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2023-2024学年九年级数学上学期期中测试卷01（测试范围：第1-5章）
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解析】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是
的整式方程，叫一元二次方程．
2．已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB=2，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割比是 ，求出AC的长度即可
【解析】由于C为线段AB=2的黄金分割点，
且AC＞BC，AC为较长线段；
则AC=2× = ．
故选A．
【点睛】本题考查了黄金分割，解决此题的关键是正确记得黄金分割的比值．
3．在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球，其中红球2个，白球3个，搅拌均匀后，随机抽取
一个小球，是红球的概率为（ ）
1A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用红球的个数除以所有球的个数即可求得抽到红球的概率．
【解析】解：∵共有5个球，其中红球有2个，
∴P ＝ ，
（摸到红球）
故选A．
【点睛】此题主要考查概率的意义及求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．掌握概
率的意义是解题关键．
4．若 ，且面积比为 ，其中 的周长为 ，则 的周长是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质可知，面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，从而可以求得
的周长．
【解析】解：∵ ，且面积比为 ，
∴ ，
∵ 的周长为 ，
∴ 的周长是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
周长之比等于相似比．
5．如图，在菱形 中， 与 相交于点 ，点 是 的中点， ，则菱形 的周长是
( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据四边形 是菱形得到 ，结合点 是 的中点， 得到
，即可得到答案；
2【解析】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B；
【点睛】本题考查菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，直角三角形形斜边上的中线等于斜边的一半．
6．如图， ，若 ，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可
【解析】 ＝ ，
,
故A选项正确，不符合题意；
l ∥l∥l，且 ＝ ，
1 2 3
,
故B选项正确，不符合题意；
故D选项正确，不符合题意；
3根据已知条件不能求出 的值，故C选项不正确，
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例，掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的
关键．
7．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利
36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方
程为（ ）
A．
B．
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4
D．
【答案】D
【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=36.4，把
相关数值代入计算即可．
【解析】解：设二、三月份的月增长率是x，
依题意有： ，
故选D．
【点睛】主要考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，
平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
8．下列四组条件中，能识别 与 相似的是（ ）
A． ， ； ，
B． ， ， ， ， ，
C． ， ， ， ， ，
D． ， ； ，
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而确定最后答案．
【解析】解：A不正确：
4∵ ， ； ， ，
∴ ， ，
∴不相似；
B不正确：
∵ 与 不是边 ， 与 ， 的夹角，
∴不相似；
C相似：
∵ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴相似；
D不相似：
∵ 不是 ， 的夹角， 是边 与 的夹角，
∴不相似．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①若对应三边的比相等，则三角形相似；②若对应两边的比相等，
及其夹角相等，则三角形相似；③若有两个角对应相等，则三角形相似．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE＝4cm，则AF的长度是（
）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】C
【分析】根据中位线的性质可得 ，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解．
【解析】解：点D、E、F分别是三边的中点∠BAC＝90°
∴ 为 的中位线， 为斜边 的中线，
∴ ，
∴
5故选C
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
10．如图，矩形 中， ，点 在对角线 上，过点 作 ,交边 于点
，过点 作 交 于点 ,连接 ．下列结论：① ；②四边形 的
面积不变；③当 时， ；④ 的最小值是20．其中所有正确结论的
序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的三线合一可知 ，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出 ，
，，利用 判断②；根据相似可以得到 ，判断③；利用将军
饮马问题求出最小值判断④．
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，
在点P移动过程中，不一定 ，
相矛盾，
故①不正确；
6延长 交 于点H,
则 为矩形，
∴
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴
故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故③正确，
，
即当 的最小值，作B、D关于 的对称点 ,
7把图 中的 向上平移到图2位置，使得 ，连接 ，即 为 的最小值，则
， ，
这时 ，
即 的最小值是20，
故④正确；
综上所述，②③④正确
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题
的关键．
二、填空题
11．正方形的对角线长为 cm，则它的周长为 cm．
【答案】16
【分析】根据正方形对角线的长，可将正方形的边长求出，进而可将正方形的周长求出．
【解析】解：设正方形的边长为x，
∵正方形的对角线长为 cm，
∴ ，
解得：x=4，
8∴正方形的边长为：4（cm），
∴正方形的周长为4×4=16（cm）．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
12．如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是 投影．
【答案】中心．
【解析】试题分析：由同一点(点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影．分别连接小树的影子的顶端
与树的顶端，并延长相交于一点，则说明为中心投影，交点即为点光源的位置.中心投影的特点就是物体影
子的顶端与物体顶端连接延长线交于一点，并且影子和光源位于物体两侧.故答案为中心.
13．为了估计池塘里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼记上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，待
有标记的鱼完全混合后，第二次再捕捞200条鱼，发现有5条鱼有标记，那么你估计池塘里大约有
条鱼．
【答案】4000
【分析】捕捞200条鱼，发现其中5条有标记，即可求得有标记的所占比例，而这一比例也适用于整体，
据此即可解答．
【解析】解：设湖中有x条鱼，
则200：5=x：100，
解得x=4000．
故答案为：4000．
【点睛】本题主要考查用样本估计总体，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，对总体的
估计越精确．
14．如图是一个几何体从三个不同方向看到的形状图，根据图中数据，可得该几何体的体积是
9【答案】
【分析】此几何体为圆柱和圆锥的组合体，圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积= 底面积×高，把相关
数值代入即可求解．
【解析】解：由三视图可知，该几何体中的圆柱底面直径为3，高为4，圆锥的高为3，
所以该几何体的体积为：
π× ×4+ π× ×3，
=9π+ π，
= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体形状及计算几何体体积的问题，解题的关键是根据三视图判断出
几何体形状．
15．如图，某生物兴趣小组要在长40米、宽30米的矩形园地种植蔬菜，为便于管理，要在中间开辟一横
两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为1008平方米，则小路的宽为 米．
【答案】2
10【分析】设小路的宽为 米，根据“蔬菜种植面积为1008平方米”建立方程，解方程即可得．
【解析】解：设小路的宽为 米，
由题意得： ，
解得 或 ，
当 时， ，不符题意，舍去，
即小路的宽为2米，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键．
16．已知如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ， 是等边三角形，且 点的坐标为 ，
则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】作 于 ．在 中，解直角三角形即可解决问题．
【解析】解：作 于 ．
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
故答案为 ．
11【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质、坐标与图形，勾股定理，含30°直角三角形的性质，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，点 为 边上
一动点，若 与 是相似三角形，则满足条件的 ．
【答案】 或
【分析】由于 ，故要使 与 相似，分两种情况讨论：① ∽ ，
② ∽ ，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 的长．
【解析】解： ， ，
，
．
设 的长为 ，则 长为 ．
若 边上存在 点，使 与 相似，那么分两种情况：
若 ∽ ，则 ：BP=AD： ，
即 ，
解得： ，
若 ∽ ，则 ： ： ，
即 ，
解得： 或 ．
或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．
18．如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将 ADE沿AE翻折至 AEF，连接BF并
12延长BF交AE延长线于点P，当PF＝ BF时， ＝ ．
【答案】 ﹣1
【分析】如图，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥BP于N．首先证明 AMP是等腰直角三角形，设
△
BF＝2a，则PF＝ BF＝ a，BM＝MF＝a，利用相似三角形的性质求出FN：EN＝1+ ，再想办法
求出EN（用a表示），即可解决问题．
【解析】解：如图，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥BP于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
由翻折的性质可知，AD＝AF，∠DAE＝∠EAF，
∴AB＝AF，
∵AM⊥BF，
∴BM＝FM，∠BAM＝∠FAM，
∴∠PAM＝∠PAF+∠FAM＝ ∠BAD＝45°，
∵∠AMP＝90°，
∴∠P＝∠PAM＝45°，
13∴AM＝MP，
设BF＝2a，则PF＝ BF＝ a，BM＝MF＝a，
∴AM＝PM＝FM+PF＝a+ a，
∵∠AMF＝∠AFE＝∠ENF＝90°，
∴∠AFM+∠EFN＝90°，∠EFN+∠FEN＝90°，
∴∠AFM＝∠FEN，
∴△AMF∽△FNE，
∴ ，
设EN＝PN＝x，则FN＝（1+ ）x，
∴（1+ ）x+x＝ a，
∴x＝（ ﹣1）a，
∴EN＝（ ﹣1）x，
∴ ＝ ＝ ﹣1，
∵CD＝AD＝AF，DE＝EF，
∴ ＝ ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，
学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
19．解方程：
(1) ．
14(2) ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解析】（1）解： ，
，
，即 ，
或 ，
， ；
（2） ，
，
，
或 ，
．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．已知线段a、b、c，且 ．
(1)求 的值；
(2)若线段a、b、c满足 ，求a、b、c的值．
15【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 代入计算即可；
（2）由（1）中的结论构建方程求出k即可．
【解析】（1）解：设
则：
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出 进而得出k的值是解题关键．
21．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根 ， ．
求a的取值范围；
是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）a＜ ；（2）不存在.
【分析】（1）根据题意，应满足两个条件：△＞0，二次项系数不等于0，由此求解即可；（2）利用根与
系数的关系求得字母的值后（注意检验原方程是否有实数根），结合（1）的取值范围解答即可．
【解析】（1）已知方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，
∴a2≠0且满足△=（2a-1）2-4a2＞0，
∴a＜ 且a≠0；
（2）不存在这样的a．
∵方程的两个实数根x ，x 互为相反数，
1 2
则x +x =- ，
1 2
解得a= ，
16经检验a= 是方程的根．
∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，
a的取值范围是a＜ 且a≠0，
而a= ＞ （不符合题意）．
所以不存在这样的a值，使方程的两个实数根互为相反数．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、根的判别式、解分式方程．解决问题时，只
要是一元二次方程或说方程有两个实数根，则二次项系数不得为0；凡是利用根与系数的关系求得未知字
母的值时，一定要注意代入原方程，看是否有实数根．
22．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．
(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的 ；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形 ，使新图与原图相似比为2：1；
(3)求出 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）以x轴为分割线，将 分成两部分，即可求得 的面积．
17【解析】（1）如图所示： 即为所求；
（2）如图所示： 即为所求；
（3） 的面积＝ ×5×（2+2）＝10．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
23．如图，有A，B，C，D四张不透明的圆形卡片，这些卡片除正面上的图案不同外，其他均相同，将这
四张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
(1)从中随机取出一张卡片，求卡片上的图案是轴对称图形的概率；
(2)若从这四张卡片中随机取出两张卡片，请用画树状图或列表的方法，列出所取出的两张卡片的所有情况，
并求取出的两张卡片都是中心对称图形的概率．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解析】（1）解：从中随机取出一张卡片，求卡片上的图案是轴对称图形的概率为 ；
（2）画树状图如下：
18由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出的两张卡片都是中心对称图形的有2种结果，
所以取出的两张卡片都是中心对称图形的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出
符合事件 或 的结果数目 ，求出概率．
24．枣庄某学校九年级一班进行课外实践活动，王嘉同学想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼
下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意
图，王嘉边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，
且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在
同一直线上）．已知王嘉的身高EF是1.7m，请你帮王嘉求出楼高AB．
【答案】26.2米
【分析】过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，由四边形CDME、ACDN是矩形，得AN＝ME＝
CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），得MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），依
题意知，EF∥AB，则 DFM∽△DBN， 解得BN＝25（m），即可AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2
△
（m）．
【解析】解：过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，
19∴四边形CDME、ACDN是矩形，
∴AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），
∴MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），
∴依题意知，EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN，
∴ ，
即： ，
∴BN＝25（m），
∴AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．
答：楼高为26.2m．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程
求解即可，体现了转化的思想．
25．如图，在 中， ， 为 边上的高， 的平分线 分别交 ， 于点 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析；
20(2) ．
【分析】（1）根据 ，可得 ，再结合角平分线的定义可得
，即可得证；
（2）过点 作 于点 ，由角平分线的性质可得 ，利用 ，求出 的值，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而可得出答案．
【解析】（1）证明：∵ 为 边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
21解得 ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答
本题的关键．
26．如图，四边形 是正方形，点 是 边上动点(不与 重合)．连接 过点 作 交
于点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，试探究当点 在 什么位置时， ，请证明你的结论．
(3)若 ，求BF的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)点 在 中点位置时， ，证明见解析
(3)
【分析】（1）先根据正方形的性质可得 ，再根据直角三角形的性质、角的和差可得
，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得 ，再根据三角
形全等的判定定理与性质可得 ，然后根据等腰三角形的判定与性质可得 ，最后根据
22等量代换即可得；
（3）设 ，则 ，由 ，求出 ，再
由勾股定理证明要使 最大，则要使 最大，由此求解即可．
【解析】（1） 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
；
（2）点 在 中点位置时， ，证明如下：
如图，连接 ，延长 于 的延长线相交于点H，
为 中点，
，
四边形 是正方形，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点 在 中点位置时， ．
23（3）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，即
∴ ，
在 中， ，
∴要使 最大，则要使 最大，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判
定与性质，二次函数的应用等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形
是解题关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在
C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知
△ABO≌△DAC，直线BD交x轴于点E．
24(1)求直线AD的解析式；
(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；
(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，
求出G点的坐标．
【答案】(1)y＝2x﹣4
(2)1或
(3)G（ ，3 ﹣3）或G（ ，﹣3 ﹣3）
【分析】（ 1）由△ABO≌△DAC，得到OC＝OA+AC＝OA+OB，再由已知求出AO＝2，OB＝1，即可得到
A（2，0），D（3，2），用待定系数法求直线AD的解析式即可；
（2 ）由题意可知只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED两种情况，此时F点必在x轴下方，分两种情况求
解即可；
（ 3）设G（n，2n﹣4），P（m， m+1），Q（3，p），AP、GQ为菱形对角线，AG＝AQ，列出方程组
，解得n＝ 或n＝ ．
【解析】（1）∵△ABO≌△DAC，
25∴AC＝OB，AO＝CD，
∵C（3，0），
∴OC＝3，
∵OC＝OA+AC＝OA+OB，
又∵AO＝2BO，
∴AO＝2，OB＝1，
∴B（0，1），A（2，0），
∴CD＝2，
∴D（3，2），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线AD的解析式为y＝2x﹣4；
（2）设BD的解析式为y＝ax+c，
把B（0，1），D（3，2）代入y＝ax+c，得
，
∴ ，
∴BD的解析式为y＝ x+1，
令y=0，则 x+1=0
∴x=-3
∴E（﹣3，0），
∴AE＝2+3=5，AD＝ ，ED＝ 2 ，AC＝1，
∵F点在直线AD上，
26∴设F（t，2t﹣4），
∴AF＝ |t﹣2|，
∵∠DAC＝∠EDA+∠DEA，
∴△ACF与△ADE相似时，只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED两种情况，此时F点必在x轴下方，
∴t＜2，
①当△ACF∽△ADE时， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴t＝3（舍）或t＝1；
②当△ACF∽△AED时， ＝ ，
∴ ，
∴t＝ 或t＝ （舍）；
综上所述：t的值为1或 ；
（3）设G（n，2n﹣4），P（m， m+1），Q（3，p），
∵四边形AQPG是菱形，
∴AP、GQ为菱形对角线，AG＝AQ，
∴ ，
解得n＝ 或n＝ ，
∴G（ ，3 ﹣3）或G（ ，﹣3 ﹣3）．
【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，三角形相似的判定及
性质，分类讨论，准确地计算是解题的关键．
2728．如图1，正方形 和正方形 ，连接 ， ．
(1)[发现]：当正方形 绕点 旋转到图2时，猜想线段 与 之间的关系是：
_________________________；
(2)[探究]：如图3，若四边形 与四边形 都为矩形，且 ， ，猜想 与 之
间的关系，并说明理由；
(3)[应用]：在（2）情况下，连接 （点 在 上方），若 ，且 ， ，求线段
的长．
【答案】(1) ，
(2) ， ，理由见解析
(3)4
【分析】（1）先判断出 ，进而得出 ， ，再利用等角的余角相等
即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出 ，得出 ， ，再利用
等角的余角相等即可得出结论；
（3）先求出 ，进而得出 ，即可得出四边形 是平行四边形，进而得出 ，求出
的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论．
【解析】（1）解： ， ，理由如下：
四边形 和四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
；
如图2，延长 交 于 ，交 于 ，
28，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2） ， ，理由如下：
如图3，延长 交 于 ，交 于 ，
四边形 与四边形 都为矩形，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
29，
，
，
，
，
；
（3）如图4，设 与 的交点为 ，
，
，
在 中， ，
，
根据勾股定理得： ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
点 ， ， 在同一条直线上，如图5，
30，
在 中，根据勾股定理得，
，
由（2）知， ，
，
即 ，
．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角
形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和
矩形的性质，证明 和 是解本题的关键，属于中考常考题型．
31
