专题6.4正弦定理、余弦定理的应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题6.4 正弦定理、余弦定理的应用 新课程考试要求 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算 核心素养 （多例）等. （1）测量距离问题； （2测量高度问题； （3）测量角度问题. 考向预测 （4）主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄 懂有关术语，认真理解题意.三角形中的应用问题，主要是结合直角三角形、正方形 等，考查边角及面积的计算，与平面向量、解析几何、立体几何等结合考查，也有与 导数结合考查的情况. 【知识清单】 知识点1．正弦定理 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 知识点2．余弦定理 a2 b2 c2 2abcosC b2 c2 a2 2accosA c2 a2 b2 2accosB 余弦定理： ， ， . 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 知识点3．实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 (如图1)． (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．(4)坡度： ①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)． ②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)． 【考点分类剖析】 考点1 与平面向量、解析几何、立体几何结合 【典例1】（2021·四川成都市·高三三模（文））已知A， 是圆 上的两个动点，且满足 ，点 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设AB中点为M，则 ，根据勾股定理，求得 ，可得M的轨迹方程，化简可得 ，根据圆外一点到圆上点的最小距离为d-r，即可求得答案. 【详解】 设AB中点为M，则 ，且 ， 所以M在以O为圆心，1为半径的圆上， 所以 ， 又M的轨迹方程为： ， 所以P到M轨迹的圆心的距离 ，所以 的最小值为d-r=3-1=2， 所以 的最小值为 . 故选：C 【典例2】（2021·山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高 选择A和另一座山的山顶 为测量观测点，从A点测得 点的仰角 点的仰角 以及 从 点测得 ，若山高 米，则山高 等于（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】A 【解析】 在 中，可求得AC，根据正弦定理，在 中，可求得AM，在 中，即可求得答 案. 【详解】 因为在 中， ， ， 所以 ， 在 中， ，由正弦定理得： ，即 ， 所以 ， 在 中， ， 所以 （米） 故选：A 【典例3】（2020·江苏高考真题）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到 P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________． 【答案】 或0 【解析】 根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根据 勾股定理求出 ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】 ∵ 三点共线， ∴可设 ， ∵ ， ∴ ，即 ，若 且 ，则 三点共线， ∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， ∵ , , ， ∴ ， 设 ， ，则 ， . ∴根据余弦定理可得 ， ， ∵ ， ∴ ，解得 ， ∴ 的长度为 . 当 时， ， 重合，此时 的长度为 ， 当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去. 故答案为：0或 . 【变式探究】 1.（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射 型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在 处（点 在水平地面 的下方， 为 与水平地面 的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点 ， 两地相距100米， ，其中到 的距离比 到 的距离远40米． 地测得该仪器在 处的俯角为 ， 地测得最高点 的仰角为 ，则该仪器的垂直弹射高度 为（ ） A．210米 B． 米 C． 米D．420米 【答案】C 【解析】 在 中利用余弦定理求出 ，进而在 中可求出 ，再在 中求出 ，即可 得解． 【详解】 设 ，所以 ，在 中， ， ，所以， ，即 ， ． 在 中， ，所以 ，又在 中， ，所 以 ，因此 ． 故答案为：C． 2.（2021·浙江高二期末）已知 、 、 分别为 的三个内角 、 、 的对边，且 ，点 是边 上的中点，若 ，则 的面积最大值为 _______．【答案】 【解析】 利用余弦定理可求得 的值，可求得角 的值，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得 的 最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】 因为 ，所以， ， 即 ，所以， . ，解得 . ， 所以， ， 由基本不等式可得 ， 当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为 ， 所以， . 故答案为： . 3.（高考真题）如图，在某海滨城市O附近的海面上正形成台风.据气象部门检测，目前台风中心位于城市 O的南偏东15°方向200km的海面P处，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移动.如果台风侵袭的范围为 圆心区域，目前圆形区域的半径为100km，并以20km/h的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵 袭（精确到0.1h）？【答案】4.1小时． 【解析】 根据题意可设t小时后台风中心到达A点， 该城市开始受到台风侵袭，如图ΔPAO中，PO=200， PA=10t，AO=100+20t，∠APO=75°−15°=60°， 由余弦定理得， ， (100+20t) 2=100t2+40000 −2×10t×200×cos60° 化简得t2+20t−100=0， 解得 . t=10(√2−1)≈4.1 答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭. 考点2 测量距离问题 【典例4】（2021·永丰县永丰中学高一期末）为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距 的 两点A，B处分别测得 ， ，则 间的距离为 ________. 【答案】2 【解析】在 和 中应用正弦定理求得 ，然后在 中应用余弦定理可求得结果 【详解】 解：在 中，由正弦定理得 ，即 ，得 ， 在 中，由 ，所以 为等边三角形， , 在 中， ，由余弦定理得 ， 所以 ， 故答案为：2 【总结提升】 测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有： （1）两点都不可到达； （2）两点不相通的距离； （3）两点间可视但有一点不可到达. 【变式探究】 （2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木 都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选 了两个观测点 ，且 ，已经测得两个角 ，由于条件不足，需要再观 测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有 （ ）组① 和 ；② 和 ；③ 和 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 由已知条件结合正余弦定理，可判断所选的条件是否可以求出 . 【详解】 由 ， ， ∴可求出 、 ， ① 和 ：△ 中 ，即可求 ； ② 和 ：可求 、 ，则在△ 中 求 ； ③ 和 ：可求 ，则在△ 中 ，即可求 ； ∴①②③都可以求 . 故选：D 考点3 测量高度问题【典例5】（2021·北京高三其他模拟）魏晋南北朝(公元 )时期，中国数学在测量学取得了长足进 展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的 测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛 的高度和距离(图1)，故题为《海岛算经》受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园奥林匹克塔的 高度和距离(示意图如图2所示)，录得以下是数据(单位：米)：前表却行 ，表高 ，后 表却行 ，表间 .则塔高 __________米，前表去塔远近 __________米. 【答案】246 122 【解析】 根据相似三角形的性质计算可得； 【详解】 解：依题意可得 ， ，所以 ， 又 ， ，所以 ，解得 ，所以 故答案为： ； ；【总结提升】 求解高度问题的三个关注点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的 角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形， 一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【变式探究】 （全国高考真题）如图，为测量出高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点，从 点测得 点 的仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得 ．已知山 高 ，则山高 __________ ． 【答案】150 【解析】在 中， , ，在 中， 由正弦定理可得 即 解得 ,在 中， ． 故答案为150． 考点4 测量角度问题 【典例6】（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））一张台球桌形状是边长为 的正六边形 ，已知一个小球从 边的中点 击出后，击中 边上某点 ，之后依次碰击 ， ， ， 各边，最后击中 边上的点 ，且 ，设 ，则 ___________. 【答案】 【解析】 根据入射角等于反射角的原理可作出图形，过 作直线 的垂线 ，垂足为 ，由图形计算得到 ，知 ，由此得到结果. 【详解】 如图所示，由入射角等于反射角原理知：分别顺次以正六边形的 ， ， ， ， 边为对 称轴作 次对称变换后可知，小球的运行轨迹即为线段 ，过 作直线 的垂线 ，垂足为 ，正六边形 边长为 ， ， ， . 故答案为： . 【总结提升】 1.解决角度问题的注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题， 解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 2．测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离， 再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． 【变式探究】 某沿海四个城市A、B、 C 、D的位置如图所示，其中 ABC 60 ， BCD135 ， AB 80nmile ， BC 4030 3nmile ， CD250 6nmile ， D位于A的北偏东 75 方向.现在有 一艘轮船从A出发以 50nmile/h 的速度向D直线航行， 60min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C C  sin 直线航行，收到指令时城市 对于轮船的方位角是南偏西 度，则 __________． 6 2 【答案】 4 【解析】设船行驶至F ，则 AF 50 ，连接 AC,CF ，过A作 AE  BC 于E，则 AE 80sin60 40 3 BE  ABcos60 40 ， , 3 4 cosace ,sinACE  CF  BCBF 30 3,AC  AE2 CE2 50 3 , 5 5 ，所以 2 AC   cosACD cos 135ACE   10 CD ，所以 CAD90 ，又 AF 50 ， AC 50 3 ，可得 6 2 sin AFC 60 ，所以 CFN AFN AFC MAF AFC 15 ，故 4 .考点5 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题 【典例7】（2021·浙江高三期末）如图，游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径．一种从 沿直线步行到 ，另一种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 ．现有甲、乙两位游 客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为 ．在甲出发 后，乙从 乘缆车到 ，在 处 停留 后，再从 匀速步行到 ．假设缆车匀速直线运行的速度为 ，山路 长为 ， 经测量， ， ， 为钝角． （1）求索道 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1）索道 的长为 ；（2）乙出发 后，乙在缆车上与甲的距离最短；（3） . 【解析】 （1）利用正弦定理可求得索道 的长； （2）求出 的值，设乙出发 后，甲、乙之间的距离为 ，根据题意可得出 关于 的二次函数 关系式，利用二次函数的基本性质可求得结果；（3）设乙步行的速度为 ，根据已知条件可得 ，可解得 的取值范围，即为所求. 【详解】 （1）在 中， ， ， ， 由正弦定理 可得 ， 故索道 的长为 ； （2）因为 为钝角，则 为锐角，所以， ， ， 所以， ， 设乙出发 后，甲、乙之间的距离为 ，由题意可得 ， 则 ， 所以，当 时， 取最小值， 因此，当乙出发 后，乙在缆车上与甲的距离最近； （3） 为锐角， ， 由正弦定理 可得 ，乙从 出发时，甲已经走了 ， 还需走 才能到达 ，设乙步行的速度为 ，则 ，解得 ， 所以，为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟，乙步行的速度应控制在 范围内. 【规律方法】 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角 形的问题进行求解． 【变式探究】 （2021·浙江高一期末）目前，中国已经建成全球最大的 网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都 能见到 基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座 基站 ，已知基站高 ，该同学眼高 （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站 底部B的仰角为 ，测得基站顶端A的仰角为 ． （1）求出山高 ； （2）如图，当该同学面向基站 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在 位置）到基站 所在直线的距离 ，且记在M处观测基站底部B的仰角为 ，观测基站顶端A 的仰角为 ．试问当x多大时，观测基站的视角 最大？参考数据： 【答案】（1）151.5米；（2） ． 【解析】 （1）在直角三角形中由正切的定义得出 的方程，解之可得； （2）视角 为锐角，求出 的最大值即可得，利用两角差的正切公式可把 表 示为 的函数，然后结合基本不等式可得最大值． 【详解】 （1）设 ，则 ，即 ， ， 所以 ， 所以 ， ， 山高 （米）； （2）显然视角 为锐角， 由已知 ， ， ， 当且仅当 ，即 时， 最大，即视角 最大．