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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通
用）
素养拓展 01 柯西不等式（精讲+精练）
一、知识点梳理
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3.二维形式的柯西不等式的向量形式
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对 ，并不是不等式的
形状，但变成 就可以用柯西不等式了。
4.扩展： ，
当且仅当 时，等号成立.
二、题型精讲精练
【典例1】实数x、y满足 ，则x+y的最大值是________.
解： ，则
所以 ，当且仅当 时等号成立.
答案：
【典例2】（2019·全国高考真题）设 ，且 .
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，证明： 或 .【分析】(1)根据条件 ，和柯西不等式得到 ，
再讨论 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的
代入原不等式，便可得到参数 的取值范围.
【 详 解 】 (1)
故 等 号 成 立 当 且 仅 当 而 又 因
，解得 时等号成立，所以 的最小值为 .
(2) 因 为 ， 所 以
.
根据柯西不等式等号成立条件，当 ，即 时有
成立.
所以 成立，所以有 或 .
【题型训练1-刷真题】
一、填空题
1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量 满足
.记向量 在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向
上的投影为z，则 的最小值为___________.
二、解答题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2)若 ，则 ．【题型训练2-刷模拟】
1．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y、z满足 （a为常数），求
的最小值．
2．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知 ，且满足 ，求 的
最小值．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知a，b，c是正实数，且 ．求证：
(1) ；
(2) ．
4．（2023·江西吉安·统考一模）已 均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 均为正数，且满足 .证明：
(1) ；
(2) .6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设 为正数，且 .
(1)证明 ；
(2)证明 .
7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知 ，且
，证明：
(1) ；
(2)若 ，则 .
二、单选题
8．（2023·全国·高三专题练习）“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流
数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣
施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式
推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：
（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即 ）时等号成立．该不等式在
数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数
的最大值及取得最大值时x的值分别为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江·统考一模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
10．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若⊙C： ，
⊙D： ，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点， 最小值为4，则取值范围为_________．
11．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）设角 、 均为锐角，则
的范围是______________．
12．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知正实数a，b满足 ，则 的最
小值为___________.
