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大题突破 01 与丰富的图形世界有关的 8 种大题专
练
一．认识立体图形
1．（2023秋•裕华区校级期末）请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
（1）求大正方体木块的棱长；
（2）求截得的每个小正方体木块的棱长．
【解析】（1） ，
答：大正方体木块的棱长为 ；
（2） 每个小正方体的体积为 ，
，
答：每个小正方体木块的棱长为 ．
12．（2024春•铁西区期末）请根据如图的对话内容回答下列问题．
（1）求魔方的棱长；
（2）求长方体纸盒的底面的边长．
【解析】（1）设正方体魔方的棱长为 ，
依题意得： ，
解得： ，
答：魔方的棱长为 ．
（2）设长方体纸盒的底面正方形的边长为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：长方体纸盒的底面正方形的边长为 ．
3．（2024春•闵行区校级期末）（1）在已有的图形基础上补画图形，使之成为长方体的直观图（虚线表
示被遮住的线段，不必写画法步骤）．
（2）用一根 长的铁丝正好做一个长、宽、高的比为 的长方体框架，那么这个长方体框架的体
积是多少？
【解析】（1）所画的长方体的直观图如下：
（2）设长方体的长为 ，则宽为 ，高为 ，由题意得，
2，
解得 ，
所以长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，
因此长方体的体积为 ．
4．（2023秋•樊城区期末）如图是一个长方体储水箱和一个长方体水池的侧面示意图（厚度忽略不计），
储水箱中水深 ，把一高度为 的长方体石柱放置于水池中央后水池中水深 现将储水箱中的水
匀速注入水池，注水 时水池水面与石柱上底面持平；继续注水 后，储水箱中的水全部注入水池，
此时水池中水深 ．根据上述信息，解答下列问题：
（1）注水 后储水箱中的水深为 ；
（2）注水多长时间时，储水箱和水池中的水的深度相同？
（3）若石柱的体积为 ，请直接写出注水前储水箱中水的体积 ．
【解析】（1）由题意得：储水箱每分钟的出水量为：
，
注水 后储水箱中的水深为 ，
故答案为：10；
（2）储水箱出水速度： ，水池注水速度： ，
设 时深度相同，则：
，
解得： ，
答：注水 时，储水箱和水池中的水的深度相同；
（3） 石柱的体积为 ，
3石柱的底面积为： ，
依题意，得：
，
解得： ，
，
解得： ，
注水前储水箱中水的体积 ，
故答案为：1080．
二．几何体的展开图
5．（2023秋•赣州期末）创新作图：如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴
影的正方形一起可以构成正方体表面的不同展开图（填出两种互相不同的答案）．
【解析】根据正方体的展开图作图（答案不唯一）
．
6．（2023秋•高明区期末）有一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸
样．
（1）图2给出的四种纸样 、 、 、 ，正确的有 ．
4（2）求包装盒的表面积（侧面积与两个底面积的和）．
【解析】（1）图2给出的四种纸样 、 、 、 ，正确的有 、 ，
故答案为： 、 ；
（2） ，
，
．
7．（2023秋•番禺区期末）如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来．
【解析】连线如图所示：
8．（2023秋•濠江区期末）如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中 4个有阴影的正方
形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（在图 1和图2中任选一个进行解答，只填出一种答案即
可）
5【解析】只写出一种答案即可．（4分）
图
图
三．展开图折叠成几何体
9．（2023秋•兴化市期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．如图
是他制作的一个半成品的平面图：
（1）在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；
（2）已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为 ，求这个
长方体盒子的体积．
【解析】（1）如图所示，
（2）设长方体的高为 ，则宽为 ，长为 ，
根据题意得， ，
解得： ，
这个长方体的高为 ，宽为 ，长为 ，
这个长方体盒子的体积为： ．
610．（2023秋•威海期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于
是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图 1、图2
所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：
观察判断：
（1）小明共剪开了 条棱；
动手操作：
（2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒
（如图 ，小明在图1中补全图形有 种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴；
解决问题：
（3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长
的和是 ，求这个纸盒的体积．
【解析】解（1）小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，四种情况．
7故答案为：4；
（3） 长方体纸盒的底面是一个正方形，
设最短的棱长高为 ，则长与宽相等为 ，
长方体纸盒所有棱长的和是 ，
，
解得 ，
这个长方体纸盒的体积为 ．
答：这个纸盒的体积为 ．
11．（2023秋•姜堰区期末）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼
成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在
原图中补全；
（2）长方体共有 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开
条棱；
（3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积．
8【解析】（1）有多余块，
；
（2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱；
（3）底面正方形边长： ，
长方体高： ，
长方体体积为： ，
答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为 ．
12．（2023秋•博山区期末）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形．并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与说明：直接写出纸板上 与纸盒上 的大小关系，并说明理由．
9【解析】 ；理由如下：
为正方形对角线，
，
设每个方格的边长为1，
则 ，
，
，
由勾股定理的逆定理得△ 是等腰直角三角形，
，
．
13．（2023秋•和平区期末）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动．
【知识准备】
（1）如图① ⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 （只填写序号）．
10【制作纸盒】
（2）综合实践小组利用边长为 的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子．如图⑦，先在纸
板四角剪去四个同样大小且边长为 的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．
如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折
合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的有盖盒子的体积是无盖盒子体积的 ．
【拓展探究】
（3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图
形．
①请直接写出你剪开 条棱；
②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周
长．
【解析】（1）根据正方体的11种展开图可以知道，只有①⑤⑥正确，故答案为：①⑤⑥；
（2）无盖长方体的体积： ，
有盖长方体的体积： ，
有盖盒子的体积是无盖盒子体积的： ．
故答案为： ．
（3）①如图，长方体共有12条棱，展开后还有5条棱没有剪开，所以剪开了7条棱，
故答案为：7；
②如果设长方体的长宽高分别为： 、 、 ，
则展开图的周长为： ，
要想周长最小，需要 取最大值， 取最小值，
11， ， ，
周长为： ．
14．（2024春•杨浦区期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面
图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即
图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 8 条棱．（直接写出答案）
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，
你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）据小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底
面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是 ，求这个长方体纸盒的体积．
【解析】解（1）小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，四种情况．
（3） 长方体纸盒的底面是一个正方形，
长与宽相等为 ，
长方体纸盒所有棱长的和是 ，
，
12解得 ，
这个长方体纸盒的体积为 ，
答：这个长方体纸盒的体积为 ．
四．正方体相对两个面上的文字
15．（2023秋•长治期末）问题情景：七（1）班某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们
准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒．
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
（2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“环”字相对的字是 ．
（3）如图3，有一张边长为 的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无
盖长方体纸盒．
①请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为 的小正方形，求这个纸盒的容积．
【解析】（1）无盖正方体有五个面，
和 不符合题意，
的组合不能折叠成立方体，
不符合题意；
故选： ；
（2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“环”字相对的字是小，
故答案为：小；
（3）①如图：
13②
．
16．（2023秋•桓台县期末）如图是一个正方体的表面展开图，已知在原正方体中，相对面上的数的和为
8，求 的值．
【解析】将这个展开图折成正方体，则“5”与“ ”是相对面，“ ”与“2”是相对面，“ ”与“
”是相对面．
相对面上的数的和为8，
，
解得： ， ， ，
．
17．（2023秋•荣成市期末）小毅设计了某个产品的包装盒（如图所示），由于粗心少设计了其中一部分，
请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
（1）共有 种添补的方法；
（2）任意画出一种成功的设计图；
（3）在你画的设计图中，把2，3，4，5，6，7这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相
对面上的两个数相加的和相等（直接在图中填上）．
【解析】（1）中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符
14合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；
故答案为：4
（2）如图所示：
；
（3）如图所示：
18．（2023秋•石泉县期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，若将图中的展开图折叠成正方体后，相对
面上的两个数之和为2，求 ， ， 的值．
【解析】由图和题意，可知： ， ， ，
解得： ， ， ．
五．截一个几何体
19．（2023秋•常德期末）有四个同学甲、乙、丙、丁画了同一个几何体的展开图如下：
15（1）有一个同学画错了，你认为是 ．
（2）这个几何体是什么图形？它的体积是多少？
（3）截去这个几何体的一个角，剩余的立体图形有几条棱？写出两个答案即可．
【解析】（1）根据长方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，丙同学的画错了，
故答案为：丙；
（2）经折叠可得一个长为 ，宽为 ，高为 的长方体，
所以体积为 ，
答：这个几何体是长方体，它的体积是 ；
（3）截去这个几何体的一个角，剩余的立体图形有14条棱或15条棱（答案不唯一）．
20．（2021秋•中牟县期末）一个圆柱的底面半径是 ，高是 ，把这个圆柱放在水平桌面上，如图．
（1）如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ；
（2）如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ；
（3）请你求出在（2）的条件下所截得的最大截面面积．
【解析】（1）用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是圆；
故答案为：圆；
（2）用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是长方形；
故答案为：长方形；
16（3）在（2）的条件下所截得的最大截面面积为： ．
因此，在（2）的条件下所截得的最大截面面积为 ．
21．（2023秋•临渭区期末）如图，用一个平面去截掉一个正方体的一条棱．
（1）剩下的几何体的形状是什么？
（2）剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？
【解析】（1）剩下的几何体的形状是五棱柱；
（2）剩下的几何体有10个顶点，15条棱，7个面．
六．简单几何体的三视图
22．（2022秋•神木市期末）如图，画出几何体的主视图、俯视图和左视图．
【解析】如图所示：
23．（2023秋•莱西市期末）如图所示，分别把下面四个几何体与从上面看到的形状图连接起来．
17【解析】如图所示：
24．（2023秋•城关区校级期末）如图是由棱长都为 的6块小正方体组成的简单几何体．
（1）请在方格中画出该几何体的三个视图．
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 2 块
小正方体，
【解析】（1）该几何体的主视图、左视图和俯视图如下：
（2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体，
所以最多可以添加2个，
故答案为：2．
18七．简单组合体的三视图
25．（2023秋•新野县期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体．
（1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；
（2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可
以再添加 个小正方体．
【解析】（1）如图所示：
（2）如图所示：
在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添
加4个小正方体．
故答案为：4．
26．（2023秋•白云区期末）如图，是由9个完全一样的小立方块搭成的几何体，请画出从正面、左面、
上面所看到的几何体的形状图．
19【解析】即为所求，如图所示，
27．（2023秋•南山区校级期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方
体的棱长为1厘米．
（1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；
（2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以
再添加 个小正方体．
【解析】（1）几何体从正面、左面和上面看到的形状图如下：
；
（2）如图所示：
20；
在这个几何体上再添加如图所示的小正方体个数从左面和从上面看到的形状图不变，那最多可以再添加
（个 ．
故答案为：4．
28．（2023秋•惠东县期末）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的．
（1）填空：这个几何体由 个小正方体组成；
（2）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图；
（3）在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加 个小正方体．
【解析】（1）由图可得：这个几何体由6个小正方体组成，
故答案为：6；
（2）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图如图所示：
；
（3）根据题意得：
保持主视图和左视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列第一行和第三行各加
一个，
（个 ，
最多还可以添加4个小正方体，
故答案为：4．
29．（2023秋•靖江市期末）（1）画出如图所示几何体从正面、左面、上面看到的平面图形；
21（2）若再添加 个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则 的最大值为
．
【解析】（1）三视图如图所示：
（2）使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则 的最大值为6．
故答案为：6．
30．（2023秋•三元区期末）如图，是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数
字表示在该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形．
【解析】
八．由三视图判断几何体
31．（2023秋•揭阳期末）用10个相同的小立方块搭成几何体．从上面看到的几何体的形状图如图1所示．
其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．
（1）请在图2中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图；
22（2）如果现在你还有一些大小相同的小立方块，要求保持从正面和左面看到的形状图都不变，最多可以
再添加 个小立方块．
【解析】（1）如图所示：
（2）如图所示：
如果现在你还有一些大小相同的小立方块，要求保持从正面和上面看到的形状图都不变，最多可以再添加
3个小立方块．
故答案为：3．
32．（2023秋•礼泉县期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到
的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请画出从正面、左面看到的这个
几何体的形状图．
【解析】如图所示：
2333．（2023秋•秦都区期末）如图，是由若干个小正方体所搭几何体从上面看得到的图形，正方形中的数
字表示在该位置小正方体的个数，请你画出所搭几何体从正面和从左面看得到的图形．
【解析】从正面看，看到的图形分为上中下三层，共三列，从左边数，第一列中下两层各有一个小正方形，
第二列上中下三层各有一个小正方形，第三列下面一层有一个小正方；从左面看，看到的图形分为上中下
三层，共三列，从左边数，第一列上中下三层各有一个小正方形，第二列中下两层各有一个小正方形，第
三列中下两层各有一个小正方；看到的图形如下所示：
34．（2023秋•漳州期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形
状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这
个几何体的形状图．
【解析】这个组合体从正面看，从左面看所得到的图形如下：
2435．（2023秋•沂源县期末）如图，这是某工厂车床工作间某工件的从三个方向看到的图形，工人借助直
尺测量了部分长度，根据图中数据求该工件的体积．
【解析】根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，
底面直径分别是 和 ，高分别是 和 ，
体积为： ．
答：该工件的体积是 ．
36．（2023秋•环翠区期末）由一些大小相同的小立方块组成的几何体的从正面看和上面看到的形状图如
图所示．
（1）那么组成几何体的小立方块的个数为 ；
（2）画出其从左面看的形状图．
【解析】（1）如图所示，
组成几何体的小立方块的个数为5或6个；
（2）从左面看的形状图如图所示．
2537．（2023秋•雅安期末）如图（甲 是由若干个小正方体构成的几何体的从正面和左面看到的形状图．解
答下列问题：
（1）该几何体最多有 个小正方体，最少有 个小正方体；
（2）在图（乙 ，画出正方体个数最少时从上面看到的一种形状图，并标出每个位置小正方体的个数．
【解析】（1）最多正方体分布如下：
该几何体最多有10个小正方体；
最少正方体分布如下：
或
最少有4个小正方体；
故答案：10，4；
（2）由（1）得，如图，
26或
38．（2023秋•中牟县期末）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面看和从正面看到的形状如图
所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．
（1） ， ， ；
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
（3）当 时，画出从左面看到的这个几何体的形状图．
【解析】（1）由俯视图和主视图可知， ， ， ；
故答案为：1，1，2；
（2）由俯视图可知底层有5个，由主视图可知，左边一列最少有3个正方形，最多有6个正方体，中间一
列有2个，右边一列有2个正方形，
所以这个几何体最少由8个小立方块搭成，最多由10个小立方块搭成；
故答案为：8，10；
（3）当 时，如图：
39．（2023秋•宝鸡期末）一个几何体是由几块大小相同的小立方块搭成的，如图是从上面看到的这个几
何体的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．
（1）请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图；
（2）若从正面、左面看到的这个几何体的形状图不变，则从上面看到的这个几何体的形状图还可以是怎
样的？（画一个图即可，并在小正方形中标出该位置小立方块的个数）
【解析】（1）如图所示：
27；
（2）从正面、左面看到的这个几何体的形状图不变，则从上面看到的这个几何体的形状图如图：
．
40．（2023秋•沭阳县期末）（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位
置的小立方块的个数．
（1）请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图；
（2）若现在你的手里还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持从正面和左面看到的形状不变，
则最多可以添加 个小正方体．
【解析】（1）从正面，从左面看到的形状图，如图所示：
（2）如图，
要保持从正面和左面看到的形状不变，则最多可以添加10个小正方体．
故答案为：10．
2829
