 ，则 ，故B正确；
又由 得 ，则有 ，故A正确；
而C选项， ，即 ，可得 ，
又由 且 ，则 ，必有 ，显然C选项是错误的.
∵ ， ，∴ 与 均为 的最大值，故D正确；
故选：C
7．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列 中， ，且公差 ，则
其前 项和取得最大值时 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意判断出 ，即可得到答案.
【详解】由等差数列的公差 ， 知， ，所以 ，故 ，则数列
的前 项和取得最大值时 的值为 .
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）设 为等差数列 的前 项和，且 ，都有 ，若
，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】C
【分析】通过分析得数列 为递减的等差数列，根据 得 ， ，即可得到 有最大
值，为 .
【详解】由 得 ，∴数列 为递减的等差数列，
∵ ，∴ ， ，
∴当 且 时， ，当 且 时， ，
∴ 有最大值，最大值为 .
故选：C.
9．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列 的前n项和为 ，公差为d，若 ， ，则下列四个命题正确个数为（ ）① 为 的最小值 ② ③ ， ④ 为 的最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得 ， ，从而确定 ，即
可逐项判断得答案.
【详解】等差数列 中， ，则 ，故②正确；
又 ，所以 ，故 ，则 ，故③正确；
于是可得等差数列 满足 ，其为递增数列，则 ，又 ，所以
为 的最小值，故①正确，④不正确；
则四个命题正确个数为 .
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）数列 是递增的整数数列，若 ， ，则 的最
大值为（ ）
A．25 B．22 C．24 D．23
【答案】D
【分析】数列 是递增的整数数列， 要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数，所以，可得
是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的前 项和公式即可求解.
【详解】数列 是递增的整数数列， 要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数.
假设递增的幅度为 ， ， ，
，解得 ，
当 时， ，不满足题意.当 时， ，满足，所以 的最大值为23.
故选：D.
11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设 为等差数列 的前n项和，且 ，都有
，若 ，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】A
【分析】由 结合等差数列的前n项和公式可知数列 为递增的等差数列，由 可得 ，
，即可求出， 有最小值，且最小值为 .
【详解】由 ，得 ，即 ，
所以数列 为递增的等差数列.
因为 ，所以 ，即 ，
则 ， ，所以当 且 时， ；
当 且 时， .因此， 有最小值，且最小值为 .
故选：A.
12．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列 中，前n项和为 ，若 ， ，则在 ， ，
…， 中最大的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ， ，知 ，得 最大值是 ，从而判断结果．
【详解】∵等差数列前n项和 ，
由 ， ，得 ，
∴ ，
故 为递减数列，当 时， ；当 时， ，所以 最大值是 ，
则当 时， 且单调递增，当 时， ，∴ 最大．
故选：B．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知各项为正的等比数列 的公比为q，前n项的积为 ，且
，若 ，数列 的前n项的和为 ，则当 取得最大值时，n等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】设 首项为 ，由题可知 ，则数列 为等差数列，后由 ，
可得 ，即可得答案.
【详解】设 首项为 ，因等比数列 各项为正，则 ，
，则数列 为等差数列.，又由题可得 ，则
，即数列 为递减等差数列.
则数列 前7项为正数，则当 取得最大值时，n等于7.
故选：B
14．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 的首项为正数，其前n项和为 .现有下列命题，其中是假
命题的有（ ）
A．若 有最大值，则数列 的公差小于0
B．若 ，则使 的最大的n为18
C．若 ， ，则 中 最大
D．若 ， ，则数列 中的最小项是第9项
【答案】B
【分析】由 有最大值可判断A；由 ，可得 ， ，利用 可
判断BC； ， 得 ， ，
可判断D.
【详解】对于选项A，∵ 有最大值，∴ 等差数列 一定有负数项，
∴等差数列 为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵ ，且 ，
∴ ， ，∴ ， ，
则使 的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵ ， ，
∴ ， ，
故 中 最大，故选项C正确；
对于选项D，∵ ， ，
∴ ， ，
故数列 中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.
15．（2023·全国·高三专题练习）对于数列 ，定义 为 的“优值”．现已
知数列 的“优值” ，记数列 的前 项和为 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为
【答案】B
【分析】A选项，根据条件得到 ，求出 ；利用等差数列求和公式及
分组求和得到 ；先得到 ，解不等式，得到 时， 且 ；
并利用等差数列求和公式求出最小值.
【详解】由题意可知， ，则 ①，
当 时， ，当 时， ②，
①-②得， ，解得 ，当 时也成立，
，A正确；
，B错误；
，令 ，解得： ，且 ，
故当 或9时， 的前 项和 取最小值，
最小值为 ，CD正确．
故选：B
16．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .若存在实数 ， ，使得
，且 ，当 时， 取得最大值，则 的值为（ ）
A．12或13 B．11或12
C．10或11 D．9或10
【答案】B
【分析】根据 变形为 ，令 ，则
，由此可设函数 ，利用其导数推得 ，结合
可得 ，即 ，从而推得 ， ，结合等差数列的单调性即可求得答
案.
【详解】由等差数列 中， ，即 ,而 ，即有 ,
令 ，则有 ，
令函数 ，则 ,
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增,
故 ,从而有 ，则有 ,当且仅当 时，等号成立;
同理 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，当且仅当 时，等号成立,
又 ，所以 ，故有 ，所以 , ,
则 ,从而 ,得 ,
又 ， ，所以 ，故等差数列 是单调递减数列，
当 或 时， 取得最大值，所以 或 ，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递
减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得 ， ，所
以这里的关键是利用 ，构造函数 ，利用导数判断函数单调性，
结合最值解决这一问题.
二、多选题
17．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，成等比数列，则（ ）
A． B．
C．当 时， 是 的最大值 D．当 时， 是 的最小值
【答案】ACD
【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到 ，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单
调性判断即可.
【详解】因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，故A正确、B错误；
当 时 单调递减，此时 ，
所以当 或 时 取得最大值，即 ，故C正确；
当 时 单调递增，此时 ，
所以当 或 时 取得最小值，即 ，故D正确；
故选：ACD
18．（2023春·河南·高三阶段练习）等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C．当 时， 取得最大值 D．当 时， 取得最大值
【答案】BC
【分析】根据等差数列的性质可得 ，即可结合选项判断.【详解】 ，所以 ，故 ，
当 时， 取得最大值.故BC正确，AD错误.
故选：BC
19．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）数列 是等差数列， ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 为定值 B．若 ，则 时 最大
C．若 ，使 为负值的n值有3个 D．若 ，则
【答案】AD
【分析】根据题意利用等差数列前n项和公式，可判断A；利用 结合 ，解得公差，判断数列
的单调性，可判断B；求得等差数列前n项和公式，解不等式可判断C；求出数列公差和首项，即可求得
，判断D.
【详解】由数列 是等差数列， ，有 ，即 ，
由等差数列性质得 为定值，选项A正确．
当 时， ，公差 ，则数列 是递减数列，
则 ， ，故 时， 最大，选项B错误．
当 时，由于 ，则 ， ，
令 得 ，又 ，
故 为负值的 值有2个，选项C错误．
当 时，设 公差为d，即 ，结合 ,即 ,解得 ， ，故 ，选项D正确．
故选：AD
20．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则下列结
论正确的是（ ）
A．数列 是递减数列 B．
C．当 时， D．
【答案】ABC
【分析】由 得 ，即可判断AB；结合等差数列前n项求和
公式与等差数列的性质即可判断CD.
【详解】A：由 ，得 ，
， ，则数列 为递减数列，故A正确；
B：由选项A的分析可知， ，故B正确；
C：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为数列 是递减数列，所以当 时， ，故C正确；
D： ，故D错误；
故选：ABC.
21．（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知等差数列 ，前 项和为 ，则下列结论
正确的是（ ）
A． B． 的最大值为C． 的最小值为 D．
【答案】ACD
【分析】先由数列 为等差数列， 得 再由等差数列通项公式和求和公式
对选项逐一分析即可.
【详解】对于A, 数列 为等差数列， ，
数列 为递减的等差数列，
故A正确，
对于B, 数列 为递减的等差数列，
的最大值为 ，
故B错，
对于C,
由 得
的最小值为 ,即 ，
故C正确，
对于D,
故D正确.
故选：ACD
22．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，若 ，
则下列结论正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则 最小
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意得 ，再分 和 两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以当 ， ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ， 最小，此
时 ；
当 ， ，所以 ，即 ，所以 ，即 所以 ，
，此时 ；
故ACD满足题意.
故选：ACD
23．（2023·全国·高三专题练习）设 是等差数列 的前 项和，若 ，且 ，
则下列选项中正确的是（ ）
A． B． 和 均为 的最大值
C．存在正整数 ，使得 D．存在正整数 ，使得
【答案】ACD
【分析】设数列公差为d，根据已知条件 和 判断公差正负，求出 和d关系，
逐项验证即可.【详解】设等差数列 公差为d，由 得 ，化简得 ；
∵ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ， ，∴d＜0，故数列 为减数列，故A正确；
， ， ，故 为 的最大值，故B错误；
，故 ，故C正确；
时， ，即 ，
又由 得 ，
∴ ，解得 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
24．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知数列 的通项公式为 ， 为 前 项和，则
最小值时， .
【答案】 或
【分析】求出 时 的范围即可得答案.
【详解】令 得 ，
即当 时， ，
当 时，
当 时，最小值时， 或
故答案为： 或 .
25．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知 为等差数列 的前 项和.若 ，
，则当 取最小值时， 的值为 .
【答案】
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到 ， ，即可判断.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，则
所以 为递增的等差数列，且 ，
所以 ，即当 取最小值时， 的值为 .
故答案为：
26．（2023·全国·高三专题练习） 是数列 的前n项和，当 时， 取得最小值，写出一个符合条
件的数列 的通项公式，an= .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题意，找一个符合题意的等差数列即可得到正确答案.
【详解】由题意，我们可以取一个等差数列：
当 时， 时， ，所以当 时， 取得最小值.
所以 符合题意.
故答案为： （答案不唯一）
27．（2023·全国·高三专题练习）首项为正数，公差不为0的等差数列 ，其前 项和为 ，现有下列4个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 中 最大；
④若 ，则使 的 的最大值为11．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】①由题意可以推出 ，不能推出 ，判断①错误；②由题意可得 ，判断出②正
确；③由题意可得 ，判断出③正确；④由题意可得 ，进而 ，判断出④正
确．
【详解】若 ，则 ，不能推出 ，即不能推出 ，故①错误；
若 ，则 ，即 ，则 ，故②正确；
若 ，则 ，
所以 ，则 中 最大，故③正确；
若 ，则 ，
即 ，
因为首项为正数，则公差小于0，则 ，
则 ， ，
则使 的 的最大值为11，故④正确．
故答案为：②③④．28．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列 的前n项和为 且 ，当 取最
大值时， 的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，用首项 表示公差 ，代入前 项和公式，化简得到 为关于 开口向下的二次函数，
进而求出其最大值时对应的 的值.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，化简后可得 ．
，由二次函数性质可知，当
时， 取得最大值．
故答案为： .
29．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知 是等差数列{ }的前n项和，若仅当 时 取到最小值，
且 ，则满足 的n的最小值为 .
【答案】11
【分析】由前n项和有最小值可知 ，得出 ，所以 ，再由 即
可求出n的最小值.
【详解】因为 ，当 时 取到最小值，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
，则 ，因为 ，所以 ，解之得： ,因为 ，所以n的最小值为11.
故答案为：11.
30．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 的
最小值是 .
【答案】
【分析】根据 的关系可得 ，进而由等差数列求和公式求解 ，由二次函数的性
质即可求解最值.
【详解】当 时， ，即 ，解得 或 .因为 ，所以
.
当 时， ，所以 ，即 ，
即 .因为 ，所以 ，所以 ，即 ，则
，从而 ，故 ，当 或
时， 取得最小值，最小值是 .
故答案为：
31．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列 的前n项和为 ，并且
，若 对 恒成立，则正整数 的值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件将恒成立问题转化为求最值问题，再利用等差数列的下角标性质及等差数列前 项
和公式即可求解.【详解】由题意可知， 所以 ，
同理得 ，所以 .
结合 ，可得 .
当 时， 取得最大值为 ，
要使 对 恒成立，只需要 ， 即可，
所以 , ，即 .
所以正整数 的值为 .
故答案为： .
四、解答题
32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 ，并求 的最小值.
【答案】(1) ；
(2) ，最小值为 ．
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据等差数列前 项和公式由 列出方程即可解出 ，
从而可得数列 的通项公式；
（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时 取最小值，并根据等差数列前 项和公式求出
以及其最小值．【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由等差数列前 项和公式可得
因为 ，所以 ，解得 ，
故 .
（2）由等差数列前 项和公式可得 .
因为 ，所以 ，则当 或 时， 取得最小值 .
33．（2023·海南·校联考模拟预测）已知等差数列 是递减数列，设其前 项和为 ，且满足 ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 的最大值及相应的 的值．
【答案】(1)
(2)25， 或5
【分析】（1）利用数列前 项和的定义及等差数列的通项公式，结合等差数列的性质即可求解；
（2）根据（1）的结论及等差数列的前 项和公式，结合等差数列的性质即可求解.
【详解】（1）设等差数列 公差为 ，则
由 ，得 ，
将 代入上式解得 或 （舍），
所以 的通项公式为 ．（2）由（1）得 ，
所以 ，
故数列 是以10为首项， 为公差的等差数列，
令 ，解得 ，
故 ，
即当 或5时， 取得最大值25．
34．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
35．（2023·辽宁丹东·统考二模）记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明： ．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的定义，结合数列前 项和与第 项的关系进行求解即可；
（2）根据等差数列的单调性进行求解证明即可.
【详解】（1）当 时，
由 ，两式相减，得
．所以数列 从第三项起，每一项与前一项的差为 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， ，显然 不适合，
故 ；
（2）因为 ， ，数列 从第三项起，每一项与前一项的差为 ，
所以当 时，数列 是单调递减数列，
当 ，所以当 时， 有最大值，
最大值为 ，所以 .
36．（2023·贵州贵阳·校联考三模）设数列 的前 项和为 ，当 时，有
．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)若 ， ，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)60
【分析】（1）由 及 的关系求得 ，可得数列 是等差数列．
（2）求得 , 后用二次函数求最大值.
【详解】（1）因为当 时，有 ①，
所以当 时， ②，
由①−②，整理可得 ，所以数列 是等差数列．
（2）由（1）可知 是等差数列，所以
可得
所以数列 的公差 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以当 或 时， 取到最大值为60．
