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6.3 等比数列
思维导图
知识点总结
1．等比数列的有关概念
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一
定义
个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列
通项 设{a }是首项为a，公比为q的等比数列，则通项公式a ＝a q n － 1 .推广：a
n 1 n 1 n
公式 ＝a qn－m(m，n∈N*)
m
等比 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a
中项 与b的等比中项．此时，G2＝ab
2.等比数列的前n项和公式
S ＝
n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】典型例题分析
考向一 等比数列基本量的运算
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{a }的前3项和为168，a－a＝42，则a＝( )
n 2 5 6
A．14 B．12 C．6 D．3
解析：选D 设等比数列{a }的首项为a，公比为q，由题意可得即
n 1
解得所以a＝aq5＝3，故选D.
6 1
2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与
莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量
是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮
雕像”的数量构成一个数列{a }，则log a 的值为( )
n 2 4
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选C 根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a ，前n项和为S .
1 n
于是S＝＝1 016⇒a＝8，则a＝8×23＝26⇒log a＝log 26＝6.故选C.
7 1 4 2 4 2
3．(2023·泸州模拟)记S 为递增的等比数列{a }的前n项和，若a＝1，S＝a，则S＝______.
n n 1 3 2 4
解析：设等比数列{a }的公比为q，由S ＝a 得，a ＋a ＋a ＝a ，即1＋q2＝q，解得q＝2或q＝，
n 3 2 1 2 3 2
∵{a }是递增数列，∴q＝2，∴S＝＝24－1＝15.
n 4
答案：15
方法总结
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a ，n，q，a ，S ，一
1 n n
般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a }的前n项和S ＝na ；当q≠1
n n 1
时，{a }的前n项和S ＝＝.
n n
考向二 等比数列的判定或证明
[典例] 已知数列{a }满足a＝，a＝1，a ＋4a ＝5a (n∈N*)．
n 1 2 n＋2 n n＋1
(1)证明：数列{a －a }是等比数列；
n＋1 n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求数列{a }的通项公式．
n
[解] (1)证明：∵a ＋4a ＝5a ，n∈N*，
n＋2 n n＋1
∴a －a ＝4(a －a )，n∈N*，
n＋2 n＋1 n＋1 n
∵a＝，a＝1，∴a－a＝，
1 2 2 1
∴数列{a －a }是以为首项，4为公比的等比数列．
n＋1 n
(2)由(1)知，a －a ＝×4n－1＝22n－3，
n＋1 n
当n≥2时，
a ＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋a
n n n－1 n－1 n－2 2 1 1
＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1
＝＋＝(22n－3＋1)
当n＝1时，a＝(2－1＋1)＝满足上式．
1
所以，a ＝(22n－3＋1)(n∈N*)．
n
[方法技巧] 等比数列的判定方法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，
定义法
n∈N*)，则{a }是等比数列
n
中项公式法 若数列{a }中，a ≠0且a＝a ·a (n∈N*)，则{a }是等比数列
n n n n＋2 n
若数列{a }的通项公式可写成a ＝c·qn－1(c，q均为非零常数，
n n
通项公式法
n∈N*)，则{a }是等比数列
n
前n项和公 若数列{a }的前n项和S ＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{a }
n n n
式法 是等比数列
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种
方法常用于选择题、填空题中的判定．
注意
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不
成等比数列即可
考向三 等比数列的性质
[典例] (1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{a }中，a，a 为方程x2－4x＋π＝0的两根，则aaa 的值为(
n 2 8 3 5 7
)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．π B．－π C．±π D．π3
(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{a }的各项均为正数，且aa ＝9，则log a ＋log a ＋…
n 1 10 9 1 9 2
＋log a ＝( )
9 10
A．6 B．5
C．4 D.
[解析] (1)在等比数列{a }中，因为a ，a 为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以aa ＝π＝a，所以a ＝
n 2 8 2 8 5
±，所以aaa＝a＝±π.故选C.
3 5 7
(2)log a＋log a＋…＋log a ＝log [(aa )·(aa)·(aa)·(aa)·(aa)]＝log 95＝5.
9 1 9 2 9 10 9 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 9
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前 n项和公式的
变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
基础题型训练
一、单选题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若 ，且{an}是等比数列，则m＝（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】利用 算出通项，再结合该数列为等比数列可求 .
【详解】因为 ，故 ，
因为 为等比数列，故 即 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时 即 ， 即 为等比数列.
故选：D.
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛
减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了 里路，第一
天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 天后到达目的地.”则此人第 天走了
（ ）
A． 里 B． 里 C． 里 D． 里
【答案】D
【分析】由题意可知，每天走的里数构成以 为公比的等比数列，由 求出首项，再由等比数列通
项公式可求得结果
【详解】解：记每天走的路程里数为 ，可知 是以公比 的等比数列，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：D
【点睛】此题考查函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前 项和公式的应用
3．设 是首项为正数的等比数列,公比为 则“ ”是“对任意的正整数 ”的
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得， ，故是
必要不充分条件，故选C.
【考点】充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的充分条件．
②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是
否定式的命题，一般运用等价法．
③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
4．已知数列 的前 项和 ，则确定 的最大正整数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用 得到 并求出 ，再利用等比数列的通项公式得到
，代入 ，即可得到满足不等式的最大正整数 的值.
【详解】 ， 当 时， ，
两式相减得 ，
整理得 ，
是公比为 的等比数列，
又 ，解得 ，
故 ，
则由 ，即 ，满足要求的 ，所以最大正整数 的值为 .
故选：C.
5．在各项都为正数的等比数列 中， ， ，则公比 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等比数列通项公式，结合 可直接构造方程求得结果.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 ， ，
由 ， 得： ，即 ，解得： .
故选：B.
6．已知数列 的前 项和为 ，其中 ， ， ， 成等差数列，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，利用数列通项与前n项和的关系求解.
【详解】由已知， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等比数列．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B
二、多选题
7．已知等比数列 是单调数列，设 是其前 项和，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用等比数列的通项公式和前 项和求解即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
则有 ，解得 或 ，
当 时数列 不是单调数列，所以 ，
所以 ，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，
，
所以 成立，故D正确.
故选:BD.
8．已知函数 ，则( )
A． ， ， 成等差数列 B． ， ， 成等差数列
C． ， ， 成等比数列 D． ， ， 成等比数列
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】ABD
【分析】根据函数解析式，求出选项对应的函数值，结合等差数列的等差中项和等比数列的等比中项的应
用依次判断选项即可.
【详解】A： ， ，
则 ，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以A正确；
B： ， ， ，
则 ，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以B正确；
C： ， ，
则 ， ， 成等差数列，又 ，所以C错误；
D： ， ， ，
则 ，由等比中项的应用知，
成等比数列，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
9．等比数列 中， ， ，则 __________
【答案】4
【分析】由等比数列的性质求解
【详解】由题意得 ，而 ，故 只能取 ．
故答案为：4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．等比数列 为非常数数列，其前 项和是 ，当 时，则公比 的值为_____．
【答案】
【分析】由 用 表示后可求得 ．
【详解】 ，则 ， 0，则 ，
又数列 不是常数列，即 ，∴ ．
故答案为： .
【点睛】本题考查等比数列的前 项和与通项公式，属于基础题．
11．在递增的等比数列 中， ， ，则 ________．
【答案】
【分析】设等比数列 的公比为 ， ，先通过条件得 ，再利用 得答案.
【详解】设等比数列 的公比为 ， ，
，
，
解得 或 （舍去），
.
故答案为： .
12．已知数列 的前n项和为 （其中t为常数），若 为等比数列，则t=___________
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由等比数列的前n项和 ，可得数列的前三项，再根据等比数列的定义可得 ，
由此可得结果．
【详解】由等比数列的前n项和 ，可得首项 ，
，
，
再由等比数列的定义可得 ，解得t=−1，
当 时， ，
当 时， ，也 满足，故
经检验符合题意.
故答案为：−1.
四、解答题
13．已知等比数列 的首项 ，公比 ，在 中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原
数列的数一起构成一个新的等比数列 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 前n项的乘积为 ，试问： 是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，
请说明理由.
【答案】(1)
(2)当 或 时， 有最大值 .
【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）求出数列 的前n项的乘积为 ，利用二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）由已知得，数列 的首项 ， ，
设数列 的公比为 ，即 ∴
即 ，
（2）
，
即当 或5时，有最大值 .
14．已知数列 满足 ， ．
(1)证明：存在等比数列 ，使 ；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将 两边取倒数，得到 ，即可得到 ，从而得
到 是以 为首项， 为公比的等比数列，即可求出 的通项公式，即可得证；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）可得 ，利用分组求和法求出 ，即可得到不等式，解得 的取
值范围，即可得解.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
则 ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以当 时 ，此时 ，即 为以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
因为 为正整数，所以 的最大值为 .
15．已知等差数列 的公差 ，且 ， 的前 项和为 .
（1）若 、 、 成等比数列，求 的值.
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）先求出等差数列的首项，可求出其通项公式和前 项和公式，再列方程可求出 的值；
（2）将 代入 ，可知数列 是等比数列，然后利用等比数列的前 项和公式可求出
.
【详解】（1）因为 ，解得 ，因此， ；
，
又 ， ，因为 、 、 成等比数列，所以 ，
即 ，整理得 ， ，解得 .
（2）∵
【点睛】此题考查的是等差数和等比数列的基本量的计算，属于基础题.
16．已知 是递增的等差数列， ， ， ， 分别为等比数列 的前三项.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)删去数列 中的第 项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 ，求数列
的前n项和 .
【答案】(1) ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【分析】（1）根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列的首项和公比，即得答
案;
（2）删去数列 中的第 项（其中 ）后，求和时讨论n的奇偶性，并且分组求和，即可求得
答案.
【详解】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为q，
由已知得 ，解得 ， ，所以 ；
所以 ， ，所以 .
（2）由题意可知新数列 为： ， ， ， ，…，
则当n为偶数时
，
则当n为奇数时,
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上： .
提升题型训练
一、单选题
1．已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 ，则 （ ）
A．40 B．120 C．121 D．363
【答案】C
【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】设公比为 ，由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
由 ，可得 ，即 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
2．记等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A．180 B．160 C．210 D．250
【答案】C
【解析】首先根据题意得到 ， ， 构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为 为等比数列，所以 ， ， 构成等比数列.
所以 ，解得 .
故选：C
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a+a+a＝2，S＝9S，则S＝（ ）
1 2 3 6 3 9
A．50 B．100 C．146 D．128
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得S﹣S＝16，进而由等比数列的性质可知， ，即S﹣S
6 3 9 6
＝128，变形可得答案．
【详解】解：根据题意：S＝a+a+a＝2，S＝9S＝18，
3 1 2 3 6 3
则S﹣S＝18﹣2＝16，
6 3
根据等比数列的性质可知，S，S﹣S，S﹣S 构成等比数列，
3 6 3 9 6
故 ，即S﹣S＝128，
9 6
故S＝S+128＝146，
9 6
故选：C．
4．已知数列 是等比数列， 为其前n项和，若 ， ，则 （ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
【答案】B
【分析】运用等比数列的性质， 成等比数列.
【详解】由等比数列的性质可知，数列 是等比数列，即数列4，8，
是等比数列，因此 ．
故选:B.
5．已知等比数列 中， ，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】根据给定条件可得新数列是首项为2，公比为9的等比数列，再用等比数列前n项和公式计算作
答.
【详解】等比数列 中， ，则 ， ，
因此，等比数列 的奇数项所组成的新数列是首项为2，公比为9的等比数列，
所以新数列的前n项和 有： .
故选：C
6．已知 为等比数列，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 的值为（ ）．
A．5 B．512
C．1024 D．64
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为q，根据已知求出 ，求出 即得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为q，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 与 的等差中项为 ，则有 ，
即 ，解得 ，
所以 ，故 ，
则 ， ， ， ，
所以 ．
故选：D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、多选题
7．记 为数列 的前n项和，若 ，且 ， ， 成等比数列，则（ ）
A． 为等差数列 B．
C． ， ， 成等比数列 D． 有最大值，无最小值
【答案】AC
【分析】先根据递推公式求出数列 的通项公式，再根据条件求出 ，然后逐项分析.
【详解】由题意 ，
得： ，
， 是首项为 ，公差为1的等差数列，
，
由于 成等比数列， ， ，解得 ；
对于A，正确；
对于B，错误；
对于C， ，正确；
对于D， ，是关于n的二次函数，所以在 或13处取得
最小值，无最大值，错误；
故选：AC.
8．以下关于数列的结论正确的是（ ）
A．若数列 的前n项和 ，则数列 为等差数列
B．若数列 的前n项和 ，则数列 为等比数列
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．若数列 满足 ，则数列 为等差数列
D．若数列 满足 ．则数列 为等比数列
【答案】AC
【分析】利用 、等差数列和等比数列的知识求得正确答案.
【详解】A． ， 时， ，
时， ， ，
当 时，上式也符合，所以 成立，A选项正确.
B． ， 时， ，
时， ， ，
所以 ，数列 不是等不数列，B选项错误.
C．由等差中项定义知C选项成立；
D．若 ，则不成立，D选项错误.
故选：AC
三、填空题
9．若等比数列 的前n项的和为 ，且满足 ， ，则 =__________.
【答案】32
【分析】根据题意可得： ，解方程组即可得解.
【详解】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据 ， ，
可得： ，
解得： ，
所以 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了等比数列的基本量的运算，主要方法是列方程组求解，属于基础题.
10．已知 为等比数列 的前 项和， ， ，则 的值为______．
【答案】40
【分析】可结合等比推论 也成等比数列直接求解
【详解】因为数列为等比数列，所以 也成等比数列，
即 也成等比数列，解得 ， ，
即
故答案为：40
11．正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 ________.
【答案】63
【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式以及前 项和公式，求出 与 ，即可求解.
【详解】根据题意，设等比数列 公比为 ，且 .
由 ，得 ，则 ，解得 ，即 ，
因为 ，所以 ，因此 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：63.
12．已知数列 满足 ， ，则满足不等式 的 的值为___________.
【答案】8
【分析】先由递推关系式证明数列 是等比数列，从而得数列 的通项公式，再证明数列 为
递减数列，从而由 得， ， ，进一步得 ，再根据 ，得 .
【详解】由 得， ，
因为 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
有 ， .
因为 ，
所以数列 为递减数列，
若 ，则有 ，
由 得， ，
又 ，所以 .
故答案为：8.
四、解答题
13．设 为等差数列 的前 项和，已知 ， ， 既成等差数列，又成等比数列．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过题目所给条件列出关于 的两个方程，解出 ，即可写出数列 的通项公式
（2）先写出数列 的通项公式，再根据通项公式的特征进行裂项相消求和
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ， 既成等差数列，又成等比数列，
所以 ， ， 均相等且不为0，
所以 即
解之得 ， ，满足条件．
故 ．
（2）由（1）得 ， ，
所以 ．
故
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．设等比数列 的前 项和为 ，公比 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和为 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用基本量法，即可求解.
（2）利用分组求和即可求解.
【详解】（1）解： ，解得 ，
；
（2）
.
15．在数列 和等比数列 中， ， ， .
（1）求数列 及 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ； ；（2） .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）由 ， 得 ，利用 可得答案；
（2）由 ，然后利用错位相减可得答案.
【详解】（1）依题意 ， ，
设数列 的公比为q，由 ，可知 ，
由 ，得 ，又 ，则 ，
故 ，又由 ，得 .
（2）依题意 ，
，①
则 ，②
①-②得 ，
即 ，故 .
【点睛】数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
16．已知等差数列 的前n项和为 ， ， ．数列 满足 ．
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ， ；（2） .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）本题先求 ，再求 ， ；
（2）先求出 ，再利用错位相减法求 即可解题.
【详解】解：（1）由题意知： ，解得
所以 ，
（2）由（1）知 ．所以
∴
所以 ．
【点睛】本题考查利用基本量法求等差数列的通项公式、利用错位相减法求前 项和，是中档题.
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