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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 36 圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、向量共线
运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线
中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向
量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决.
【一般策略】
通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系
来解决问题.
二、向量的数量积
向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角
函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取
值范围和求圆锥曲线的方程等方面.
【一般策略】
在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的
数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化.
三、相应的知识储备
1.共线向量定理
如果 ，则 ；反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使 ．（口
诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2.数量积的运算
（1）已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要
条件
与 (当且仅当
的关系 时等号成立)
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不
共线
二、题型精讲精练
【典例1】已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线
的斜率为 ， 为坐标原点．
(1)求 的方程；
(2)设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，且 ，求 的面积及直线 的方程．
【解析】（1）设 ，因为直线 的斜率为 ， ，所以 ，解得 ．
又 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 、 ，由题意可设直线 的方程为： ，
联立 ，消去 得 ，
当 ，所以 ，即 或 时， ， ，
由 ，得 ，代入上解得 ，即 ，又
点 到直线 的距离 ，所以 ，
此时直线 的方程为： 或 ．
【典例2】已知双曲线C的渐近线为 ，右焦点为 ，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线 的渐近线 化为 ，设双曲线 的方程为 ，
即 ，又双曲线 的右焦点 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2）由（1）知， ，设直线 的方程为 ，显然 ，
由 消去 整理得 ，显然 ， ，
而 ，则
，
化简得 ，即 ，而 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .【题型训练-刷模拟】
1 . 向量共线
一、解答题
1．已知平面内动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)设动点 的轨迹为曲线 ，过定点 的直线 和曲线 交于不同两点 、 满足 ，求线
段 的长．
2．已知椭圆C： 的离心率 ，点 ， 为椭圆C的左、右焦点且经过点
的最短弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于不同两点A，B， 与直线 交于点P，若
，且点Q满足 ，求 的最小值．3．经过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 交于 ， 两点，且 ，
， ．求 和 ．
4．已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，且过点 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且 ，
求直线l的斜率．
5．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若 ，求直线l的方程．
6．已知双曲线 的两条渐近线分别为 ， .
(1)求双曲线 的离心率；
(2) 为坐标原点，过双曲线上一点 作直线 分别交直线 ， 于 ， 两点（ ， 分别在第一、
第四象限），且 ，求 的面积.
7．已知圆 ， ，动圆 与圆 ， 均外切，记圆心 的轨迹为曲线
．
(1)求曲线 的方程；
(2)直线 过点 ，且与曲线 交于 两点，满足 ，求直线 的方程．8．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线
在第一象限与椭圆C相交于点P，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且 ．若椭圆C上存在点
E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．
9．已知椭圆Γ： ，点 分别是椭圆Γ与 轴的交点（点 在点 的上方），
过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点．
(1)若椭圆 焦点在 轴上，且其离心率是 ，求实数 的值；
(2)若 ，求 的面积；
(3)设直线 与直线 交于点 ，证明： 三点共线．
10．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，且 .
(1)求 的值；
(2)若直线 与 交于 两点，与 交于 两点， 在第一象限， 在第四象限，且
，求 的值.
11．已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
12．椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得 ，
求 的取值范围．
13．已知椭圆 的离心率为 ，点 ， 为 的左、右焦点，经过 且垂直于椭圆
长轴的弦长为3.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于A，B两点， 与直线 交于点 ，若
，且点 满足 ，求线段 的最小值.
14．如图，正六边形 的边长为2．已知双曲线 的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线 ．(1)建立适当的平面直角坐标系，求 的方程；
(2)过A的直线l与 交于M，N两点， ，若点P满足 ，证明：P在一条定直
线上．
15．已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点， 与 的公共弦长为
.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率为 的直线 与 交于 两点，与 交于 两点，且 与 同向.
（i）当直线 绕点 旋转时，判断 的形状；
（ii）若 ，求直线 的斜率.
16．已知椭圆 ，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4， 是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为 的直线 与椭圆E交于A，B两点，D为线段 的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，
使得 ，求三角形 的面积．
17．已知双曲线 的离心率为 ，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点位于第一象限， 是双曲线Q右支上一点， ，设
(1)求双曲线Q的标准方程；
(2)求证：C，D，B三点共线；
(3)若 面积为 ，求直线l的方程．
18．过坐标原点 作圆 的两条切线，设切点为 ，直线 恰为抛物线
的准线.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设点 是圆 的动点，抛物线 上四点 满足： ， ，设 中点为 .
（i）证明： 垂直于 轴；
（ii）设 面积为 ，求 的最大值.
2 . 向量的数量积
一、解答题
1．已知抛物线 ： ，斜率为 的直线 过定点 ，直线 交抛物线 于 两点，且 位
于 轴两侧， （ 为坐标原点），求 的值．
2．在平面直角坐标系中， 为坐标原点.已知抛物线 上任意一点 到焦点的距离比它到 轴的距离大1.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若过点 的直线 与曲线 相交于不同的 两点，求 的值；
3．已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线 交椭圆 于 ， 两点，O为坐标原点，若 ，求
直线 的方程.
4．已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 ， ， 分别是椭圆 的左、右、上顶点，
是 的左焦点，坐标原点 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 交椭圆 于 ， 两点，求 的取值范围.
5．已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ，左､右焦点分别为 为原点，
且 ，过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于另一点 ，交 轴于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为 的中点，在 轴上是否存在定点 ，对于任意的 都有 ？若存在，求出
定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
6．已知椭圆 的上、下顶点分别为 ，已知点 在直线 ： 上，且椭圆的离心率 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设 是椭圆上异于 的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段 的中点，直线 交直线 于
点 ， 为线段 的中点，求 的值．
7．已知双曲线 ，直线 过双曲线 的右焦点 且交右支于 两点，点 为线段 的中点，
点 在 轴上， ．
(1)求双曲线 的渐近线方程；
(2)若 ，求直线 的方程．
8．已知双曲线 ： 经过点 ，其中一条渐近线为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)一条过双曲线 的右焦点 且纵截距为 的直线 ，交双曲线 于 ， 两点，求 的值.
9．已知双曲线的中心在原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ．
(1)求双曲线方程；
(2)若点 在双曲线上，求证： ；
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
10．已知双曲线C的渐近线为 ，右焦点为 ，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 时，求直线l的方程.11．已知双曲线 ： （ ， ）的左顶点为 ， 到 的一条渐近线的距离为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与 交于 ， 两点，求 的值．
12．已知双曲线 的一条渐近线是 ，右顶点是
(1)求双曲线的方程
(2)若直线 ： 与双曲线 有两个交点 、 ，且 是原点 ，求 的取值范围
13．已知O为坐标原点， 位于抛物线C： 上，且到抛物线的准线的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点 ，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求 的最小值以及此时直线l的方程．
14．已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左、右焦点分别是 的左、右顶点，而 的左、右顶
点分别是 的左、右焦点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 有两个不同的交点 和 ，且 （其中 为原点），求 的范
围；
(3)对于（2）中的点 和 ，在 轴上是否存在点 使 为等边三角形，若存在请求出 的值；
不存在则说明理由.15．如图，已知抛物线 ，过点 且斜率为 的直线 交抛物线于 ， 两点，抛物线上的点
，设直线 ， 的斜率分别为 ， .
(1)求 的取值范围；
(2)过点 作直线 的垂线，垂足为 .求 的最大值.
16．在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆与 轴正
半轴的交点为点 ，且 为等腰直角三角形．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)已知斜率为 的直线 与椭圆 相切于点 ，点 在第二象限，过椭圆的右焦点 作直线 的垂线，垂足
为点 ，若 ，求椭圆 的方程．
17．已知圆心为H的圆 和定点 ，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线
BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．(1)求C的方程．
(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求 的取值范围
18．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点 与点 ，过点 的直线l与椭圆C交于P，
Q两点，直线 ， 分别交直线 于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆C： 的短轴长为2，离心率为 ．点 ，直线 ： ．
(1)证明：直线 与椭圆 相交于两点，且每一点与 的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点 的直线与椭圆交于 两点，与直线 交于点 ，求证： ．
20．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，过 的左顶点 作 的垂线，垂足为 ，求证：
.21．在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右焦点分别为 的离心率为2，
直线 过 与 交于 两点，当 时， 的面积为3.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知 都在 的右支上，设 的斜率为 .
①求实数 的取值范围；
②是否存在实数 ，使得 为锐角？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．已知离心率为 的双曲线 ，直线 与C的右支交于 两点，
直线l与C的两条渐近线分别交于 两点，且从上至下依次为 ， ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求 的面积．
