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专题 6.4 平面向量，复数综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）若复数 （ ， 为虚数单
位）是纯虚数，则实数 的值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
2．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知向量 ，向量 在 方向上的
投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在 中，点 在 的延
长线上， ，如果 ，那么（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
5．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角 中，斜边 ， 为线
段BC上的动点，且 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．4 D．6
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的 地出发，向河对岸航行．已知船的速度 的大小为
，水流速度 的大小为 ，若船的航程最短，则行驶完全程需要的
时间 为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏南京·校考二模）已知等边 的边长为 ， 为 的中点， 为线段
上一点， ，垂足为 ，当 时， （ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·北京海淀·高三北大附中校考期中）设 ， 是平面向量，则“ 是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（2023春·山西太原·高三统考期中）已知复数 、 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 、 中至少有 个是D．若 且 ，则
10．（2023春·山东枣庄·高三统考期中）石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边
形，正六边形 为其中的一个六元环，设 ，P为正六边形 内一点
（包括边界），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量为 D． 的取值范围为
11．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）下列说法正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．已知向量 ， ，则
C．若 且 ，则 和 在 上的投影向量相等
D．若复数 ， （ ），其中 是虚数单位，则 的最大值
为
12．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）已知复数 满足 ， ，
x， ， ， 所对应的向量分别为 ， ，其中O为坐标原点，则（ ）
A． 的共辄复数为 B．当 时， 为纯虚数
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实
数x的取值范围是______．
14．（2023春·陕西咸阳·高三统考期中）已知复数 是关于 的方程的一个根，则 _________.
15．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知O是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，
，则P的轨迹一定经过 的___________．(从“重心”，“外心”，“内心”，
“垂心”中选择一个填写）
16．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知 ， ，
，则点A、B、C、D中一定共线的三点是______.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2023·高三单元测试）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两
边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求 的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足 ，求 的最小值．
18．（2023春·吉林·高三东北师大附中校考期中）如图，向量 ， 为单位向量，
，点 在 内部， ， ， .
(1)当 时，求 ， 的值；
(2)求 的取值范围.19．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）若定义一种运算： .已知 为
复数，且 .
(1)求复数 ；
(2)设 为实数，若 为纯虚数，将 表示为 的函数并求该函数
的单调递增区间.
20．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）已知复数 ，其中 为实数
且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 为纯虚数，且 ，求 的取值范围．
21．已知平面向量 满足， ．
(1)若 不共线，且 与 共线，求 的值；
(2)若 的最小值为 ，求向量 的夹角大小．
22．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期中）已知向量 ， ，
．
(1)若 ，求实数k；
(2)设 满足 ，且 ，求 的坐标．
