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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 10 导数中的隐零点问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性
之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 ，并结合 的单调性
得到零点的范围；
第2步：以零点为分界点，说明导函数 的正负，进而得到 的最值表达式；
第3步：将零点方程 适当变形，整体代入 最值式子进行化简，要么消除 最值式中的
指对项，要么消除其中的参数项，从而得到 最值式的估计. 下面我们通过实例来分析.
二、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间 内至
少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 .
三、常见类型
1.隐零点代换
2.隐零点同构
实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看
到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如：
3.隐零点的估计
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若 ，求 的取值范围.
解析：（1）切线方程为 ,故切线与坐标轴交点坐标分别为 ,所求三角形面积
为 .
（2）由于 , ，且 . 设 ,则
即 在 上单调递增，当 时， ,∴ ,∴成立.当 时， ， ,∴存在唯一 ，使得
，且当 时 ，当 时 ， ，
，因此
, 故 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.综上所述，实数 的取值范围是
.
【典例2】已知函数 （ ， 为自然对数的底数）， .
（1）若 有两个零点，求实数 的取值范围；
（2）当 时， 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
解析：（1） 有两个零点 关于 的方程 有两个相异实根，由 ，知
有两个零点 有两个相异实根.令 ，则 ，
由 得： ，由 得： ， 在 单调递增，在 单调递减，
，又 ， 当 时， ，当 时，
当 时， ， 有两个零点时，实数 的取值范围为 ；
（2）当 时， ， 原命题等价于 对一切 恒成立对一切 恒成立.令
， ，令 ， ，则
， 在 上单增，又 ，
，使 即 ①，当 时， ，当 时， ，
即 在 递减，在 递增，
由①知 ， 函数 在 单调递增，
即 ， ，
实数 的取值范围为 .
【典例3】已知函数 ，且 ．
（1）求 ；
（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 ．
解析：（1） ．
（2）由（1）知 ， ．设 ，则
．当 时， ；当 时， ．所以 在 单调递减，在
单调递增．又 ， ， ，所以 在 有唯一零点 ，在 有唯一零点 1，且当 时， ；当 时， ；当 时， ．因此
， 所 以 是 的 唯 一 极 大 值 点 ． 由 得 ， 故
．
由 得， ．因为 是 在 的最大值点，由 ， 得
．所以 ．
【题型训练】
1．已知函数 ．
(1)若 ，求 的极小值．
(2)讨论函数 的单调性；
(3)当 时，证明： 有且只有 个零点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
，
在区间 递减；
在区间 递增．
所以当 时， 取得极小值 ．
（2） 的定义域为 ，
．
令 ，
当 时， 恒成立，所以 即 在 上递增．
当 时， 在区间 即 递减；
在区间 即 递增．（3）当 时， ，
由（2）知， 在 上递增， ，
所以存在 使得 ，即 ．
在区间 ， 递减；在区间 递增．
所以当 时， 取得极小值也即最小值为
，
由于 ，所以 ．
，
，
根据零点存在性定理可知 在区间 和 ， 各有 个零点，
所以 有 个零点．
2.已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)设 ，若 ， ，都有 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，
，
∵ ，∴切点为 ，
∵ ，∴切线斜率 ，∴切线方程为
（2） ， ．
当 时， ， 单调递增，∴ ， ．
， ， ，令 ， ，∴ 在 上单调递增，且 ， ，
∴ ，使得 ，即 ，也即 ．
令 ， ， ，显然 时， ， 单调递增，
∴ ，即 ．∵当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
∴ ．
∵ ， ，都有 ，∴ ，得 ，
故实数 的取值范围为 ．
3.已知函数 为 的导数.
(1)当 时，求 的最小值；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意， ，令 ，则 ，
当 时， ， ，所以 ，从而 在 上单调递增，
则 的最小值为 ，故 的最小值0；
（2）由已知得当 时， 恒成立，
令 ， ，
①当 时，若 时，由（1）可知 ，∴ 为增函数，
∴ 恒成立，∴ 恒成立，即 恒成立，
若 ，令 则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∵在 在 内大于零恒成立，∴函数 在区间 为单调递增，又∵ ， ，，
∴ 上存在唯一的 使得 ，
∴当 时， ，此时 为减函数，
当 时， ，此时 为增函数，
又∵ ， ，
∴存在 ，使得 ，
∴当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为减函数，
又∵ ， ，
∴ 时， ，则 为增函数，∴ ，
∴ 恒成立，
②当 时， 在 上恒成立，则 在 上为增函数，
∵ ， ，
∴存在唯一的 使 ，
∴当 时， ，从而 在 上单调递减，∴ ，
∴ ，与 矛盾，
综上所述，实数 的取值范围为 .
4.已知 ， .
(1)若函数 的图像在 处的切线与直线 垂直，求 ;
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
，由已知可得 ，即 .（2）当 时， ，即 ，
化简可得， ，
令 ，只需 ，
，令 ，
则 ， 在 上单调递增，
， ，
存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，
由 得 ，
两边取对数得 ， ，
，即实数a的取值范围是 ．
5．已知函数 （ ）， 是 的导数.
（1）当 时，令 ， 为 的导数.证明： 在区间 存在唯一的极小值
点；
（2）已知函数 在 上单调递减，求 的取值范围.
【解析】（1）由已知， ，所以 ，
设 ， ，
当 时， 单调递增，而 ， ，且 在 上图象连续
不断.所以 在 上有唯一零点 ，当 时， ；当 时， ；
∴ 在 单调递减，在 单调递增，故 在区间 上存在唯一的极小
值点，即 在区间 上存在唯一的极小值点；
（2）设 ， ， ，
∴ 在 单调递增， ，
即 ，从而 ，
因为函数 在 上单调递减，
∴ 在 上恒成立，
令 ，
∵ ，∴ ，
在 上单调递减， ，
当 时， ，则 在 上单调递减， ，符合题意.
当 时， 在 上单调递减，
所以一定存在 ，
当 时， ， 在 上单调递增， 与题意不符，舍去.
综上， 的取值范围是
6．已知函数 ， ，
(1)求函数 的单调区间；
(2)若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由 ，当 时， 恒成立，则 在R上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，当 时 ；当 时
在 上单调递减， 上单调递增
综上，当 时， 单调递减区间为 .
当 时， 单调递减区间为 ，单调递增区间 .
（2）由 得， 恒成立，
令 ， ，则 ，
所以 ， ，
当 时， ，
令 ，则 ，等号仅在 时取得，
所以 在 上单调递增，故 ，等号仅在 时取得，即 .
令 ，则 恒成立，
在 上单调递增，则 ，即 ，
，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以 时， 在 上恒成立.
当 时， ， ，
设 ，则 ，
当 时， 是R上的增函数， 在 上单调递增，
即 时， 在 上递增，
，故 在 内存在唯一解 ，
当 时， ，则 在 上递减，则 ，
则 在 上递减，故 ，
当 时， 在 上递减，
则 ，所以 时，存在x使得 ，与 在 上恒成立矛盾，
综上，a的取值范围是 .
7．已知函数 ．
(1)讨论函数 零点个数；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）由 ，得 ,设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增；在 上单调递减，
所以 ，
据此可画出 大致图象如图，
所以（i）当 或 时， 无零点：
（ii）当 或 时， 有一个零点；
（iii)当 时， 有两个零点；
（2）①当 时， 即 恒成立，符合题意；
②当 时，由 可得 ，则 ，
则 ，即 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以，当 时， ，
即 恒成立，即 符合题意；
③当 时，由（1）可知， ，在 上单调递增．
又 ， ，
所以 ，使 .
i）当 时， ，即 ，
设 ，
则 ，所以 在 上单调递减，
所以 时， ；
ii）当 时， ，即 ，
设 ，
因为 ，
令 ，则 ，
又令 ，
则 ，得 在 上单调递增，
有 ，
得 在 上单调递增，有 ，
则 ，得 在 上单调递增，
则 时， ，
又 时， ，
得当 时， 时， ，
由上可知 ， 在 上单调递增，则此时 ，
综上可知，a的范围是 .8．已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性
(2)证明： 有唯一极值点t，且 ．
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以 时， ， 时， ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）依题意， 的定义域为 ，
，
令 ，显然 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 ，使得 ，
且 时， ， 时， ，
因为 ，所以 时， ， 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 有唯一极小值点t；
由 得 ，所以 ，
因为 ，
当且仅当 时等号成立，故 有唯一极值点t，且 ．
9．已知函数 ．
（1）若 的极小值为 ，求实数 的值；
（2）若 ，求证： ．【解析】（1）由题意， 的定义域为 ，
且 ，
由 得 ，由 得 ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴ 的极小值为 ，
令 ，得 ，
∵ ，∴ ，解得 ．
（2）当 时， ，
设 ，
则 ，
则 ，
设 ，
则 ，
设 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，即 ，∴ 在 上单调递增．
∵ ， ，∴ 存在唯一的零点 ，且 ．
由 ，得 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，∴
，
易得 在区间 上单调递减，故 ，
∴ ，即 ．10．已知函数 在 处的切线方程是 ．
(1)求a，b的值；
(2)若对于 ，曲线 与曲线 都有唯一的公共点，求实数m的取值范围．
【解析】(1)将切点坐标 代入 的 ，即 ，得 ，又因为
，直线 的斜率为
所以 ，得
(2)由（1）知 ，
因为曲线 与曲线 有唯一的公共点，
所以方程 有唯一解，即
令 ，则 ，则
即 ，
当 ， 时， ，函数 单调递增，易知 与 有且只有一个交点，满足题意；
当 ， 时， 有两个根，且两根之和为 ，两根之积为 ，所以两
根一个大于4，一个小于4，此时，函数 先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使
有唯一实数根，则 大于极大值或小于极小值.
记 为极大值点，则 ，则 恒成立，
又 ，即
则极大值
因为 ，令 得 ，又 时，
综上，要使对 ，曲线 与曲线 都有唯一的公共点，则 ，即
；
当 为极小值点，则 ，则 ，又 ，所以 恒成立，又 ，所以 时， ，所以 单减，无最小
值，所以不存在 ，使得 恒成立，
所以， 的取值范围为
