文档内容
6.4 数列的综合应用
思维导图
典型例题分析
考向一
求通项公式
(2019课标Ⅱ理,19,12分)已知数列{a }和{b }满足a =1,b =0,4a =3a -b +4,4b =3b -a -4.
n n 1 1 n+1 n n n+1 n n
(1)证明:{a +b }是等比数列,{a -b }是等差数列;
n n n n
(2)求{a }和{b }的通项公式.
n n1
思路分析 (1)将两递推关系式左、右两边相加可得a +b = (a +b ),从而证得数列{a +b }为等比数列;将两
n+1 n+1 n n n n
2
递推关系式左、右两边相减可得a -b =a -b +2,从而证得数列{a -b }为等差数列.(2)由(1)可求出{a +b },{a -b }
n+1 n+1 n n n n n n n n
的通项公式,从而得a ,b .
n n
考向二 求和公式及其应用
1
(2016课标Ⅰ文,17,12分)已知{a }是公差为3的等差数列,数列{b }满足b =1,b = ,a b +b =nb .
n n 1 2 n n+1 n+1 n
3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求{b }的前n项和.
n
考向三 求参数问题
已知数列{a }的前n项和S =1+λa ,其中λ≠0.
n n n
(1)证明{a }是等比数列,并求其通项公式;
n
31
(2)若S = ,求λ.
5
32思路分析 (1)先由题设利用a =S -S 得到a 与a 的关系式,要证数列是等比数列,关键是看a 与a 之比
n+1 n+1 n n+1 n n+1 n
是否为一常数,其中说明a ≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.
n
考向四 构造法在数列中的应用
数列{a }满足a =1,a =2,a =2a -a +2.
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)设b =a -a ,证明{b }是等差数列;
n n+1 n n
(2)求{a }的通项公式.
n
评析 本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运算
变形的能力.
考向五 数列求和的综合问题
na
(2021全国乙文,19,12分)设{a }是首项为1的等比数列,数列{b }满足b = n.已知a ,3a ,9a 成等差数列.
n n n 1 2 3
3
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
S
(2)记S 和T 分别为{a }和{b }的前n项和.证明:T< n.
n n n n n
2
解题指导 (1)利用等差中项的概念建立等式,通过等比数列的通项公式即可求出结果;(2)利用等比数列的求和公式算出S ,对于数列{b },利用错位相减法求出T,再利用比较大小的基本方法——作差法即可证明不等式.
n n n
9
已知数列{a }的前n项和为S ,a =- ,且4S =3S -9(n∈N*).
n n 1 n+1 n
4
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)设数列{b }满足3b +(n-4)a =0(n∈N*),记{b }的前n项和为T,若T≤λb 对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值
n n n n n n n
范围.
方法总结 一般地,如果{a }是等差数列,{b }是等比数列,求数列{a ·b }的前n项和时,可采用错位相减法.在写
n n n n
“S ”与“qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“S -qS ”的表达式.
n n n n
基础题型训练
一、单选题
1．在等差数列 中，已知 ，公差 ，则 （ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．若数列 的前4项分别是 ，则该数列的一个通项公式为（ ）A． B． C． D．
3．在等比数列 中， ， ，则公比 等于（ ）
A．4 B．2 C． D． 或4
4．在各项为正的递增等比数列 中， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列 满足 ， ， 则数列 的前9项和为（ ）
A．35 B．48 C．50 D．51
6．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，即此数列第1项是 ，接下来2项
是 ， ，再接下来3项是 ， ， ， ，设 是数列的前 项和，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 时， D．当 或4时， 取得最大值
8．设等差数列 的首项为 ，公差为d，其前n项和为 ，已知 ，则下列结论正确的是
（ ）A． B． C． 与 均为 的最大值D．
三、填空题
9．已知数列 的前 项和 ，则 __________．
10．下面给出一个“直角三角形数阵”：
满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第 行第 列
的数为 ，则 _____．
11．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________.
12．在等差数列 中，其前 项和为 ，已知公差 ，则 __________．
四、解答题
13．已知数列 中， 且 .求数列 的通项公式.
14．已知数列 满足 ， ， 是等比数列．
（1）求证： ；
（2）求数列 的前 项和 ．
15．已知等差数列 的前n项和为 ， .（1）求 的通项公式；
（2）设 ，记 为数列 的前n项和.若 ，求 .
16．设函数 ，设 ， ．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
提升题型训练
一、单选题
1．已知等差数列 中， ，公差 ，则 等于（ ）．
A． B． C．24 D．27
2．等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 与 的等差中项为 ，则
A．29 B．31 C．33 D．36
3．在等差数列 中，已知 ，则该数列前13项和 （ ）
A．42 B．26 C．52 D．104
4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，
8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样
的一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”，数列 的前 项和为 ，则下列结论错误的是
（ ）A． B．
C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高
斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为“高斯函数”，例如： ，
．已知数列 满足 ， ， ，若 ， 为数列 的前
n项和，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．已知数列 是等差数列，则数列 是等比数列
B．已知数列 是等比数列，则数列 是等差数列
C．已知数列 是等差数列且 ，数列 是等比数列，则数列 是等比数列
D．已知数列 是等比数列且 ，数列 是等差数列，则数列 是等差数列
8．已知 是数列 的前 项和，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列
C． D．
三、填空题
9．已知等比数列 满足 且 ，则 ________.
10．已知数列{an}是等差数列，若a ＋a ＋a ＝17，a ＋a ＋a ＋…＋a ＋a ＋a ＝77且ak＝13，则k＝
4 7 10 4 5 6 12 13 14
________.
11．在数列 中，已知 ， ，且数列 是等比数列，则 ___.
12．设 是数列 前 项和，且 ，则数列 的通项公式 _________.
四、解答题
13．求数列 的通项公式为 ；设 为数列 的前 项和，求使 成立的 的取值集合.
14．已知数列 是等比数列， ，且 成等差数列.数列 满足：
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求证： .
15．已知数列 的首项 ，且 ， .
(1)计算 ， ， 的值，并证明 是等比数列；(2)记 ，求数列 的前 项和 .
16．已知数列 满足递推式 ，其中 ．
（1）求 ， ， ；
（2）求证数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（3）已知数列 有 ，求数列 的前 项和 ．
