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专题03 《实数》选择、填空重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《实数》中“实数的分类”、“求方根”、“平方根有意义题
型”、“三姐妹型与易混型”、“估算数值、比较大小”选择、填空重点题型；适用于老
师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：实数的分类
方法点拨：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环
小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写
成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
1．在下列各数： 、0.2、﹣π、 、 、0.101001中有理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】有理数是整数与分数的统称，或者说有限小数与无限循环小数都是有理数，据此
求解．
【详解】解： ， ，
∴在 、0.2、-π、 、 、0.101001中，有理数有0.2、 、 、0.101001，共有
4个．
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的意义，掌握有理数的意义是正确判断的前提．
2．下列各数中，3.1415， ， ，0.321，π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数
逐次增加1），无理数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．
即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】3.1415，0.321是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；无理数有 ，π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），共3个．
故选：D．
【点睛】此题考查了无理数．解题的关键是掌握实数的分类．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．小数都是有理数 B．有理数是实数
C．无限小数都是无理数 D．实数是无理数
【答案】B
【详解】解：A、有限小数和无限循环小数都是有理数，则此项错误；
B、有理数是实数，则此项正确；
C、无限不循环小数都是无理数，则此项错误；
D、实数包括有理数和无理数，则此项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了实数、有理数和无理数，熟记实数的定义（有理数和无理数统称为实
数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都是有理数）
和无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）是解题关键．
4．将下列各数填入相应的横线上：
整数：{ …}
有理数： { …}
无理数： { …}
负实数： { …}．
【答案】 ； ； ，-3.030030003…，
π；-3.030030003…， ；
【分析】有理数与无理数统称实数，整数与分数统称有理数，按照无理数、有理数的定义
及实数的分类标准进行分类即可.
【详解】整数：{ }
有理数：{ }
无理数：{ ，-3.030 030 003…，π…}；
负实数：{-3.030 030 003…， …}；
【点睛】本题考查的是实数的概念与分类，掌握“实数的分类与概念”是解本题的关键.
5．把下列各数填入相应的大括号中：自然数集合{ …}；
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
实数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【答案】 ； ， ； ；
；
； ．
【分析】根据实数的分类先找出相对应数集的数再填入相应的集合．
【详解】解：根据实数的分类，
自然数集合{ …}；
负数集合{ ， …}；
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
实数集合{
…}；
无理数集合{ …}．
【点睛】本题考查实数的分类．主要考查学生对实数含义的深刻理解.
考点2：求方根方法点拨：1.平方根：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为
零；负数没有平方根；
2.立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立
方根是零；
1．10的算术平方根是（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用算术平方根的求法即可求解．
【详解】解： 的算术平方根是 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握求解的运算法则．
2．3的算术平方根是（ ）
A．±3 B． C．－3 D．3
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于 ，那么这个
数就叫 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
【详解】解：3的算术平方根是
故选B
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，掌握定义是解题的关键．
3．若一个数的算术平方根与它的立方根的值相同，则这个数是（ ）
A．1 B．0和1 C．0 D．非负数
【答案】B
【分析】根据立方根和算术平方根的性质可知，立方根等于它本身的实数0、1或-1，算术
平方根等于它本身的实数是0或1，由此即可解决问题．
【详解】解：∵立方根等于它本身的实数0、1或−1，算术平方根等于它本身的数是0和
1，
∴一个数的算术平方根与它的立方根的值相同的是0和1，
故选B．
【点睛】主要考查了立方根，算术平方根的性质．牢牢掌握立方根和算术平方根等于它本
身的实数是解答本题的关键点．
4．下列说法：①-27的立方根是3；②36的算数平方根是 ；③ 的立方根是 ；④
的平方根是 ．其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A【分析】分别进行立方根运算、算术平方根运算、平方根运算逐个判断即可．
【详解】解：①－27的立方根是－3，错误；
②36的算数平方根是6，错误；
③ 的立方根是 ，正确；
④ 的平方根是 ，错误，
∴正确的说法有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的区别是
解答的关键．
5．已知x2=36，那么x=___________；如果(-a)2=(7)2，那么a=_____________
【答案】±6##6或-6 ±7
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵(±6)2=36，
∴当x2=36时，则x=±6；
∵(-a)2=(7)2，
∴a2=49，
∵(±7)2=49，
∴a=±7；
故答案为：±6；±7．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个
数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根．0的平方根
是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
6．已知x，y是实数，且 ＋（y－3）2＝0，则xy的立方根是__________．
【答案】
【分析】根据二次根式和平方的非负性，可得 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式和平方的非负性，立方根的性质，熟练掌握二次根式和
平方的非负性，立方根的性质是解题的关键．
7． 的算术平方根是 _____；﹣64的立方根是 _____．【答案】 ﹣4
【分析】根据立方根、算术平方根的概念求解．
【详解】解： ＝5，5的算术平方根是 ，
∴ 的算术平方根是 ；
﹣64的立方根是﹣4．
故答案为： ，﹣4．
【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
8．如图，正方形ABCD是由四个长都为a，宽都为b（a＞b）的小长方形拼接围成的．已
知每个小长方形的周长为18，面积为 ，我们可以通过计算正方形ABCD面积的方法求
出代数式a﹣b的值，则这个值为 _____．
【答案】6
【分析】先求出小正方形面积=大正方形的面积减去4个长方形的面积，然后进行计算即可．
【详解】解：由题意得：2（a+b）＝18，ab＝ ，
∴a+b＝9，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝81﹣45
＝36，
又∵a＞b，
∴a﹣b＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查乘法公式的变形计算，平方根计算，掌握公式变形的方法用面积法，利
用数形结合思想将问题简单化是解题关键
考点3：平方根有意义题型
方法点拨：任何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 (a0).
1．下列说法中错误的是 （ ）
A．正实数都有两个平方根 B．任何实数都有立方根C．负实数只有立方数根，没有平方根 D．只有正实数才有算术平方根
【答案】D
【分析】A、根据平方根的定义即可判定；
B、根据立方根的定义即可判定；
C、根据平方根、立方根的性质即可判定；
D、根据非负数才有平方根即可判定．
【详解】解：A、正实数都有两个平方根，故选项正确；
B、任何实数都有立方根，故选项正确；
C、负实数只有立方根，没有平方根，故选项正确；
D、0也有算术平方根，不是只有正实数才有算术平方根，故选项错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，并利用此性质解题．平方根的被开数不
能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开立方的数的符号相同．要注意
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
2．如果 有算术平方根，那么 一定是（ ）
A．正数 B． C．非负数 D．非正数
【答案】C
【分析】根据负数没有平方根求解即可．
【详解】解：∵负数没有平方根，
∴如果m有算术平方根，那么m一定是0或正数，即非负数，
故选：C．
【点睛】本题考查平方根，掌握负数没有平方根是解题的关键．
3．如果 成立，那么 为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】C
【分析】根据算术平方根的非负性可得 ，以此判断即可．
【详解】∵ 成立
∴ 为非正数
故答案为：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的运算问题，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
4．如果代数式 有算术平方根，那么x应满足（ ）
A．x为任意实数 B． C． D．
【答案】D
【分析】非负数才有算术平方根，而负数则没有，所以根据 有算术平方根，可得≥0，解不等式即得答案.
【详解】解：由题意可得 ，∴ . 故选D.
【点睛】由算术平方根的定义可知非负数才有算术平方根，而负数则没有，所以根据
有算术平方根，得到 ≥0，由此可见，掌握算术平方根的定义是解题的关键.
5．若代数式 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可．
【详解】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是解题关键．
6．若实数 x ，y满足等式： ，则xy=_________
【答案】-4
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到 则 ，由此即可求出 ，然
后代值计算即可．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：-4．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握二次
根式有意义的条件为被开方数大于等于0．
7．若实数x，y满足|x﹣3|＋ ＝0，则（x＋y）2的平方根为_______．
【答案】±4
【分析】利用绝对值和二次根式的性质求出x，y的值，再利用平方根的定义解答即可．
【详解】解：根据题意得x﹣3＝0，y﹣1＝0，解得：x＝3，y＝1，
则（x+y）2＝（3+1）2＝16，所以（x+y）2的平方根为±4．
故填：±4．
【点睛】本题主要考查了绝对值和二次根式的性质以及平方根的定义，根据绝对值和二次
根式的性质求出x，y的值成为解答本题的关键．
8．如果 +（2﹣b）2＝0，那么 ＝___．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和平方的非负性，可得 ，再代入 ，即可
求解．
【详解】解：∵ +（2﹣b）2＝0，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性
质是解题的关键．
考点4：三姐妹题型与易混题型
方法点拨：（1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
（2）任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 (a0).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
1．计算 ﹣ ﹣ 的结果为（ ）
A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10
【答案】B
【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可．
【详解】解： ﹣ ﹣
．
故选：B．【点睛】本题考查了实数的运算，正确的计算算术平方根、立方根是解题的关键．
2．已知x为实数，且 ﹣ ＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
【答案】A
【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求
解．
【详解】解：∵ ﹣ ＝0，
∴ ．
∴x﹣3＝2x+1．
∴x＝﹣4．
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．
∴x2+x﹣3的算术平方根为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性
质是解题的关键．
3．若 ，则 的值为____________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义可得 ，进而代入 根据立方根的定义即
可求解
【详解】解：∵
∴
即
故答案为：
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求得 的值是解题的关键．平方根：如
果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“± ”(a称为被开方数), 其中属于非负数的平方根称
之为算术平方根；立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“ ”(a称为被开方
数)．
4．若a3＝8， ＝2，则a＋b＝___．
【答案】6
【分析】根据立方根的概念得a的值，根据算术平方根的概念得b的值，然后代入计算可
得答案．
【详解】解：∵a3＝8， ＝2，∴a＝2，b＝4，
∴a＋b＝2＋4＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知立方根与算术平方根的概念
5．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算术平方根 ___．
【答案】
【分析】先根据2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出 ，解之
求出a、b的值，再利用算术平方根定义得出答案．
【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，
∴ ，
解得a＝5，b＝2，
∴a＋b＝7，
则a＋b的算术平方根为 ．
【点睛】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根、
算术平方根的定义．
6．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数， 是e的平方根，则
________．
【答案】0
【分析】直接利用倒数、相反数、平方根的定义分析得出答案．
【详解】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数， 是e的平方根，
∴ab＝1，c＋d＝0，e＝1，
则 ．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确求解各数是解题关键．
7．如果一个正数 的两个平方根是 和 ，则 的立方根为_______．
【答案】5
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出 的值，再求得
两个平方根中的一个，然后平方可得 的值，将 的值代入计算得出 的值，再求其
立方根即可．
【详解】解： 一个正数 的两个平方根是 和 ，
，
．
，．
，
的立方根为5，
的立方根为5，
故答案是：5．
【点睛】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，解题的关键是掌握相关的计
算能力．
8．若一个正数的两个不同的平方根分别是3x﹣1和4﹣4x，则这个数的立方根是___．
【答案】4
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求出 的值，进而确定出这个数，
求出这个数的立方根即可．
【详解】解： 一个正数的两个平方根互为相反数，
，
解得 ，
，
，
这个数为64，
这个数的立方根是 ．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键．
9．己知甲数是 的算术平方根，乙数是 的立方根，则甲、乙两个数的积是__．
【答案】2
【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结
果．
【详解】解：∵甲数是 的算术平方根
∴甲数等于 ；
∵乙数是 的立方根，
∴乙数等于 ．
∴甲、乙两个数的积是 × =2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了算术立方根、平方根的定义，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数
的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
10．已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2， ＝_____．
【答案】4
【分析】利用算术平方根，立方根的定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：由题意，有 ，
解得 ，
则 ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根、立方根
的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果
一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
考点5：估算数值、比较大小题型
方法点拨：确定无理数的范围、比较无理数的大小，利用夹逼法解决问题是一
种非常重要的解题方法。
1．下列整数中，与 －1最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】先由无理数估算，得到 ，且 接近3，即可得到答案．
【详解】解：由题意，
∵ ，且 接近3，
∴ 最接近的是整数2；
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的概念，正确的得到 接
近3．
2．在下列四个选项中，数值最接近 的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据无理数的估算先判断 ，进而根据 ， ，进而可以
判断 ，即可求得答案
【详解】解： ， ， ，，即 更接近2
故选A
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键．
3．若 ，则整数a的值不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】首先确定 和 的范围，然后求出整式a可能的值，判断求解即可．
【详解】解：∵ ，即 ， ，即 ，
又∵ ，
∴整数a可能的值为：2，3，4，
∴整数a的值不可能为5，
故选：D．
【点睛】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．
4．点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴上表示的数在4至4.5之间，再估算各选项的取值，即可得解．
【详解】解：观察得到点A表示的数在4至4.5之间，
A、∵16<18<20.25，∴4< <4.5，故该选项符合题意；
B、∵9<10<16，∴3< <4，故该选项不符合题意；
C、∵20.25<24<25，∴4.5< <5，故该选项不符合题意；
D、∵25<30<36，∴5< <6，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，根据数形结合的思想观察数轴确定点的
位置是解题的关键．
5．与 最接近的整数为______．
【答案】
【分析】先判断 再根据 从而可得答案.
【详解】解：而
更接近的整数是
故答案为：5
【点睛】本题考查的无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键.
6．我们知道 是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（ +a）·b的值
是_________．
【答案】1
【分析】先根据2＜ ＜3，确定a=2，b= -2，代入所求代数式，运用平方差公式计算
即可．
【详解】∵2＜ ＜3，
∴a=2，b= -2，
∴（ +a）·b
=（ +2）（ -2）
=5-4
=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数整数部分的表示法，平方差公式，正确进行无
理数的估算，灵活运用平方差公式是解题的关键．
7．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116，若n为整数且n＜ ＜n＋1，
则n的值是________．
【答案】44
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵442＝1936，452＝2025，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为44．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
8．若m、n是两个连续的整数，且 ，则 ______．
【答案】11
【分析】根据无理数的估算方法求出 、 的值，由此即可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∵5、6是两个连续的整数，且 ，
，
，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了无理数的估算和代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
9．已知 在两个连续的整数 和 之间，则 的平方根为______．
【答案】
【分析】先判断 ，得到 和 的值，然后进行相加，再求平方根即可．
【详解】解：由题意，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，以及平方根的定义，正确得出 是解题
关键．
10．对于实数a，b，且（a≠b），我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如：
min（1，﹣2）＝﹣2．
（1）min（﹣ ，﹣ ）＝_____；
（2）已知min（ ，a）＝a，min（ ，b）＝ ，若a和b为两个连续正整数，则
a+b＝_____．
【答案】
【分析】（1）直接根据min{a，b}表示a，b两数中较小的数，表示出（﹣ ，﹣ ）较
小的数即可；
（2）根据min{a，b}表示a，b两数中较小的数，得出 ，根据a和b为两个连续
正整数，可得结果．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴min（﹣ ，﹣ ）＝ ，故答案为： ；
（2）∵min（ ，a）＝a，min（ ，b）＝ ，
∴ ，
∵a和b为两个连续正整数，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法以及
无理数的估算方法是解本题的关键．
