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专题 03 一元一次方程易错考点强化练（十二大
类）
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、一元一次方程定义的理解。常考：最高一次，一次系数不为0............1
二、方程的解的理解—逢解代入。........................................1
三、等式的性质的理解。................................................1
四、解一元一次方程与新定义的融合。....................................2
五、解一元一次方程—三都原则：去分母，每项都乘，去括号，都要乘，移动项，
都变号。..............................................................2
六、解方程与新定义的融合。............................................3
七、经典考点—解的特征：解相同，互为相反（倒）数，解为正（负）整数。..3
八、列方程解决问题之行程类。..........................................4
九、重难考点：列方程解决问题之销售类。................................5
十、列方程解决问题之贴近生活的方案设计（选择）类。....................6
十一、列方程解决问题之数字类提升。....................................7
十二、列方程解决问题之水电费类—分类讨论思想。........................9
一、一元一次方程定义的理解。常考：最高一次，一次系数不
为0.
1．下列命题：①若中 ，则 ；②若方程 是关于x的
|x|+2x=6 x=2 (m−1)x|m|−2=0
一元一次方程，则m=±1；③若不论x取何值，ax−b−2x=3恒成立，则ab=−6；
④使得|x−1|+|x−3|=4成立的x的值有且仅有两个．其中正确的是
(把所有正确结论的序号都选上)
2．已知 是一个关于x的一元一次方程，若有理数a满足
(m2−4)x2+(m−2)x+2=0
|a|+m≤0，则代数式|a+m|+|a−m|的值为 ．
3．若 是关于 的一元一次方程.
(a−1)x|a|−3=0 x
(1)求a的值；
(2)先化简，再求 的值.
4(a2+3a)−2(2a2−a+2)二、方程的解的理解—逢解代入。
4．已知关于x的方程2x+a−7=0的解是x=3，则a的值是 ．
5．若x=−1是关于x的一元一次方程a+bx=2的解，则3a−3b+1的值为 ．
6．已知x=−2是关于x的方程7−2x=x+k的解，则k的值是（ ）
A．13 B．9 C．5 D．2
x
7．已知 x=−8是方程3x+8= −a的解，求a的值
4
三、等式的性质的理解。
8．运用等式性质进行变形，正确的是（ ）
A．由a=b得到a+c=b−c B．由2x=−4得到x=2
C．由2m−1=3得到2m=3+1 D．由ac=bc得到a=b
9．已知等式a=b，则下列式子中不成立的是（ ）
a b
A．a−1=b−1 B． = C．3a=3b D．a−1=b+1
3 3
四、解一元一次方程与新定义的融合。
10．对于数a，b，定义一种新的运算“⊙”：a⊙b=a−b+ab．
(1)求(−4)⊙3的值；
(2)若(3⊙x)⊙(−2)=5，求x的值；
(3)小丁说：“(−n)⊙(−m)=m⊙n．小丁的说法正确吗？如果正确，请说明理由；
如果不正确，请举例说明．
11．我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为b+a，则称该方程为“和解方
程”．例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则方程2x=−4为“和解方
程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)方程5x=−2________“和解方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元一次方程6x=k是“和解方程”，求k的值；
(3)若关于x的一元一次方程−2x=mn+n是“和解方程”，并且它的解是x=n，求
m,n的值．
12．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示．例如
试卷第2页，共10页，把等于某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如 时多项
f(x)=x2+3x−5 x=−1
式 的值记为 ．
x2+3x−5 f(−1)=(−1) 2+3×(−1)−5=−7
(1)已知 ，分别求出 和 的值．
g(x)=−2x2−3x+1 g(−1) g(−2)
(2)已知
ℎ(x)=ax3+2x2−x−14,ℎ
(1)
=a
，求a的值．
2
五、解一元一次方程—三都原则：去分母，每项都乘，去括号，
都要乘，移动项，都变号。
x+3 5−x
13．解方程： −1=2x− ．
2 4
14．解方程：
(1)4x−3(20−x)=−4
2x+1 5x−1
(2) − =1
3 6
15．解方程：
(1)3(x−1)−2(x+10)=−6
2x−6 x+18
(2) − =1
3 4
16．解方程：
(1)6(x−1)−2=x+2；
2x−1 2x+1
(2)1− =
6 3
六、解方程与新定义的融合。
17．把x=ax+b（其中a、b是常数，x是未知数）这样的方程解为“和合方程”，其
中“和合方程x=ax+b”的解称为“和合方程”的“和合值”．
例如：“和合方程x=2x+1”，其“和合值”为x=−1
(1)x=2是“和合方程x=−2x+k”的“和合值”，求k的值：(2)“和合方程”x=kx+1（k为常数）存在“和合值”吗？若存在，请求出其“和合
值” （用含k的式子表示），若不存在，请说明理由：
(3)若关于x的“和合方程”5x=x+8mn−4m−52的“和合值”是关于x的方程
3 1
2x− mn= (mn−8m−28)的解，求此时符合要求的正整数m、n的值．
2 2
18．如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例
如：方程2x−1=3和x+1=0为“美好方程”．
(1)方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是“美好方程”吗？请说明理由；
(2)若关于x的方程2x−n+3=0与x+5n−1=0是“美好方程”，求n的值．
19．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方
程”，例如：方程4x=8和x+1=0为“集团方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−1=x+8是“集团方程”，求m的值；
(2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
1 1
(3)若关于x的一元一次方程 x+3=2x+k和 x+1=0是“集团方程”，求关
2022 2022
1
于y的一元一次方程 (y+1)+3=2y+2+k的解．
2022
七、经典考点—解的特征：解相同，互为相反（倒）数，解为
正（负）整数。
20．已知关于x的方程：2(x−1)+1=x与3(x+m)=m−1有相同的解．
(1)求m的值
3−my m−3x
(2)求以y为未知数的方程 = 的解．
3 2
21．阅读与理解：已知关于x的方程kx=5−x有正整数解，求整数k的值．
5
解：kx+x=5，(k+1)x=5，x= 因为关于x的方程kx=5−x，有正整数解，所以
k+1
5
为正整数，因为k为整数，所以k+1=1或k+1=5，所以k=0或k=4；
k+1
探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程kx=6+x有正整数解，求整数k
的值．
22．已知关于x的方程中，12x−a=0的解比a+8x=2+4x的解大1，求a的值．
23．当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=3m的
试卷第4页，共10页解大2？
24．已知关于x的一元一次方程(m−5)x+m−3=0，其中m为整数
(1)当m=2时，求方程的解
(2)若该方程有整数解，求m的值
x−m m 2x+1
25．已知关于x的方程 =2x+ 与 =3x−2的解互为相反数，求m的值．
2 3 3
k+x
26．（1）方程2−3(x+1)=0的解与关于x的方程 −3k−2=2x的解互为倒数，
2
求k的值．
2x−1 x+a 11
（2）已知关于x的方程2x−a=1与方程 = −a的解的和为 ，求a的值．
2 3 4
（3）当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=3m的
解大2？
八、列方程解决问题之行程类。
27．（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，他发现将火车在数轴上水平移
动，当A点移动到B点时，B点所对应的数为30；当B点移动到A点时，A点所对应
的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A所对应的数字是______，玩具火车的长
为______个单位长度．（直接写答案）
（2）如果火车AB正前方10个单位处有一个“隧道”MN，火车AB从（1）的起始位
置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车AB移动的速度为0．5个单位/秒，
则可知“隧道”MN的长为______个单位长度．（用含t的代数式直接表示）
（3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：在
（1）条件下的数轴上放置与AB大小相同的玩具火车CD，使原点O与点C重合，两
列玩具火车分别从点O和点A开始在数轴上同时移动，已知CD火车速度为2个单
位/秒，AB火车速度为1个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C
处相距2个单位？
28．某市实验中学学生步行到郊外旅游．七（1）班学生组成前队，步行速度为4千
米/时，七（2）班学生组成后队，速度为6千米/时．前队出发1小时后，后队才出发，
同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为
12千米/时．
(1)后队追上前队需要多长时间？(2)后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？
29．如图，点A、B是数轴上两点，点A表示的数为−8，A、B两点之间的距离为
10，动点M、N分别从A、B出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运
动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)数轴上点B表示的数是______；
(2)数轴上点M表示的数为______，点N表示的数为______（用含t的式子表示）；
(3)若点M、N同时出发，t为何值时，这两点相遇？
(4)若点M、N同时出发，t为何值时，点M和点N刚好相距4个单位长度？
九、重难考点：列方程解决问题之销售类。
30．“空气炸锅”是近几年家庭厨房的新宠，某家电品牌在12月初线下门店举办了
“空气炸锅节”，以下是该门店的宣传海报：
已知一台空气炸锅原价400元，店家进货的成本价为220元，下表是活动期间收入汇
总表的部分数据．
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 合计
销售量（台） 6 8 8 9 5 60
日利润（元） 360 a
(1)根据以上信息，对于前50台，求每台的优惠价为多少？
(2)已知3日的销售量比4日的多4台，求这两天的销售量分别为多少台？
(3)经咨询店员，得知剩余的空气炸锅按原价打n折（050）
(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购
买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．
(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？
(3)当x=100时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算
需付款多少元？
十一、列方程解决问题之数字类提升。
36．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：｛1，2，−3｝我们称之为
集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，
有理数7−a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”．例如集合
｛3，4｝就是一个“好的集合”．
(1)请你判断集合｛1,5｝，｛−2，2，3.5，5，9｝是不是“好的集合”？
(2)写出只含有一个元素的“好的集合”．
(3)如果｛−3，x，1，6，2x+5，10｝是一个“好的集合”，求x的值．
37．如图，将1，3，5，7⋯连续的奇数按照这样的样式排列成一个数表，再按照
图中阴影部分的样式框取五个数，这样任意框出的五个数，用a，b，c，d，x表示，
并按照如图所示排列．
(1)若x=55，则a+b+c+d=________．
(2)用x表示a，b，c，d四个数的和，则a+b+c+d=______．
(3)设M=a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2024？并说明理由．
试卷第8页，共10页38．一个四位数，把千位上和百位上的数字之和记为a，十位上和个位上的数字之和记
为b，如果a=b，那么称这个四位数为“和等数”．例如：3526，a=3+5，b=2+6
，因为a=b，所以3526是“和等数”．
(1)请判断2864、4537是否是“和等数”；
(2)如果一个“和等数”的个位上的数字是千位上的数字的三倍，且百位上数字的2倍
与十位上数字之和是10，请求出所有符合条件的这种“和等数”．
39．请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
用“铺地锦”计算乘法
我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种乘法的计算方法，称为“铺
地锦”．如图1，是一个2×2的方格，每个小方格中都画有一条对角线，计算31×47，
首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘47的每
位数字，将结果计入对应格子的三角形中（如3×4=12的12写在3下面的方格里，十
位数字1写在斜线的上面，个位数字2写在斜线的下面；1×4=4的4写在斜线下面，
十位数字补0写在斜线的上面……），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线左下
端对应的方格旁，最后把得数依次写下来是1457，即31×47=1457．当斜线数字相
加满10时要向前进位，如图2，计算25×19时，5+4+8=17，17的个位数字7依然
写在斜线左下端位置，十位数字向前进位，并写在前一斜线的左下端位置．
0+2+1+1=4，即：25×19=475．
任务：
(1)用“铺地锦”的方法计算25×71，将算法填在图3中；
(2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择________题．
A.如图4，用“铺地锦”的方法计算两个两位数相乘，则△表示的数是________（用含
m的代数式表示），可得m的值为________，乘法运算的结果是________．
B．如图5，用“铺地锦”的方法计算两个两位数相乘，则△表示的数是________（用
含m的代数式表示），可得m的值为________，乘法运算的结果是________．
十二、列方程解决问题之水电费类—分类讨论思想。40．按照《关于调整四川电网居民生活用电阶梯电价的通知》（川发改价格〔2012〕
560号）文件规定，目前国网泸州供电公司供居民用电阶梯价格执行如下：
阶梯一 阶梯二 阶梯三
月用电量在180 月用电量在181度至280度部 月用电量高于280度部分，在第
度及以下部分， 分，在第一档电价的基础上， 一档电价的基础上，每度电加价
用电价格为0.52 每度电加价0.1元，用电价格为 0.3元，用电价格为0.82元/度，
元/度； 0.62元/度，其他按阶梯一计算 其他按阶梯一、二分别计算
根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)某户居民在一个月内用电150度、280度，那么他这个月应缴纳电费多少元？
(2)如果该居民在一个月内用电a度，那么这个月他应缴纳电费多少元？
(3)2022年7月，泸州出现了历史罕见的高温热浪天气．李平家7月缴纳电费213元．
则他这个月用电多少度？
41．国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当
顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：
消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上
返还金额（元） 0 60 100 150
注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1200
元的商品，则消费金额为960元，获得的优惠额为1200×(1−80%)+60=300（元）．
(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
(2)若顾客在该商场购买一件标价x元(x>1250)的商品，那么该顾客获得的优惠额为多
少？（用含有x的代数式表示）
(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x元(x>1250)的商品后，第二次又购买了一件
标价为800元的商品，两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的
标价是多少？
42．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节
水目的，价目表如下图．
价目表
每月用水量 单价
不超过8m3的部分 3元/m3
超过8m3不超过12m3的部分 4元/m3
超过12m3的部分 6元/m3
注：水费按月结算
试卷第10页，共10页(1)若某户居民1月份用水6m3，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水 ，请用含x的代数式表示水费．
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(3)若某户居民3，4月份共用水26m3，且4月份用水量超过14m3，3月份用水量超过
8m3，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m³?
