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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 36 圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、向量共线
运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线
中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向
量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决.
【一般策略】
通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系
来解决问题.
二、向量的数量积
向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角
函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取
值范围和求圆锥曲线的方程等方面.
【一般策略】
在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的
数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化.
三、相应的知识储备
1.共线向量定理
如果 ，则 ；反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使 ．（口
诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2.数量积的运算
（1）已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要
条件
与 (当且仅当
的关系 时等号成立)
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不
共线
二、题型精讲精练
【典例1】已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线
的斜率为 ， 为坐标原点．
(1)求 的方程；
(2)设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，且 ，求 的面积及直线 的方程．
【解析】（1）设 ，因为直线 的斜率为 ， ，所以 ，解得 ．
又 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 、 ，由题意可设直线 的方程为： ，
联立 ，消去 得 ，
当 ，所以 ，即 或 时， ， ，
由 ，得 ，代入上解得 ，即 ，又
点 到直线 的距离 ，所以 ，
此时直线 的方程为： 或 ．
【典例2】已知双曲线C的渐近线为 ，右焦点为 ，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线 的渐近线 化为 ，设双曲线 的方程为 ，
即 ，又双曲线 的右焦点 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2）由（1）知， ，设直线 的方程为 ，显然 ，
由 消去 整理得 ，显然 ， ，
而 ，则
，
化简得 ，即 ，而 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .【题型训练-刷模拟】
1 . 向量共线
一、解答题
1．已知平面内动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)设动点 的轨迹为曲线 ，过定点 的直线 和曲线 交于不同两点 、 满足 ，求线
段 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据距离公式可得出关于 、 所满足的等式，化简可得点 的轨迹方程；
（2）分析可知直线直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，由
可得出 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，由 结合韦达定理可求得 的
值，然后利用弦长公式可求得 的值.
【详解】（1）解：因为面内动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ，
则 ，整理可得 ，因此，点 的轨迹方程为 .
（2）解：若直线 与 轴重合，则 、 为椭圆 长轴的顶点，
若点 、 ，则 ， ，此时 ，不合乎题意，
若点 、 ，同理可得 ，不合乎题意，
所以，直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，
因为 ，即 ，所以， ，即 ，
由韦达定理可得 ，所以， ，
，解得 ，
因此，
.
2．已知椭圆C： 的离心率 ，点 ， 为椭圆C的左、右焦点且经过点
的最短弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于不同两点A，B， 与直线 交于点P，若
，且点Q满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）讨论直线斜率，设 ， ， ， 为 ，注意 情况，联立椭圆方程
应用韦达定理求 ， ，结合 、 坐标表示得到 ，进而有
求 ，再求 坐标，应用两点距离公式得到 关于 的表达式求最值，注意取值条件.
【详解】（1）由题意， ，解得 ， ，所以椭圆的方程为 ．
（2）由（1）得 ，若直线 的斜率为0，则 为 与直线 无交点，不满足条件．
设直线 ： ，若 ，则 则不满足 ，所以 ．
设 ， ， ，由 得： ， ， ．
因为 ，即 ，则 ， ，
所以 ，解得 ，则 ，即 ，
直线 ： ，联立 ，解得 ，
∴ ，当且仅当 或 时等号成立
∴ 的最小值为5．
3．经过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 交于 ， 两点，且 ，
， ．求 和 ．
【答案】 ，
【分析】设 , ， , ，写出直线 方程与抛物线方程联立方程组，消元应用韦达定理得
，由向量共线的坐标表示得出 的关系，消去 ，代入韦达定理的结论求得 值，从而可
得 的（纵）坐标，由此求得 ．
【详解】根据题意可得 直线方程为 ，即 ，
联立 ，可得 ， ， △ ，
设 , ， , ，又 ，
，， ， ，
又 ， ，
，
，
，
，
，又 ，
，
，
，又 ，
， ，
．
故 ， ．
4．已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，且过点 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且 ，
求直线l的斜率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为 和双曲线过点 ，联立求解；
（2）由题意设直线方程为 ，令 ，得到M的坐标，设 ，根据 ，用k
表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解.
【详解】（1）解：因为双曲线C： 的渐近线方程为 ，
所以 ，
又因为双曲线C： 过点 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为 ；
（2）由（1）知： ，则 ，
由题意设直线方程为 ，令 ，得 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
解得 ，因为点Q在双曲线上，
所以 ，解得 ，所以直线l的斜率为 .
5．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若 ，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为 ，则 ，再根据离心率求出 ，即可求出 ，从
而得到双曲线方程；
（2）依题意可得直线 的斜率存在，设 ，即可得到 的坐标，依题意可得 或
，分两种情况分别求出 的坐标，再根据 的双曲线上，代入曲线方程，即可求出 ，即可得
解；
【详解】（1）解：设所求的双曲线方程为 （ ， ），则 ， ，
∴ ，又 则 ，∴所求的双曲线方程为 ．
（2）解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点 ，
∴l的斜率一定存在，则设 ．令 得 ，
∵ 且M、Q、F共线于l，∴ 或
当 时， ， ，∴ ，
∵Q在双曲线 上，∴ ，∴ ，当 时， ，代入双曲线可得：
，∴ ．
综上所求直线l的方程为： 或 ．
6．已知双曲线 的两条渐近线分别为 ， .
(1)求双曲线 的离心率；
(2) 为坐标原点，过双曲线上一点 作直线 分别交直线 ， 于 ， 两点（ ， 分别在第一、
第四象限），且 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据渐近线方程可得 ，再通过离心率公式求得离心率；
（2）根据双曲线过点 可得双曲线方程，由已知可设点 ， ，再由 ，
可得 ， ，进而可得 ， 设直线 的倾斜角为 ，则 ，即可得 ，即可得
的面积.
【详解】（1）因为双曲线 的渐近线分别为 ， ，
所以 ， ，
所以双曲线 的离心率为 ；
（2）由（1）得 ，则可设双曲线 ，
因为 在双曲线上，
所以 ，则双曲线 的方程为 ，
又点 ， 分别在 与 上，
设 ， ，
因为 ，
所以 ，
则 ， ，
又 ，同理得 ，
设 的倾斜角为 ，且 ，则 ，
所以 .
【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标
准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线
方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再由条件求出λ的
值即可.
7．已知圆 ， ，动圆 与圆 ， 均外切，记圆心 的轨迹为曲线
．
(1)求曲线 的方程；
(2)直线 过点 ，且与曲线 交于 两点，满足 ，求直线 的方程．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）不妨设 ， ， ，由 可得 ，结合韦达定理
运算求解.
【详解】（1）由题意可知：圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
由条件可得 ，即 ，
则根据双曲线的定义可知，点 是以 ， 为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则 ，可得 ，
所以曲线 的方程为 ．
（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
由于 且直线 的斜率不等于0，
不妨设 ， ， ，
则 ， ，
由 可得 ，联立方程 ，消去x得
则 ，由韦达定理可得 ，
由 ，解得 ，
代入 可得 ，
解得 ，即 ，
因此直线 ，即 .
8．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线
在第一象限与椭圆C相交于点P，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且 ．若椭圆C上存在点
E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合双曲线方程可得 ， ，结合双曲线和椭圆的定义即可得到 ，
进而求解；
（2）设 ， ，则 ，结合平行四边形OAED，可得 ，联立
直线和椭圆方程，利用韦达定理可得 ， ．进而得到 ，从而求解.
【详解】（1）由题意，双曲线 的焦点为 ， ，
双曲线 与椭圆C有相同焦点且在第一象限交点为P，
又 ， ， ．
， ．
．
椭圆C的方程为 ．
（2）设 ， ，则 ．
四边形OAED为平行四边形，
， ．
点A，B，E均在椭圆C上，
， ， ．
，
．
．由 消去y，得 ．
显然 ．
， ．
．
，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 .
．
9．已知椭圆Γ： ，点 分别是椭圆Γ与 轴的交点（点 在点 的上方），
过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点．
(1)若椭圆 焦点在 轴上，且其离心率是 ，求实数 的值；
(2)若 ，求 的面积；
(3)设直线 与直线 交于点 ，证明： 三点共线．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出 ，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；
（3）联立直线和椭圆方程，先表示出 坐标，将共线问题转化成证明 ，结合韦达定理进行化简
计算.
【详解】（1）依题意， ，解得 （负数舍去）.
（2） 的直线经过 ，则直线方程为： ；
，则椭圆的方程为： .
设 联立直线和椭圆方程： ，消去 得到 ，
解得 ，则 ，故 ，于是 .
依题意知， 为椭圆的下顶点，即 ，由点到直线的距离， 到 的距离为： .
故
（3）设 联立直线和椭圆方程： ，得到 ，由
，得到直线 方程为： ，令 ，解得 ，即
，又 ， ，为说明 三点共线，只用证 ，即证：，下用作差法说明它们相等：
，而 ，
， ，于是上
式变为： .
由韦达定理， ，于是 ，故 ，命题得
证.
10．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，且 .
(1)求 的值；
(2)若直线 与 交于 两点，与 交于 两点， 在第一象限， 在第四象限，且
，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标公式，结合两点间距离公式进行求解即可；
（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量共线性质进行求解
即可.【详解】（1）由抛物线 的方程可知焦点 的坐标为 ，
由抛物线 的方程可知焦点 的坐标为 ，
因为 ，
所以 ；
（2）由（1）可知两个抛物线的方程分别为 ，
设直线 ， ，
根据题意结合图形可知： ，且 ，
联立 ，则 ，
同理联立 ，则 ，
由 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
由 ，
联立 ，所以 ，
故 .【点睛】关键点睛：本题的关键是由 .
11．已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直
线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由点A的坐标求得 ，结合双曲线的定义求得 ，进一步计算得出双曲线的方程即可；
（2）设直线PQ的方程为 ，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示
求得 ，得到直线l的方程.
【详解】（1）由已知C： ，点A的坐标为 ，得 ，
焦点 ， ， .
所以 ， ，故C： .
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由已知得 ， ，设 ， ，
则 ， ①
由 ， 得： ， ，
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.
12．椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得 ，
求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；
（2）根据直线 是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行
求解即可.
【详解】（1）因为该椭圆的离心率为 ，所以有 ，
在方程 中，令 ，解得 ，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有 ，由 可得： ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）当直线 不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线 存在斜率时，设为 ，所以直线 的方程设为 ，
于是有 ，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有 ，
化简，得 ，
设 ，于是有 ，
因为 ，
所以 ，
代入 中，得 ，于是有 ，
化简，得 ，代入 中，得
.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式 得到 .
13．已知椭圆 的离心率为 ，点 ， 为 的左、右焦点，经过 且垂直于椭圆
长轴的弦长为3.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于A，B两点， 与直线 交于点 ，若，且点 满足 ，求线段 的最小值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）讨论直线斜率，设 ， ， ， 为 ，注意 情况，联立椭圆方程
应用韦达定理求 ， ，结合 、 坐标表示得到 ，进而有
求 ，再求 坐标，应用两点距离公式得到 关于 的表达式求最值，注意取值条件.
【详解】（1）对于方程 ，令 ，则 ，解得 ，
由题意可得 ，解得 ， ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）由（1）得 ，若直线 的斜率为0，则 为 与直线 无交点，不满足条件．
设直线 ： ，若 ，则 ，则不满足 ，所以 ．
设 ， ， ，
由 得： ， ，
所以 ， ．因为 ，即 ，则 ， ，
所以 ，解得 ，则 ，即 ，
直线 ： ，联立 ，解得 ，即 ，
∴ ，
当且仅当 或 时,等号成立，
∴ 的最小值为 ．
14．如图，正六边形 的边长为2．已知双曲线 的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线 ．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求 的方程；
(2)过A的直线l与 交于M，N两点， ，若点P满足 ，证明：P在一条定直
线上．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，从而得到 与 ，结合 即可求得 ，
，从而得解；
（2）先考虑直线 为 轴的情况，求得此时 ，再考虑直线 不为 轴的情况，联立直线 与双曲线
的方程得到 ，再结合 求得 ，从而得到 ，由此得证.
【详解】（1）依题意，以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，如图，
因为在正六边形 中， 为正三角形， ， ，
设双曲线 的方程为 ，
由已知得 的渐近线方程为 ，所以 ，
又焦距 ，所以 ，
又由 ，则 ，从而 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）依题意，设 ，
当直线 为 轴时，不失一般性，则 ，又由（1）知 ，故 ，
所以 ，从而 ，
则 ，即 ，解得 ；
当直线 不为 轴时，设 的方程为 ，由 可知 ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
消去 ，得 ，
所以 ，
从而 ，
又 也在直线 上，
所以点 在定直线 上.
15．已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点， 与 的公共弦长为
.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率为 的直线 与 交于 两点，与 交于 两点，且 与 同向.
（i）当直线 绕点 旋转时，判断 的形状；（ii）若 ，求直线 的斜率.
【答案】(1)
(2)（i） 为钝角三角形. （ii）
【分析】（1）通过 方程可知 ，通过 与 的公共弦的长为 且 与 的图象都关于 轴
对称可得 计算即得；
（2）设直线方程为 ，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算可得
继而判断三角形形状,再利用 结合韦达定理计算即可可以求参.
【详解】（1） 的焦点为 ，所以 ，①
又 与 的公共弦长为 ，且 与 都关于 轴对称，所以公共点的横坐标为 ，
代入 可得纵坐标为 ，
所以公共点的坐标为 ，
代入 中可得 ，②
联立①②得 ，故 的方程为 .
（2）
设 ，（i）设直线 的方程为 ，
联立 得 ，
则 ，
，
所以 为钝角三角形.
（ii）因为 与 同向，且 ，所以 ，
从而 ，即 ，
所以 ，
联立 得 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以直线 的斜率为 .
16．已知椭圆 ，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4， 是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为 的直线 与椭圆E交于A，B两点，D为线段 的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，
使得 ，求三角形 的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由面积和 的坐标建立方程组待定 即可；
（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，由 D为线段 的中点，利用韦达定理得到 ，
即 的坐标，又 ，则 点坐标也可用 表示，根据点 在椭圆上，化简得到 的关系，
由点线距及弦长公式求解 面积，再由比例关系即可得到三角形 的面积.
【详解】（1）由题意知连接E的四个顶点所得四边形的面积为 ，
又点 在E上，得 ，
解得 ， ，
故椭圆E的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，
由 ，消去 得 ，
又 ，
得 ，设 ， ， ，则
， ．
由 ，可得 为三角形 的重心，
所以 ，且 ，， ，
故由 在椭圆E上，得 ，得 ，
，
又原点 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 ．
17．已知双曲线 的离心率为 ，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点
位于第一象限， 是双曲线Q右支上一点， ，设
(1)求双曲线Q的标准方程；
(2)求证：C，D，B三点共线；
(3)若 面积为 ，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据离心率即可求解 ，
（2）利用坐标运算，结合点差法以及向量共线的坐标表示即可求解，
（3）根据三角形面积公式，利用联立方程，韦达定理，代入化简即可得到关于 的方程，
【详解】（1）由双曲线 的离心率为 ，所以 ，解得 ，
所以双曲线Q的标准方程为
（2）由 得 ,又 ，所以
, ，
由 得 ①，
由于 ， 在双曲线上，所以 ，
相减得 ②
由①②得 ③，
由于 ，所以 ，
将③代入得 ，
所以 ，因此C，D，B三点共线（3）设直线 的方程为 ，
联立直线 与双曲线的方程为： ，
故 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，
联立 ，
所以
由于 轴， ，所以 ，
所以 ，
由于 ， 代入得
，令 ，
则 ，化简得 ，由于 ，所以 ，
因此 ，解得 或
由于 ，所以 ，
故直线 方程为
18．过坐标原点 作圆 的两条切线，设切点为 ，直线 恰为抛物线
的准线.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设点 是圆 的动点，抛物线 上四点 满足： ， ，设 中点为 .
（i）证明： 垂直于 轴；
（ii）设 面积为 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设直线 与 轴交于 ，由三角形相似关系可得 ，由此可构造方程求得
的值，从而得到抛物线方程；
（2）（i）根据共线向量可知 为 中点，结合点在抛物线上可确定 为方程
的两根，由此可得韦达定理的结论；根据 点纵坐标可知 斜率为零，由此可得
结论；（ii）由 ，代入韦达定理，结合点 在圆 上，可化简得到 ，根
据二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】（1）
设直线 与 轴交于 ，则 ，
由圆的方程知：圆心 ，半径 ，
为圆 的切线， ，又 ，
∽ ， ，即
，解得： ， 抛物线 的标准方程为： .
（2）设 ， ， ，
（i）由 知： 为 中点，且在抛物线 上，即 ，
又 ， ，整理可得： ；
由 知： 为 中点，且在抛物线 上，
同理可得： ；
是方程 的两根， ， ，点的纵坐标为 ， 直线 的斜率为 ，即 垂直于 轴.
（ii） ， ，
，
在圆 上， ，
，
则当 时， ，
.
2 . 向量的数量积
一、解答题
1．已知抛物线 ： ，斜率为 的直线 过定点 ，直线 交抛物线 于 两点，且 位
于 轴两侧， （ 为坐标原点），求 的值．
【答案】
【分析】设出直线 的方程，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及数量积公式建立关于 的方程，即
可求得答案.
【详解】由已知，设直线 的方程为 ，
联立直线与抛物线方程可得 ，消 得，
.
方程 的判别式，
设 ，
则 ， ，
，
由已知 ，故 ，
由 ，得 ，
故 ，解得 或 （舍去）
所以 .
【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立
一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
2．在平面直角坐标系中， 为坐标原点.已知抛物线 上任意一点 到焦点的距离比
它到 轴的距离大1.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若过点 的直线 与曲线 相交于不同的 两点，求 的值；
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用抛物线的定义求出p值即得.（2）设出直线 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得.
【详解】（1）依题意， 到抛物线 焦点的距离为 ，则 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）显然直线 不垂直于y轴，设直线 的方程为 ，
由 消去x得： ，显然 ，设 ，
则 ， ，
所以 .
3．已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线 交椭圆 于 ， 两点，O为坐标原点，若 ，求
直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 .
【分析】（1）由椭圆的性质得出椭圆C的标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程，由韦达定理结合 得出直线 的方程.【详解】（1）∵短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2，∴ ，
又椭圆C的离心率为 ，∴ ，故 ，
∴ ，
∴椭圆C的标准方程为 .
（2）联立 ，整理得 ，
∴ ， ，
故 ，
∵ ，∴ ，
解得 ，满足 ，
∴直线 的方程为 或 .
4．已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 ， ， 分别是椭圆 的左、右、上顶点，
是 的左焦点，坐标原点 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 交椭圆 于 ， 两点，求 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率、等面积法及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得方程；
（2）讨论直线 的斜率，设 的方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示得到
关于所设参数的关系式，进而求范围.
【详解】（1）设椭圆 的半焦距为 ，
根据题意 解得
故 的方程为 .
（2）由（1）知： .
当直线 的斜率为0时，点 为椭圆的左、右顶点，
不妨取 ，此时 ，则 .
当直线 的斜率不为0或 与 轴垂直时，设其方程为 ，
代入椭圆 并消去 得 ，
设 ，则 .
而 ，
所以
.因为 ，所以 ，
所以 .
综上， 的取值范围为 .
5．已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ，左､右焦点分别为 为原点，
且 ，过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于另一点 ，交 轴于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为 的中点，在 轴上是否存在定点 ，对于任意的 都有 ？若存在，求出
定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点 满足题意.
【分析】（1） ，结合 ，即可求解；
（2）设直线 的方程为： ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，求得
，设在x轴上存在定点 ，对于任意的 都有 ，由 求
解.【详解】（1）由题意得 ，
又 ， .
椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为： ，
令 得 ，即 ，
联立 ，得 ，
所以 ，
则 ， ，
若在x轴上存在定点 ，对于任意的 都有 ，
则 ，即 ，
解得 ，
所以存在定点 .
6．已知椭圆 的上、下顶点分别为 ，已知点 在直线 ： 上，且椭圆的离心
率 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设 是椭圆上异于 的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ， 为线段 的中点，求 的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据上下顶点的定义，结合离心率的定义，建立方程，可得答案；
（2）设 ， ，则点 满足椭圆方程，根据题意，易得 、 ，计算
即可
【详解】（1）
且点 在直线 ： 上， ，
又 ， ， ，
椭圆的标准方程为 .
（2）
设 ， ，则 ，且 ，
为线段 的中点， ，
， 直线 的方程为： ，令 ，得 ，
， 为线段 的中点， ，
， ，
7．已知双曲线 ，直线 过双曲线 的右焦点 且交右支于 两点，点 为线段 的中点，
点 在 轴上， ．
(1)求双曲线 的渐近线方程；
(2)若 ，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】（1）根据等轴双曲线方程即可求解渐近线方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量数量积的几何意义将其转化为 ，
由坐标运算即可求解.
【详解】（1）由题知， ，所以双曲线 的渐近线方程为 ．
（2）双曲线 的右焦点坐标为 ，
由题知，直线AB的斜率不为0，设直线 方程为 ，代入双曲线 中，化简可得： ，
设 ,则 ．
则
∴线段 中点 的坐标为 ，
直线 方程为 ．
（i）当 时， 点恰好为焦点 ，此时存在点 或 ，使得 ．
此时直线 方程为 ．
（ii）当 时，令 可得 ，可得点 的坐标为 ，
由于 所以 ，
由 ，即 ，也即： ．
化简可得 ，解出 ，
由于直线 要交双曲线右支于两点，所以 ，即 ，故舍去 ．
可得直线 的方程为 ．
综上：直线 方程为 或 或 ．
8．已知双曲线 ： 经过点 ，其中一条渐近线为 .(1)求双曲线 的方程；
(2)一条过双曲线 的右焦点 且纵截距为 的直线 ，交双曲线 于 ， 两点，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点的坐标列式求解即可；
（2）根据双曲线方程求出焦点进而得到直线方程，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，根据
代入韦达定理即可求解.
【详解】（1）因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ①，
又因为点 在双曲线上，所以 ②，
①②联立解得 ， ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）由（1）可知双曲线 中 ，
所以右焦点 坐标为 ，即直线 的横截距为 ，
又因为直线 的纵截距为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
联立 得 ，
设 ， ，则 ， ，所以 .
【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及双曲线方程的求解、平面向量数量积的求解问题，求
解数量积的关键是能够将所求量转化为符合韦达定理的形式，通过直线与双曲线联立得到韦达定理的结论，
代入可整理出结果.
9．已知双曲线的中心在原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ．
(1)求双曲线方程；
(2)若点 在双曲线上，求证： ；
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)6
【分析】（1）首先根据离心率设出双曲线方程，再代入点的坐标，即可求解；
（2）首先将点代入双曲线方程求 ，再根据斜率公式或是数量积公式，证明垂直；
（3）根据（1）（2）的结果，代入面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以可设双曲线方程为 ．
因为过点 ，所以 ，即 ．
所以双曲线方程为 ，即
（2）由（1）可知，双曲线中 ，所以 ，不妨设 ， 分别为双曲线的左右焦点，
则 ， ．
方法一： ， ，因为点 在双曲线上，
所以 ， ，
所以 ,
所以 ，所以 ．
方法二：因为 ，
，
所以 ．
因为 点在双曲线上，
所以 ，即 ，
所以 ．
（3） 的底边长 ，
的高 ，
所以 ．
10．已知双曲线C的渐近线为 ，右焦点为 ，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 时，求直线l的方程.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用给定的渐近线方程设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.
（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的坐标表示，求解作答.
【详解】（1）双曲线 的渐近线 化为 ，设双曲线 的方程为 ，
即 ，又双曲线 的右焦点 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2）由（1）知， ，设直线 的方程为 ，显然 ，
由 消去 整理得 ，显然 ， ，
而 ，则
，
化简得 ，即 ，而 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
【点睛】思路点睛：如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线
方程为 ，再由条件求出λ的值即可.11．已知双曲线 ： （ ， ）的左顶点为 ， 到 的一条渐近线的距离为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与 交于 ， 两点，求 的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）由题意知 ，取双曲线的一条渐近线，再根据点到直线的距离公式即可得到 与 关系式，
从而求得 ，进而可求得 的方程；
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则可得到 ， 的坐标，进而可直接求解
的值；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，联立直线 的方程和
的方程可得到关于 的一元二次方程，从而可得到 ， ，代入即可求解 的值，综上，即
可得到 的值．
【详解】（1）由题意知 ， 的一条渐近线方程为 ，即 ，
所以 到 的一条渐近线的距离为 ，所以 ，
又 ，解得 ，所以 的方程为 ．
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，易得 ， 或 ， ，
所以 ；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，联立 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以
．
综上， ．
12．已知双曲线 的一条渐近线是 ，右顶点是
(1)求双曲线的方程
(2)若直线 ： 与双曲线 有两个交点 、 ，且 是原点 ，求 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线的顶点坐标以及渐近线方程即可求得双曲线方程；
（2）设点 ， ，由 可知 ，再将直线方程与双曲线方程联立，利
用韦达定理即可得到关于 的不等式，并结合判别式大于零，即可求出 的范围.
【详解】（1）由双曲线的右顶点为 ，则 ，
渐近线 即 ，则 ， 故双曲线方程为 ．
（2）将双曲线方程和直线方程联立 得 ，则 ，即 ，解得 且 ，
设 ， 则 ， ，
，
因为 ，所以 ，即 ，
解得 或 ，
又 ，综合可得， 的取值范围是 .
13．已知O为坐标原点， 位于抛物线C： 上，且到抛物线的准线的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点 ，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求 的最小值以及此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)13； ．
【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可；
（2）根据韦达定理及二次函数最值计算即可.
【详解】（1）根据题意可得 ，
又 ，解方程组得 ， ，
故所求抛物线C方程 ，（2）
设点 ， ，抛物线 的焦点坐标为 ．
当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；
当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为： ；
联立抛物线方程可得 ，消去x得： ，
，得 ，
由韦达定理得 ， ，
易知 ，
故
．
所以当 时， 取得最小值为13．
此时直线l的方程为 ．
14．已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左、右焦点分别是 的左、右顶点，而 的左、右顶
点分别是 的左、右焦点．(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 有两个不同的交点 和 ，且 （其中 为原点），求 的范
围；
(3)对于（2）中的点 和 ，在 轴上是否存在点 使 为等边三角形，若存在请求出 的值；
不存在则说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）设双曲线的方程，用待定系数法求出 ， 的值；
（2）将直线方程与双曲线的方程联立，消元得到一个关于 的一元二次方程，求解判别式，利用韦达定理
和已知条件求出参数的取值范围即可；
（3）分 和 两种情况讨论，结合（2）的结论和弦长公式求出 ，利用点到直线的距离公式和
题干条件即可求解.
【详解】（1）设双曲线 的方程为 ，则 ，再由 得 ，
故 的方程为 .
（2）将 代入 得
由直线 与双曲线 交于不同的两点得：
， 且 ①
， ，则 ，
，又 ，得 ， ，
即 ，解得： ②，故 的取值范围为 .
（3）当 时， 点坐标为 ，即 ，
此时 ，点 到 的距离 ，显然不合题意；
当 时，线段 的中垂线方程为 ，
令 ，得 ，由①知， 且 ，
由（2）知：
点 到 的距离 ，且 ，
即 ， ，满足范围，
故 .
15．如图，已知抛物线 ，过点 且斜率为 的直线 交抛物线于 ， 两点，抛物线上的点
，设直线 ， 的斜率分别为 ， .(1)求 的取值范围；
(2)过点 作直线 的垂线，垂足为 .求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以点 横坐标为自变量， 用坐标表示，转化为函数值域求解即可；
（2）利用数量积的几何意义将 转化为 ，再向量坐标化，转化为函数最值求解即可.
【详解】（1）直线 的方程为 ，代入抛物线 得：
，解得 或 ，所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
则有 ，
又 ，则有 ，故 的取值范围是 .
（2）由（1）知 ， ，
所以 ， ，
，
令 ， ，
则 ，由于当 时， ，当 时， ，
故 ，即 的最大值为 .
16．在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆与 轴正
半轴的交点为点 ，且 为等腰直角三角形．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)已知斜率为 的直线 与椭圆 相切于点 ，点 在第二象限，过椭圆的右焦点 作直线 的垂线，垂足
为点 ，若 ，求椭圆 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的几何性质可得出 ，根据 、 、 的关系可求得椭圆 的离心率
的值；
（2）由题意，设直线 的方程为 ，设切点 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，
由 可得出 、 的等量关系，求出点 的坐标，写出直线 的方程，求出点 的坐标，根据
求出 的值，即可得出椭圆 的方程.
【详解】（1）解：设椭圆 的半焦距为 ，由已知得点 ，
因为 为等腰直角三角形，且 为 的中点，所以 ，即 ，
所以 ，有 ．（2）解：由（1）知 ，设椭圆 方程为 ，
因为切点 在第二象限，且直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ，设点 ，
因为直线 与椭圆 相切，联立 可得 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以， ， ，所以 ，
因为直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，即点 ，
又因为 、 ，
有 ， ，
．
所以 ，所以椭圆 的方程为 ．17．已知圆心为H的圆 和定点 ，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线
BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由l是线段AB的中垂线得 ，根据椭圆定义可得答案；
（2）由直线EF与直线PQ垂直可得 ，①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF
的斜率为零，可取 ， ， ， ，可得 ；②当直线PQ的斜率为零时，
直线EF的斜率不存在，同理可得 ；③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，
于是可设直线PQ的方程为 ，设直线EF的方程为 ，将直线PQ的方程代入曲线C
的方程，令 ，利用韦达定理代入 ，根据 的范围可得答案．
【详解】（1）由 ，得 ，所以圆心为 ，半径为4，
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得 ，所以 ，又 ，
根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以 ， ， ，所求曲线C的方程为 ；
（2）由直线EF与直线PQ垂直，可得 ，
于是 ，
①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，
此时可不妨取 ， ， ， ，
所以 ，
②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得 ，
③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为 ，
， ， ， ，
则直线EF的方程为 ，
将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得， ，
所以 ， ，
于是
，
将上面的k换成 ，可得 ，所以 ，
令 ，则 ，于是上式化简整理可得，
，
由 ，得 ，所以 ，
综合①②③可知， 的取值范围为 ．
18．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点 与点 ，过点 的直线l与椭圆C交于P，
Q两点，直线 ， 分别交直线 于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设椭圆C的方程为 ，由 两点得出椭圆C的标准方程；
（2）联立直线l与椭圆方程，由直线 的方程得出 坐标，再由韦达定理以及数量积公式，得出
的范围，进而得出 的最值.【详解】（1）设椭圆C的方程为 且 ，
因为椭圆C过点 与点 ，所以 ，解得 .
所以椭圆C的标准方程为 .
（2）设直线 ，
由 ，得 ，
即 ，则 .
直线 的方程分别为 .
令 ，则 .
则 ，
，
所以.
因为 ，所以 .
即 的取值范围为 .
所以 存在最小值，且最小值为 .
【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量 变为单变量问题，从而由
的范围，得出 的取值范围.
19．已知椭圆C： 的短轴长为2，离心率为 ．点 ，直线 ： ．
(1)证明：直线 与椭圆 相交于两点，且每一点与 的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点 的直线与椭圆交于 两点，与直线 交于点 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知求得椭圆方程，联立直线 与椭圆方程，即可证得线 与椭圆 相交于两
点，设交点 ，得直线 的方程为 ，代入椭圆方程，整理成关于 的一
元二次方程，即可证明 的连线都是椭圆的切线；
（2）根据 四点共线，要证 即证 ，设 ，
不妨设 ，则证明转化为 ，设直线 的方程为 ，
联立直线与直线，直线与椭圆，利用坐标关系即可证明结论.【详解】（1）由题意可知 ，因此 ，则椭圆方程为：
因为由 消去 可得 ， ，
则该方程有两个不相等的实根，所以直线 与椭圆 相交于两点；
设 为直线 与椭圆 的交点，则 ， ，
直线 的方程为 ，即 ，代入椭圆方程得
，
所以 ，
整理得 ，
即 ，所以 ，
故 是椭圆的切线.
（2）因为 四点共线，由（1）可知 在线段 外， 在线段 内，所以 与 的方向相同，
与 的方向相同，
要证 ，只需要 ，即证 ，
设 ，不妨设 ，
因为 四点共线，所以 等价于 ，即 ，显然 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由 ，可得 ；
由 可得 ，
从而可知 ，
因此
，
所以结论成立.
20．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，过 的左顶点 作 的垂线，垂足为 ，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得 ，从而求得双曲线的方程.
（2）设出直线 的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由 得到直线 与直线 垂直，利用相似三角形证得结论成立.
【详解】（1） 的右焦点为 ，
渐近线方程为 ，
，
，
的方程为： ；
（2）设 方程为 ，
联立 得： ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
直线 与直线 垂直，
在 中 ，
，
，即 .
21．在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右焦点分别为 的离心率为2，
直线 过 与 交于 两点，当 时， 的面积为3.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知 都在 的右支上，设 的斜率为 .
①求实数 的取值范围；
②是否存在实数 ，使得 为锐角？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)① ②不存在，理由见解析
【分析】（1）由已知条件可得 ，然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及 的面积可
求出 ，再由离心率可求出 ，从而可求得双曲线的方程，
（2）①设直线 ，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数 的
取值范围；②假设存在实数 ，使 为锐角，则 ，所以 ，再结合前面的式
子化简计算即可得结论.
【详解】（1）因为 ，所以 .则 ，所以 ，
的面积 .
又 的离心率为 ，所以 .
所以双曲线 的方程为 .
（2）①根据题意 ，则直线 ，
由 ，得 ，
由 ，得 恒成立.
设 ，则 ，
因为直线 与双曲线 的右支相交于 不同的两点，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 .
②假设存在实数 ，使 为锐角，所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
由①得 ，
即 解得 ，与 矛盾，故不存在.
22．已知离心率为 的双曲线 ，直线 与C的右支交于 两点，
直线l与C的两条渐近线分别交于 两点，且从上至下依次为 ， ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） ，根据双曲线离心率表示出 的关系，可得双曲线
渐近线方程，记 ，进而可求得 的坐标表达式，联立 可得根与系数关系式，从
而推出 与 的中点均为同一个点P，结合 ，推出 是线段 的两个四等分点，即
可求得 ，从而 ，即可求得 ，可得答案；
（2）利用（1）的结论，可求得 ，利用三角形面积公式结合数量积的运算，将 面
积化为 ，结合向量的坐标运算，即可求得答案.【详解】（1）设 ，设 的中点为 ，
记 ，则直线 即 ，
因为双曲线的离心率为 ，所以 ，故 ，
于是双曲线的渐近线为 ．
联立 ,解得 ,即 ，
同理由 ,解得 ,即 ，于是 ．
联立 ,消去x，得 ．
即 ,需满足 ，
由韦达定理，得 ，
所以， ，说明 与 的中点均为同一个点P，
所以， 关于点P对称， 关于点P对称，所以 ，
因为 ，所以 是线段 的两个四等分点，
故P点纵坐标为 ，所以 ，
于是 ，即 ，结合 ，
解得 ，满足 ，则 ，
故所求双曲线方程为 ．（2）由（1）可知， ，
于是 ．
设 ，则
，
代入 ，
得 ，
故 的面积为 ．
