文档内容
6.3 等比数列
思维导图
知识点总结
1．等比数列的有关概念
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一
定义
个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列
通项 设{a }是首项为a，公比为q的等比数列，则通项公式a ＝a q n － 1 .推广：a
n 1 n 1 n
公式 ＝a qn－m(m，n∈N*)
m
等比 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a
中项 与b的等比中项．此时，G2＝ab
2.等比数列的前n项和公式
S ＝
n典型例题分析
考向一 等比数列基本量的运算
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{a }的前3项和为168，a－a＝42，则a＝( )
n 2 5 6
A．14 B．12 C．6 D．3
解析：选D 设等比数列{a }的首项为a，公比为q，由题意可得即
n 1
解得所以a＝aq5＝3，故选D.
6 1
2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与
莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量
是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮
雕像”的数量构成一个数列{a }，则log a 的值为( )
n 2 4
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选C 根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a ，前n项和为S .
1 n
于是S＝＝1 016⇒a＝8，则a＝8×23＝26⇒log a＝log 26＝6.故选C.
7 1 4 2 4 2
3．(2023·泸州模拟)记S 为递增的等比数列{a }的前n项和，若a＝1，S＝a，则S＝______.
n n 1 3 2 4
解析：设等比数列{a }的公比为q，由S ＝a 得，a ＋a ＋a ＝a ，即1＋q2＝q，解得q＝2或q＝，
n 3 2 1 2 3 2
∵{a }是递增数列，∴q＝2，∴S＝＝24－1＝15.
n 4
答案：15
方法总结
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a ，n，q，a ，S ，一
1 n n
般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a }的前n项和S ＝na ；当q≠1
n n 1
时，{a }的前n项和S ＝＝.
n n
考向二 等比数列的判定或证明
[典例] 已知数列{a }满足a＝，a＝1，a ＋4a ＝5a (n∈N*)．
n 1 2 n＋2 n n＋1
(1)证明：数列{a －a }是等比数列；
n＋1 n(2)求数列{a }的通项公式．
n
[解] (1)证明：∵a ＋4a ＝5a ，n∈N*，
n＋2 n n＋1
∴a －a ＝4(a －a )，n∈N*，
n＋2 n＋1 n＋1 n
∵a＝，a＝1，∴a－a＝，
1 2 2 1
∴数列{a －a }是以为首项，4为公比的等比数列．
n＋1 n
(2)由(1)知，a －a ＝×4n－1＝22n－3，
n＋1 n
当n≥2时，
a ＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋a
n n n－1 n－1 n－2 2 1 1
＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1
＝＋＝(22n－3＋1)
当n＝1时，a＝(2－1＋1)＝满足上式．
1
所以，a ＝(22n－3＋1)(n∈N*)．
n
[方法技巧] 等比数列的判定方法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，
定义法
n∈N*)，则{a }是等比数列
n
中项公式法 若数列{a }中，a ≠0且a＝a ·a (n∈N*)，则{a }是等比数列
n n n n＋2 n
若数列{a }的通项公式可写成a ＝c·qn－1(c，q均为非零常数，
n n
通项公式法
n∈N*)，则{a }是等比数列
n
前n项和公 若数列{a }的前n项和S ＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{a }
n n n
式法 是等比数列
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种
方法常用于选择题、填空题中的判定．
注意
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不
成等比数列即可
考向三 等比数列的性质
[典例] (1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{a }中，a，a 为方程x2－4x＋π＝0的两根，则aaa 的值为(
n 2 8 3 5 7
)A．π B．－π C．±π D．π3
(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{a }的各项均为正数，且aa ＝9，则log a ＋log a ＋…
n 1 10 9 1 9 2
＋log a ＝( )
9 10
A．6 B．5
C．4 D.
[解析] (1)在等比数列{a }中，因为a ，a 为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以aa ＝π＝a，所以a ＝
n 2 8 2 8 5
±，所以aaa＝a＝±π.故选C.
3 5 7
(2)log a＋log a＋…＋log a ＝log [(aa )·(aa)·(aa)·(aa)·(aa)]＝log 95＝5.
9 1 9 2 9 10 9 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 9
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前 n项和公式的
变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
基础题型训练
一、单选题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若 ，且{an}是等比数列，则m＝（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛
减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了 里路，第一
天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 天后到达目的地.”则此人第 天走了
（ ）
A． 里 B． 里 C． 里 D． 里
3．设 是首项为正数的等比数列,公比为 则“ ”是“对任意的正整数 ”的
A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知数列 的前 项和 ，则确定 的最大正整数 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在各项都为正数的等比数列 中， ， ，则公比 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 的前 项和为 ，其中 ， ， ， 成等差数列，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知等比数列 是单调数列，设 是其前 项和，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ，则( )
A． ， ， 成等差数列 B． ， ， 成等差数列
C． ， ， 成等比数列 D． ， ， 成等比数列
三、填空题
9．等比数列 中， ， ，则 __________
10．等比数列 为非常数数列，其前 项和是 ，当 时，则公比 的值为_____．11．在递增的等比数列 中， ， ，则 ________．
12．已知数列 的前n项和为 （其中t为常数），若 为等比数列，则t=___________
四、解答题
13．已知等比数列 的首项 ，公比 ，在 中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原
数列的数一起构成一个新的等比数列 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 前n项的乘积为 ，试问： 是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，
请说明理由.
14．已知数列 满足 ， ．
(1)证明：存在等比数列 ，使 ；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 ．
15．已知等差数列 的公差 ，且 ， 的前 项和为 .
（1）若 、 、 成等比数列，求 的值.
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
16．已知 是递增的等差数列， ， ， ， 分别为等比数列 的前三项.
(1)求数列 和 的通项公式；(2)删去数列 中的第 项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 ，求数列
的前n项和 .
提升题型训练
一、单选题
1．已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 ，则 （ ）
A．40 B．120 C．121 D．363
2．记等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A．180 B．160 C．210 D．250
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a+a+a＝2，S＝9S，则S＝（ ）
1 2 3 6 3 9
A．50 B．100 C．146 D．128
4．已知数列 是等比数列， 为其前n项和，若 ， ，则 （ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
5．已知等比数列 中， ，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 为等比数列，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 的值为（ ）．
A．5 B．512
C．1024 D．64二、多选题
7．记 为数列 的前n项和，若 ，且 ， ， 成等比数列，则（ ）
A． 为等差数列 B．
C． ， ， 成等比数列 D． 有最大值，无最小值
8．以下关于数列的结论正确的是（ ）
A．若数列 的前n项和 ，则数列 为等差数列
B．若数列 的前n项和 ，则数列 为等比数列
C．若数列 满足 ，则数列 为等差数列
D．若数列 满足 ．则数列 为等比数列
三、填空题
9．若等比数列 的前n项的和为 ，且满足 ， ，则 =__________.
10．已知 为等比数列 的前 项和， ， ，则 的值为______．
11．正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 ________.
12．已知数列 满足 ， ，则满足不等式 的 的值为___________.
四、解答题
13．设 为等差数列 的前 项和，已知 ， ， 既成等差数列，又成等比数列．
(1)求 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
14．设等比数列 的前 项和为 ，公比 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和为 .
15．在数列 和等比数列 中， ， ， .
（1）求数列 及 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
16．已知等差数列 的前n项和为 ， ， ．数列 满足 ．
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
