素养拓展06导数中的公切线问题（精讲+精练）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展 06 导数中的公切线问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡. 主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数， 通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 考法1：求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标， 则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x))， 1 1 1 2 2 2 则f′(x)＝g′(x)＝ . 1 2 考法2：由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 二、题型精讲精练 【典例1】若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ______． 【解析】设 与 和 ，分别切于点 ， ， 由导数的几何意义可得： ，即 ，① 则切线方程为 ，即 ， 或 ，即 ，②将①代入②得 ， 又直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线， 则 ，即 ，则 或 ， 即 或 ，故答案为1或 ． 【典例2】已知直线 与函数 的图像相切于点 ，与函数 的图像相切于点 ，若 ，且 ， ，则 ______． 【解析】依题意，可得 ，整理得 令 ，则 在 单调递增 且 ，∴存在唯一实数 ，使 ， ， ， ， ，∴ ，故 ． 【题型训练】 1 . 求 公切线方程 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）曲线 与曲线 的公切线方程为（ ） A． B． C． D．【答案】A 【分析】画出图象，从而确定正确选项. 【详解】画出 以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合. 故选：A 2．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数 ，若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处点的切线重合，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 得 ，然后求得 ，由 求得 ，设 ，由 得 及 ，再由 得 ，解得 后可得 ． 【详解】设 ， ， 设 ，则 ，即 ……① 又 ，即 ……② 由①②可得 ， . 故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．若经过点 存在一条直线l与 曲线 和 都相切，则 （ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求得 在 处的切线方程，然后与 联立，由 求解 【详解】解析：∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴曲线 在 处的切线方程为 ，由 得 ，由 ，解得 ． 故选：B 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 和 的公切线的条数为 A．三条 B．二条 C．一条 D．0条 【答案】A 【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程 ，构造函数 ，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数. 【详解】设公切线与 和 分别相切于点 ， ，解得 ，代入化简得 ，构造函数 ，原函数在 ，极大值 故函数和x轴有交3个点，方程 有三解，故切线有3条. 故选A.【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已 知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点 个数问题，即转化为函数图像和x轴的交点问题. 5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若 与 在公共 点处的切线相同，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设曲线 与 的公共点为 ，根据题意可得出关于 、 的方程组，进而可求 得实数 的值. 【详解】设函数 ， 的公共点设为 ， 则 ，即 ，解得 ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能 力，属于中等题. 6．（2023·全国·高三专题练习）函数 在点 处的切线与函数 的图象也相切，则 满足条件的切点的个数有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】先求直线 为函数的图象上一点 ， 处的切线方程，再设直线 与曲线 相切于点 ， ，进而可得 ，根据函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解： ， ， ， ， 切线 的方程为 ，即 ，① 设直线 与曲线 相切于点 ， ， ， ， ． 直线 也为 即 ，② 由①②得 ， 如图所示，在同一直角坐标系中画出 的图象，即可得方程有两解，故切点有2个. 故选：C 二、填空题 7．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）与曲线 和 都相切的直线方程为 __________. 【答案】 【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程 求解. 【详解】设直线与曲线 相切于点 ，因为 ，所以该直线的方程为 ，即 ， 设直线与曲线 相切于点 ， 因为 ，所以该直线的方程为 ，即 ， 所以 ，解得 ， 所以该直线的方程为 ， 故答案为： . 8．（2023·全国·高三专题练习）已知 （ 为自然对数的底数）， ，请写出 与 的一条公切线的方程______． 【答案】 或 【分析】假设切点分别为 ， ，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程 求得 ，代入公切线方程即可得到结果. 【详解】设公切线与 相切于点 ，与 相切于点 ， ， ， 公切线斜率 ； 公切线方程为： 或 ， 整理可得： 或 ， ，即 ， ，解得： 或 ， 公切线方程为： 或 .故答案为： 或 . 9．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知直线l与曲线 、 都相切，则 直线l的方程为______． 【答案】 或 【分析】分别求出两曲线的切线方程是 和 ，解方程 ， ，即得解. 【详解】解：由 得 ，设切点为 ，所以切线的斜率为 ， 则直线l的方程为： ； 由 得 ，设切点为 ，所以切线的斜率为 ， 则直线l的方程为： ． 所以 ， ， 消去 得 ， 故 或 ，所以直线l的方程为： 或 ．故答案为： 或 10．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知直线 是曲线 与 的公切线，则 __________. 【答案】 【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算 . 【详解】设曲线 上切点 ， ，切线斜率 ，切线方程 ， 即 同理，设曲线 上切点 ， ， 切线斜率 ，切线方程 ， 即 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， ， . 故答案为： . 2 . 公切线中的参数问题 一、单选题 1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线 是曲线 与曲线 的公 切线，则 等于（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】由 求得切线方程，结合该切线也是 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得 直线 ，从而求得正确答案. 【详解】设 是 图象上的一点， ， 所以 在点 处的切线方程为 ， ①， 令 ，解得 ，，所以 ， ，所以 或 （此时①为 ， ，不符合题意，舍去）， 所以 ，此时①可化为 ， 所以 . 故选：D 2．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线 与曲线 相切，切点为 ，与曲线 也相 切，切点为 ，则 的值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解. 【详解】因为直线 与曲线 相切，切点为 ， 可知直线 的方程为 ， 又直线 与曲线 也相切，切点为 ， 可知直线 的方程为 ， 所以 ，两式相除，可得 ， 所以 . 故选：B 3．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知曲线 在点 处的切线也与曲线 相切，则 所在的区间是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切线l与曲线 的切点为 ，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程， 再通过此方程有解得出结果. 【详解】设该切线为l，对 求导得 ， 所以l的方程为 ，即 ． 设l与曲线 相切的切点为 ， 则l的方程又可以写为 ，即 ． 所以 ， ． 消去m，可得 ， ， 令 ，则 ．设 ， 当 时， ，所以 在 上单调递增，又 ， ， 所以 ，所以 ． 故选：C. 4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 与 的图像存在公共切线，则实数 的最 大值为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别设公切线与 和 的切点 ， ，根据导数的 几何意义列式，再化简可得 ，再求导分析 的最大值即可 【详解】 ， ， 设公切线与 的图像切于点 ， 与曲线 切于点 ， 所以 ， 故 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，故 ， 设 ， 则 ，令 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上递增，在 上递减， 所以 ， 所以实数a的最大值为e， 故选：A.5．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数 ， 的图象都相切，则称直线l 为函数 和 的公切线．若函数 和 有且仅有一条公切线，则实 数a的值为（ ） A．e B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与 的切点为 ，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为 ， .两条切线重合，即可得出 有唯一实根.构造 ，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案. 【详解】设直线与 的切点为 ， 因为 ，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为 ， 即该直线的方程为 ，即 . 设直线与 的切点为 ， 因为 ，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为 ， 即该直线的方程为 ，即 . 因为函数 和 有且只有一条公切线， 所以有 ，即 有唯一实根. 令 ，则 . 解 ，可得 . 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减. 所以 在 处取得最大值 . 当 时， ， ，函数 图象如图所示， 因为 ， 有唯一实根，所以只有 . 故选：C 6．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知函数 ， ， 若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象均相切，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数 ， 的切点坐标分别为 ， ，根据导数几何意义可得， ，即该方程有两个不同的实根，则设 ，求导确定其单调性与取 值情况，即可得实数a的取值范围. 【详解】解：设函数 上的切点坐标为 ，且 ，函数 上的切点坐标 为 ，且 ， 又 ，则公切线的斜率 ，则 ，所以 ， 则公切线方程为 ，即 ， 代入 得： ，则 ，整理得 ， 若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象均相切，则方程 有两个不同的实根， 设 ，则 ，令 得 ， 当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减， 又 可得 ，则 时， ； 时， ，则函数 的大致图象如下： 所以 ，解得 ，故实数a的取值范围为 . 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为 ，且 ， ，且 ，可得 ，即 有 ，得公切线方程为 ，代入切点 将双变量方程 转化为单变量方程 ，根据含参方程进行“参变分离”得 ，转化为一 曲一直问题，即可得实数a的取值范围. 7．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 与曲线 有公切线，则实数a的取值范围 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式 的值域确定a的范围. 【详解】设 是曲线 的切点，设 是曲线 的切点， 对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ， 所以切线方程分别为： ， ，两切线重合， 对照斜率和纵截距可得： ，解得 （ ），令 （ ）， ，得： ，当 时， ， 是减函数， 当 时， ， 是增函数， ∴ 且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于 ； ∴ ，∴ ； 故选：D． 8．（2023·河北·统考模拟预测）若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，设公切线与 切于点 ，与曲线 切于点 ， ，即可得到 ，则 或 ，从而得到 ，在令 ， ，利用导数求出函数的最小值，即可得解； 【详解】因为 ， ， 所以 ， ， 设公切线与 切于点 ，与曲线 切于点 ， ， 所以 ， 所以 ，所以 ，所以 或 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， 令 ， ， 则 ，所以当 时 ，当 时 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以实数 的最小值为 . 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系， 最后构造函数，利用导数求出函数的最值. 二、多选题 9．（2023·湖北·统考模拟预测）若存在直线与曲线 都相切，则 的值可以是 （ ） A．0 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设该直线与 相切于点 ，求出切线方程为 ，设该直线与 相 切于点 ，求出切线方程为 ，联立方程组，得到 ，令 ，讨论 的单调性，从而得到最值，则可得 到 ，解出 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内. 【详解】设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ， 所以该切线方程为 ，即 .设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ， 所以该切线方程为 ，即 ， 所以 ， 所以 ， 令 ， 所以当 时， 0；当 时， ； 在 和 上单调递减；在 和 上单调递增； 又 ，所以 ， 所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 ， 所以A正确； 对于B， ，所以 ，所以B正确； 对于C， 因为 ，所以C正确； 对于D， 因为 ，所以D不正确. 故选：ABC 10．（2023·全国·高三专题练习）函数 ， ，下列说法正确的是（ ）．（参考数 据： ， ， ， ）A．存在实数m，使得直线 与 相切也与 相切 B．存在实数k，使得直线 与 相切也与 相切 C．函数 在区间 上不单调 D．函数 在区间 上有极大值，无极小值 【答案】AB 【分析】对AB，设直线与 、 分别切于点 ，利用点在线上及斜率列方 程组，解得切点即可判断； 对CD，令 ，由二阶导数法研究函数单调性及极值. 【详解】对AB，设直线l与 、 分别切于点 ， ， ， 则有 ，解得 或 . 当 ，则 ， ， ，公切线为 ，此时存在实数 满足题意； 当 ，则 ， ， ，公切线为 ，此时存在实数 满足题意，AB 对； 对CD，令 ， ，则 ， 由 得 在 单调递增，由 得， 时， ， 单调递增，CD错. 故选：AB. 三、填空题 11．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 与 有一条斜率为2的公切线，则 ___________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解. 【详解】设公切线在曲线 与 上的切点分别为 ， 由 可得 ，所以 ，解得 ， 所以 ,则 ， 所以切线方程为 ， 又由 ，可得 ，所以 ，即 ， 所以 ， 又因为切点 ，也即 在切线 上， 所以 ，解得 ， 所以 . 故答案为: . 12．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线 与 有公共切线，则实数 的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设公切线与曲线的切点为 ， ，利用导数的几何意义分别求 和 上的 切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参 数范围. 【详解】设公切线与曲线 和 的切点分别为 ， ，其中 ， 对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ， 对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ， 所以 ，有 ，即 ， 令 ， ， 令 ，得 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所以 ，故 ，即 . ∴正实数 的取值范围是 . 故答案为： . 13．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若存在直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则实数 的最大值为___________. 【答案】 【分析】设切线与两曲线的切点分别为 ， ，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得 ，由题意可知 有解，故令 ，利用导数求得其最值，即 可求得答案. 【详解】由题意知两曲线 与 存在公切线， 时，两曲线 与 ，不合题意； 则 的导数 ， 的导数为 ， 设公切线与 相切的切点为 ，与曲线 相切的切点为 ， 则切线方程为 ，即 ， 切线方程也可写为 ，即 ， 故 ，即 ，即 ， 即 有解， 令 ， 则 ， 令 可得 ，当 时， ，当 时， ， 故 在 是增函数，在 是减函数， 故 的最大值为 ， 故 ，所以 ，即实数 的最大值为 ，故答案为：