文档内容
6.4 数列的综合应用
思维导图
典型例题分析
考向一
求通项公式
(2019课标Ⅱ理,19,12分)已知数列{a }和{b }满足a =1,b =0,4a =3a -b +4,4b =3b -a -4.
n n 1 1 n+1 n n n+1 n n
(1)证明:{a +b }是等比数列,{a -b }是等差数列;
n n n n
(2)求{a }和{b }的通项公式.
n n
解析 (1)证明:由题设得4(a +b )=2(a +b ),
n+1 n+1 n n
1
即a +b = (a +b ).
n+1 n+1 2 n n
又因为a +b =1,
1 1
所以{a +b }是首项为1,
n n
1
公比为 的等比数列.
2
由题设得4(a -b )=4(a -b )+8,
n+1 n+1 n n
即a -b =a -b +2.
n+1 n+1 n n
又因为a -b =1,
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以{a -b }是首项为1,公差为2的等差数列.
n n
1
(2)由(1)知,a +b = ,a -b =2n-1.
n n 2n-1 n n
1 1 1
所以a = [(a +b )+(a -b )]= +n- ,
n 2 n n n n 2n 2
1 1 1
b = [(a +b )-(a -b )]= -n+ .
n 2 n n n n 2n 2
1
思路分析 (1)将两递推关系式左、右两边相加可得a +b = (a +b ),从而证得数列{a +b }为等比数列;将两
n+1 n+1 2 n n n n
递推关系式左、右两边相减可得a -b =a -b +2,从而证得数列{a -b }为等差数列.(2)由(1)可求出{a +b },{a -b }
n+1 n+1 n n n n n n n n
的通项公式,从而得a ,b .
n n
考向二 求和公式及其应用
1
(2016课标Ⅰ文,17,12分)已知{a }是公差为3的等差数列,数列{b }满足b =1,b = ,a b +b =nb .
n n 1 2 3 n n+1 n+1 n
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求{b }的前n项和.
n
1
解析 (1)由已知,a b +b =b ,b =1,b = ,得a =2, (3分)
1 2 2 1 1 2 3 1
所以数列{a }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a =3n-1. (5分)
n n
b
(2)由(1)和a b +b =nb 得b = n, (7分)
n n+1 n+1 n n+1
3
1
因此{b }是首项为1,公比为 的等比数列. (9分)
n 3
记{b }的前n项和为S ,
n n
(1) n
1-
3 3 1
则S = = - .(12分)
n 1 2 2×3n-1
1-
3
考向三 求参数问题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】已知数列{a }的前n项和S =1+λa ,其中λ≠0.
n n n
(1)证明{a }是等比数列,并求其通项公式;
n
31
(2)若S = ,求λ.
5 32
解析 (1)由题意得a =S =1+λa ,
1 1 1
1
故λ≠1,a = ,a ≠0. (2分)
1 1-λ 1
a λ
由S =1+λa ,S =1+λa 得a =λa -λa ,即a (λ-1)=λa .由a ≠0,λ≠0得a ≠0,所以
n+1
= .
n n n+1 n+1 n+1 n+1 n n+1 n 1 n a λ-1
n
1 λ 1 ( λ ) n-1
因此{a }是首项为 ,公比为 的等比数列,于是a = . (6分)
n 1-λ λ-1 n 1-λ λ-1
( λ ) n
(2)由(1)得S =1- .
n λ-1
31 ( λ ) 5 31 ( λ ) 5 1
由S = 得1- = ,即 = .
5 32 λ-1 32 λ-1 32
解得λ=-1. (12分)
思路分析 (1)先由题设利用a =S -S 得到a 与a 的关系式,要证数列是等比数列,关键是看a 与a 之比
n+1 n+1 n n+1 n n+1 n
是否为一常数,其中说明a ≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.
n
考向四 构造法在数列中的应用
数列{a }满足a =1,a =2,a =2a -a +2.
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)设b =a -a ,证明{b }是等差数列;
n n+1 n n
(2)求{a }的通项公式.
n
解析 (1)证明:由a =2a -a +2得,
n+2 n+1 n
a -a =a -a +2,即b =b +2.
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
又b =a -a =1,
1 2 1
所以{b }是首项为1,公差为2的等差数列. (5分)
n
(2)由(1)得b =1+2(n-1),即a -a =2n-1. (8分)
n n+1 n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】n n
于是∑(a -a )=∑(2k-1),
k+1 k
k=1 k=1
所以a -a =n2,即a =n2+a .
n+1 1 n+1 1
又a =1,所以{a }的通项公式为a =n2-2n+2. (10分)
1 n n
评析 本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运算
变形的能力.
考向五 数列求和的综合问题
na
(2021全国乙文,19,12分)设{a }是首项为1的等比数列,数列{b }满足b = n .已知a ,3a ,9a 成等差数列.
n n n 3 1 2 3
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
S
(2)记S 和T 分别为{a }和{b }的前n项和.证明:T< n.
n n n n n 2
解题指导 (1)利用等差中项的概念建立等式,通过等比数列的通项公式即可求出结果;(2)利用等比数列的求
和公式算出S ,对于数列{b },利用错位相减法求出T,再利用比较大小的基本方法——作差法即可证明不等式.
n n n
解析 (1)设等比数列{a }的公比为q.
n
∵a ,3a ,9a 成等差数列,
1 2 3
∴6a =a +9a ,
2 1 3
又∵{a }是首项为1的等比数列,
n
∴6a q=a +9a q2,
1 1 1
1
∴9q2-6q+1=0,解得q =q = ,
1 2 3
(1) n-1
∴a =a ·qn-1= ,
n 1 3
na (1) n
∵b = n,∴b =n· .
n 3 n 3
(2)∵S 为{a }的前n项和,
n n
a (1-qn) 3[ (1) n]
∴S = 1 = 1- .
n 1-q 2 3
∵T 为{b }的前n项和,
n n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1) 1 (1) 2 (1) n
∴T=b +b +…+b =1× +2× +…+n ,①
n 1 2 n 3 3 3
1 (1) 2 (1) 3 (1) n+1
T=1× +2× +…+n .②
3 n 3 3 3
2 1 (1) 2 (1) n (1) n+1
①-②可得 T= + +…+ -n·
3 n 3 3 3 3
1[ (1) n]
1-
3 3 (1) n+1 (1 1)(1) n 1
= -n· =- n+ + ,
3 3 2 3 2
1
1-
3
(1 3)(1) n 3
∴T=- n+ + ,
n 2 4 3 4
S
n
1 (1) n S
n
∴T- =- n· <0,∴T< .
n 2 2 3 n 2
9
已知数列{a }的前n项和为S ,a =- ,且4S =3S -9(n∈N*).
n n 1 4 n+1 n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)设数列{b }满足3b +(n-4)a =0(n∈N*),记{b }的前n项和为T,若T≤λb 对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值
n n n n n n n
范围.
解析 本题主要考查等比数列定义、通项公式、前n项和公式等基础知识,同时考查数学运算和逻辑推理等
素养.
(1)由4S =3S -9,得4S =3S -9(n≥2),
n+1 n n n-1
则4a =3a (n≥2),
n+1 n
9
又4(a +a )=3a -9,a =- ,所以4a =3a ,
1 2 1 1 4 2 1
9 3
所以{a }是以- 为首项, 为公比的等比数列,
n 4 4
(3) n
因此a =-3× .
n 4
(3) n
(2)由题意得b =(n-4)× .
n 4
3 (3) 2 (3) n
则T=(-3)× +(-2)× +…+(n-4)× ,
n 4 4 4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3 (3) 2 (3) 3 (3) n+1
T=(-3)× +(-2)× +…+(n-4)× ,
4 n 4 4 4
1 3 (3) 2 (3) 3 (3) n (3) n+1
两式相减,得 T=(-3)× + + +…+ -(n-4)× ,
4 n 4 4 4 4 4
(3) n+1
所以T=-4n× ,
n 4
(3) n+1 (3) n
由题意得-4n× ≤λ(n-4)× 恒成立,
4 4
所以(λ+3)n-4λ≥0,
记f(n)=(λ+3)n-4λ(n∈N*),
{λ+3≥0,
所以 解得-3≤λ≤1.
f (1)≥0,
方法总结 一般地,如果{a }是等差数列,{b }是等比数列,求数列{a ·b }的前n项和时,可采用错位相减法.在写
n n n n
“S ”与“qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“S -qS ”的表达式.
n n n n
基础题型训练
一、单选题
1．在等差数列 中，已知 ，公差 ，则 （ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】由等差数列的通项公式计算．
【详解】由题意 ．
故选：A．
2．若数列 的前4项分别是 ，则该数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用观察归纳法求出通项公式.
【详解】因为数列 的前4项分别是 ，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，
所以对照四个选项， 正确.
故选：D
3．在等比数列 中， ， ，则公比 等于（ ）
A．4 B．2 C． D． 或4
【答案】C
【解析】根据等比数列的求和公式，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为在等比数列 中， ， ，
所以 ，
则 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查等比数列前 项和的基本量运算，属于基础题型.
4．在各项为正的递增等比数列 中， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先根据等比数列的通项公式求 ，再利用公比表示 ，代入方程，即可求得公比，
再表示通项公式.
【详解】数列 为各项为正的递增数列，设公比为 ，且 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
，
即 ，
解得:
.
故选：B
5．已知数列 满足 ， ， 则数列 的前9项和为（ ）
A．35 B．48 C．50 D．51
【答案】A
【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的各项，进一步求出数列的和．
【详解】解：数列 满足 ， ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时． ，
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A．
6．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，即此数列第1项是 ，接下来2项
是 ， ，再接下来3项是 ， ， ， ，设 是数列的前 项和，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合分组求和法、等比数列前 项和公式求得 .
【详解】分组：第1组有1项为 ；第2组有2项，为 ， ；……；第 组有 项，为 ， ，…，
.
根据等比数列的前 项和公式得每组各项和分别为 ， ， ，…， .∵前63组共有
（项），
∴
.
故选：A.
二、多选题
7．数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 时， D．当 或4时， 取得最大值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】CD
【分析】根据 表达式及 时， 的关系，算出数列 通项公式，即可判断A、B、C选项
的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.
【详解】当 时， ，又 ，所以 ，则 是递减数
列，故A错误；
，故B错误；
当 时， ，故C正确；
因为 的对称轴为 ，开口向下，而 是正整数，且 或 距离对称轴一样远，所以当
或 时， 取得最大值，故D正确.
故选：CD.
8．设等差数列 的首项为 ，公差为d，其前n项和为 ，已知 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． 与 均为 的最大值D．
【答案】ABD
【解析】由 可得 、 ，即可判断出答案.
【详解】∵ ，
∴ ，∴B正确．
又 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴A、D正确．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易知 是 的最大值， 不是 的最大值，∴C错误．
故选：ABD
三、填空题
9．已知数列 的前 项和 ，则 __________．
【答案】7
【分析】利用 求解.
【详解】由题得 .
故答案为：7
【点睛】本题考查数列项求和公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.
10．下面给出一个“直角三角形数阵”：
满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第 行第 列
的数为 ，则 _____．
【答案】 /
【分析】先确定每行首项的规律，再确定 ，即可求得结论．
【详解】解：依题意， ，∵每一列成等差数列，∴ ，
∵从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，均为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，∴ ；
故答案为： .
11．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________.
【答案】156
【分析】方法一：设等比数列 的公比为 ，然后由 列方程可求出 ，再利用等比数列的求
和公式对 化简计算即可，方法二：利用等比数列前 项和的性质计算即可.
【详解】法一：设等比数列 的公比为 ，显然 .
因为 ，所以 ，
所以 .
法二：设 ，则 .因为 为等比数列，
所以 仍成等比数列.
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
故答案为：156
12．在等差数列 中，其前 项和为 ，已知公差 ，则 __________．
【答案】190
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由已知条件可求得 ，得出 ，进而由 得出答案．
【详解】 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：190．
四、解答题
13．已知数列 中， 且 .求数列 的通项公式.
【答案】 .
【分析】由等比数列定义知数列 是等比数列，从而易得通项公式．
【详解】由 ，且 ，可得数列 是公比为3的等比数列，所以
14．已知数列 满足 ， ， 是等比数列．
（1）求证： ；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】(1)由已知条件得到数列 的公比，从而求出 的通项公式，即可证明.
(2)利用分组求和即可求解.
【详解】解：（1）证明： ， ，
， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设等比数列 的公比为 ，则 ，
即 ，解得 ．
．
．
（2）由（1）知： ．
．
15．已知等差数列 的前n项和为 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，记 为数列 的前n项和.若 ，求 .
【答案】（1） ；（2） ；
【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及数列的求和公式，求出数列的首项以及公差，然后求解通项
公式.
（2）说明数列是等比数列，然后求解数列的和，求解 即可.
【详解】（1）设 的首项为 ，公差为 ，
由已知得 ，解得 .
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）因为 ，由（1）可得 ，
∴ 是首项为4，公比为2的等比数列，
则 .
由 ，得 ，
解得 .
【点睛】本题考查数列的通项公式以及数列求和以及应用，考查计算能力，属于基础题.
16．设函数 ，设 ， ．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接计算 可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当 时，利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1） ；
（2）由题知，当 时， ，
又 ，两式相加得
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
又 不符合 ，
所以 .
提升题型训练
一、单选题
1．已知等差数列 中， ，公差 ，则 等于（ ）．
A． B． C．24 D．27
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】因为等差数列 中， ，公差 ，
所以 ，
故选：A
2．等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 与 的等差中项为 ，则
A．29 B．31 C．33 D．36
【答案】B
【详解】试题分析：设等比数列 的首项为 ，公比为 ，由题意知 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，故选B．
考点：等比数列通项公式及求前 项和公式．
【一题多解】由 ，得 ．又 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以
，故选B．
3．在等差数列 中，已知 ，则该数列前13项和 （ ）
A．42 B．26 C．52 D．104
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质与前 项和公式即可得解.
【详解】因为 是等差数列，
所以 ，
故 .
故选：C.
4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，
8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样
的一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”，数列 的前 项和为 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于A，由定义可以列举数列前8项，求和即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B， ，依次递推累加即可；
对于C， ，依次递推累加即可；
对于D，根据定义判定 即可.
【详解】对A： ，故选项A正确；
对B：∵ ，∴ ，故
选项B正确；
对C：同上
∵ ，∴ ，
∴ ，故选项C正确；
对D： ，故选项
D错误.
故选：D.
5．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，解得等差数列的公差，求得 ，对和式 的通项 裂项求和．
【详解】等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ，所以 ，解得
，
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 ．
故选：D．
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高
斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为“高斯函数”，例如： ，
．已知数列 满足 ， ， ，若 ， 为数列 的前
n项和，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用构造法可得 为等比数列，再运用累加法可得 通项公式，进而求得 通项公式，
再运用裂项相消求和可得结果.
【详解】由 ，得 ．又 ，所以数列 构成以2为首项，
2为公比的等比数列，
所以 .
又 ， ，…， ，
叠加可得 ，
即 ，
所以 .
又因为 满足上式，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
因为 ，所以 ，
即 ，所以 .
故 .
所以 .
故选：C.
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．已知数列 是等差数列，则数列 是等比数列
B．已知数列 是等比数列，则数列 是等差数列
C．已知数列 是等差数列且 ，数列 是等比数列，则数列 是等比数列
D．已知数列 是等比数列且 ，数列 是等差数列，则数列 是等差数列
【答案】AC
【分析】对于ACD，根据等差数列和等比数列的定义判断即可；对于B，根据对数函数的定义域必须大于0
即可判断；
【详解】设 ， ，故A正确．
中， ，但 中可能 ，不成立，故B错误．
设 ，且 ， ，则 ， 为常数，故C正确．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ， ，则 ， ．
当 时， 不恒为定值，故D错误．
故选：AC
8．已知 是数列 的前 项和，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB．求出数列 前几项，验证后判断C，求出前20项和可
判断D，
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 是等比数列，A正确；
同理 ，而 ，
所以 是等比数列，B正确；
若 ，则 ，但 ，C错；
由A 是等比数列，且公比为2，
因此数列 仍然是等比数列，公比为4，
所以 ，D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而得证新数列的性质．而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验．
三、填空题
9．已知等比数列 满足 且 ，则 ________.
【答案】
【解析】由 得 ，再求出 .
【详解】因为 ，所以 .
故由等比数列的通项公式得 .
故答案为：
10．已知数列{an}是等差数列，若a ＋a ＋a ＝17，a ＋a ＋a ＋…＋a ＋a ＋a ＝77且ak＝13，则k＝
4 7 10 4 5 6 12 13 14
________.
【答案】18
【分析】利用等差数列的性质，由a ＋a ＋a ＝17，a ＋a ＋a ＋…＋a ＋a ＋a ＝77，分别求得a ，a ，
4 7 10 4 5 6 12 13 14 7 9
再利用等差数列的通项公式求解.
【详解】∵a ＋a ＋a ＝3a ＝17，
4 7 10 7
∴a ＝ .
7
又∵a ＋a ＋…＋a ＋a ＝11a ＝77，
4 5 13 14 9
∴a ＝7.
9
所以d＝ .
∵ak＝a ＋(k－9)d＝13，
9
∴13－7＝(k－9)× ，
∴k＝18
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：18
11．在数列 中，已知 ， ，且数列 是等比数列，则 ___.
【答案】
【分析】根据等比数列的定义可求出 的公比 ，再由等比数列的通项公式可得 ，进而可得 .
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
因为数列 是等比数列，所以公比为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
12．设 是数列 前 项和，且 ，则数列 的通项公式 _________.
【答案】
【详解】试题分析：由 得 ，所以 是以首项为 ，公差是 的等差
数列，故 .当 时， ，首项不符合上式，故 .
考点：数列的概念及求通项公式.
【思路点晴】已知 求 是一种非常常见的题型，这些题都是由 与前 项和 的关系来求数列 的通
项公式，可由数列 的通项 与前 项和 的关系是 ，注意：当 时， 若适合
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则 的情况可并入 时的通项 ；当 时， 若不适合 ，则用分段函数的形式
表示.
四、解答题
13．求数列 的通项公式为 ；设 为数列 的前 项和，求使 成立的 的取值集合.
【答案】
【分析】根据等差数列的求和公式可得 ，解不等式即可.
【详解】由 知： ，且数列 为等差数列，
所以 ，
由 得： ，即 ，解得 ，
所以 的取值集合为 .
14．已知数列 是等比数列， ，且 成等差数列.数列 满足：
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求证： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据等比数列的通项公式、等差数列的性质，结合递推公式进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，利用放缩法，结合裂项相消法进行证明即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，由于 成等差数列，则
，故 ，即 ，则 .从而 ，当 时，
，故 ；当 时， ，
两式相减得 ，因此 .显然当 时，
也成立.因此 综合上述，数列 和 的通项公式为： ；
（2）由于
，因此
.
15．已知数列 的首项 ，且 ， .
(1)计算 ， ， 的值，并证明 是等比数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ， ，证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【分析】（1）由 ，分别计算出 ，可得 ， ， ， 转化得
，即 ，即可证明数列 是等比数列；（2）写出数列
的通项公式，然后利用错位相减法求和.
【详解】（1）在 中，令 得， ， .
同理可得， . ， ， .
由 得， ，即 ，
又 ， 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）可知， ， .
则 .
，
，
上述两式相减，得
【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的前 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求
解．
16．已知数列 满足递推式 ，其中 ．
（1）求 ， ， ；
（2）求证数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（3）已知数列 有 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ， ，
（2）证明见解析，
（3）
【分析】（1）由 ， ，代入计算，可求 ， ， ；
（2）由 得 ，即可得到数列 是等比数列，从而可求数列 的
通项公式；
（3）利用错位相减法，可求数列 的前 项和 ．
【详解】（1）解：由 ，及 ，知 得 ，
同理得 ， ；
（2）证明：由 得 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以数列 的通项公式为 ；
（3）解：因为 ，所以
所以 ①；
所以 ②；
由 错位相减得： ，
故 .
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