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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 26 立体几何中的轨迹问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、立体几何中的轨迹问题
立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的
交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌
握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.
二、常用的解决策略
(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.
(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.
(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.
(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化
也是解决立体几何题目的一般性思路.
三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析
θ(0<θ<90°)
令平面与轴线的夹角为 ,圆雉的母线与轴的夹角为 ,如图②.
(1) 当 时,截口曲线为椭圆;
(2)当 时,截口曲线为抛物线;
(3)当 时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点 .在截口曲线上任取一点 ,过点
作圆雉的母线,分别与两球切于点 .由球的性质可知 ,于是为定值,这样截口曲线上的任一点 到两个定点 的距离之和为
常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别
与截面切于点 .在截口曲线上任取一点 ,过点 作圆雉的母线,分别与两球切于点 .由球的性质
可知 ,于是 为定值,这样截口曲线上的任一
点 到两个定点 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线 且垂直于轴截面 的平面 去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧
面与截面 相切,球与截面切于点 .设 为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记 .在截口
曲线上任取一点 ,作直线与球相切于点 ,连结 ,有 .在母线 上取点 ( 为 与
球的切点),使得 .过点 作 ,有点 在 上,且 .另一方面,因为平面
与 垂直,那么 平面 ,有 ,所以 .于是截口曲线是以点 为焦点, 为准线的抛
物线.二、题型精讲精练
1 . 平行、垂直有关的的轨迹问题
①平行有关的轨迹问题的解题策略
1.线面平行转化为面面平行得轨迹;
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
②垂直有关的轨迹问题的解题策略
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
2.利用空间坐标运算求轨迹;
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.
【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-ABC D 中，E、F、G、H、N分别是CC 、C D、DD 、
1 1 1 1 1 1 1 1
CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面ABD，则点M轨迹的长度是（ ）
1
A． a B． a C． D．
【答案】D
【分析】连接GH、HN，有GH∥BA ，HN∥BD，证得面A BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运
1 1
动，即满足条件，由此可得选项.
【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A B C D 中，E、F、G、H分别是
1 1 1 1CC 、C D、DD 、CD的中点，N是BC的中点，
1 1 1 1
则GH∥BA ，HN∥BD，又 面A BD，BA 面A BD，所以 面A BD，同理可证得 面
1 1 1 1 1
A BD，
1
又 ，∴面A BD∥面GHN，
1
又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A BD，
1
则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH= a，则点M轨迹的长度是 a.
【典例2】在正方体 中，Q是正方形 内的动点， ，则Q点的轨迹是（
）
A．点 B．线段 C．线段 D．平面
【答案】B
【分析】如图，连接 ,证明 ,又 ，即得解.
【详解】
如图，连接 ,
因为 平面 ,所以 平面 , 又 平面
,
所以 ,又 .所以点 在线段 上.故选：B
2 . 距离、角度有关的的轨迹问题
①距离有关的轨迹问题的解题策略
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识
求解轨迹；
2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略
1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例3】已知正方体ABCD-ABC D 的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，AD 距离相
1 1 1 1 1 1
等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】D
【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系 ，求出点P的轨迹方程即可判断.
【详解】
如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA 交A D 于G，连结PG，由题意可知
1 1 1
PE=PG
以D为坐标原点建立空间直角坐标系 ，设 ，由PE=PG得：
，平方得： 即点P的轨迹是双曲线.故选：D.
【典例4】正方体 中， ， 分别为 ， 的中点， 是边 上的一个点（包括
端点）， 是平面 上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线 与直线 的夹角相等，则
点 所在轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线【答案】D
【分析】根据题设分析可知： 点轨迹为以 为母线， 为轴， 为底面直径的圆锥体，及其关于
反向对称的锥体与平面 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断
所在轨迹的形状.
【详解】由题设， 点轨迹为以 为母线， 为轴， 为底面直径的圆锥体，及其关于 反向对称
的锥体与平面 的交线，如下图示：
当 是边 上移动过程中，只与下方锥体有相交， 点轨迹为抛物线；
当 是边 上移动过程中，与上方锥体也有相交， 点轨迹为双曲线；
故选：D
3 . 翻折有关的的轨迹问题
①翻折有关的轨迹问题的解题策略
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例5】1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，
可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在
生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的
圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，
使得 与小球相切．若 ，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，从而可得 ， ， ，利用勾股定理可得 ，再由离心
率的定义即可求解.
【详解】在 中，设 ，
， ， ， ，
， ∴长轴长 ， ， 则离心率 .故选：A
【题型训练2-刷模拟】
1 . 平行、垂直有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥 的底面边长为2，高为2，E是边 的中点，动点P在
表面上运动，并且总保持 ，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱 中， ， ，
为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且 ，则点 的轨迹的长为（ ）A． B． C． D．
3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体 中，点 满足 ， ， 分
别为棱 ， 的中点，点 在正方体 的表面上运动，满足 面 ，则点 的轨
迹所构成的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ， 的
中点，点P是正方体表面上的动点，若 平面 ，则 点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度
为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体 中， 分别为 ， 的中点，
点 在正方体的表面上运动，且满足 平面 ，则下列说法正确的是（ ）A．点 可以是棱 的中点 B．线段 的最大值为
C．点 的轨迹是正方形 D．点 轨迹的长度为
6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为1的正方体 ， 是 的中点，动点 在正
方体内部或表面上，且 平面 ，则动点 的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图， 为圆柱下底面圆 的直径， 是下底面圆周上一点，已知
，圆柱的高为5．若点 在圆柱表面上运动，且满足 ，则点 的轨迹所围成图
形的面积为 ．
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体 的棱长为 ，动点P在 内，满足
，则点P的轨迹长度为 ．
9．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点 是棱长为 的正方体
的内切球 的球面上的动点，点 为棱 上的一点，且 ， ，则动
点的轨迹的长度为 ．2 . 距离、角度有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体 的外接球的表面积为 ， ，
点P在四边形 内，且直线BP与平面 所成角为 ，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹
长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱
锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为 ，动点Q在正方形ABCD内运
动，且满足 ，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东淄博·统考三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且 ，球体O表面
上动点P满足 ，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在正方体 中，E为 的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为 ．若该正方体外接球的表面积为 ，则动点F的轨迹长度为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥 的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶
点P到底面ABC的距离为4，体积为 ，若该三棱锥的外接球O的半径为 ，则满足上述条件的顶点P
的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）在正四面体 中，点 为 所在平面上的
动点，若 与 所成角为定值 ， 则动点 的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体 中，点 是侧面 上的一个动点
（包含边界），则下面结论正确的有（ ）
①若点 满足 ，则动点 的轨迹是线段；
②若点 满足 ，则动点 的轨迹是椭圆的一部分；
③在线段 上存在点 ，使直线 与 ．所成的角为 ；
④当 在棱 上移动时， 的最小值是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）在棱长为3的正方体 中， 为棱 上一点，
且 ，则正方体表面到 点距离为 的点的轨迹总长度为 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的外接球 的半径为 ， 为等腰直角三角形，若顶点 到底面 的距离为4，且三棱锥 的体积为 ，则满足上述条件的顶点 的轨迹长度是
．
10．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 为正方体 的内切球球面上的动
点， 为 的中点， ，若动点 的轨迹长度为 ，则正方体的体积是 .
3 . 翻折有关的的轨迹问题
一、单选题
1．已知菱形 的各边长为 .如图所示，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置，
连接 ，得到三棱锥 ，此时 ， 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运
动，且始终保持 ，则点 的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形 的边长为 为 的中点，将 沿 向上翻折到 ，连接 ，在
翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）①四棱锥 的体积最大值为 ②． 中点 的轨迹长度为
③ 与平面 所成角的正弦值之比为
④三棱锥 的外接球半径有最小值 ，没有最大值
A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③
3．如图，在长方形ABCD中，AB= ，BC=1，E为线段DC上一动点，现将 AED沿AE折起，使点D
在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为
A． B． C． D．
