文档内容
专题 6.4 正弦定理、余弦定理的应用
练基础
1．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在 中，已知 ，则 的形
状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
2．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在 中，已知 ，则 的形
状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
3．（2021·辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”
是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两
端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点 仍在一个圆上，这个圆被称为康
威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹
射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在 处（点 在水平地面 的下方， 为 与水平地面
的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点 ， 两地相距100米， ，其中 到 的距离比 到 的距离远40米． 地测得该仪器在 处的俯角为 ， 地测得最
高点 的仰角为 ，则该仪器的垂直弹射高度 为（ ）
A．210米 B． 米 C． 米D．420米
5．（2021·山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高 选择A和另一座山的山顶 为测量
观测点，从A点测得 点的仰角 点的仰角 以及 从 点测得
，若山高 米，则山高 等于（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路
北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南 方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南 方向上，俯角为 ，则该车的行驶速度为（ ）
A．15米/秒 B．15 米/秒
C．20米/秒 D．20 米/秒
7．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（文））说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、
枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延
安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔
山的坡度比为 （坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡 处测得 ，从
处沿山坡往上前进 到达 处，在山坡 处测得 ，则宝塔 的高为（ ）
A． B． C． D．
(cid:3) (cid:3)
1
BCCA
8.（2021·浙江高一期末）在ABC中，AB 2，若 2 ，则A的最大值是____________．
9．（湖北高考真题））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的
高度CD= ________ m.
10．（宁夏高考真题）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，
N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包
括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步
骤.
练提升
TIDHNE
1．（2021·四川自贡市·高三三模（文））如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向
上走b米到B处，在B处测得山顶P的仰角为γ（A、B、P、Q共面）则山高P等于（ ）米．A．
B．
C．
D．
2. （2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在如图所示四边形 中， ，
， ， ， ，则四边形 的面积为________.
3．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求
一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、
中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、
他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为
从隅，开平方得积可用公式 （其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）
表示．在 中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，若 ，且 则
面积的最大值为______．
4．（2021·河南高二月考（文））为测量山高 .选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得
N点的仰角 ，C点的仰角 以及 ，从C点测得 .已知
山高 米.则所求山高 为___________米.
5．（2021·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）在 中，已知 且
.
（1）试确定 的形状；（2）求 的取值范围.
6．（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）如图四边形 中， ， ，
， 、 ， .
（1）求 ；
（2）求 面积的最大值.
从① 且 为锐角；② ；③ 这三个条件中
任选一个补充在上面的问题中并作答
7．（2021·全国高一专题练习）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心
（大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，
再分别安装一套监测设备，且满足 ， ，设 ．（1）当 ，求四边形 的面积；
（2）当 为何值时，线段 最长．
8．（2021·江苏高一月考）缉私船在A处测出某走私船在方位角为 (航向)，距离为10海里的C处，并
测得走私船正沿方位角 的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私
船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方
向线之间的水平夹角)
（1）若 ，求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间；
（2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由.
9．（2021·广东汕头市·高三二模）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，
由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到
两份外卖单，他须分别到B地､D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A，B，C，D
各地的示意图如图所示， ， ， ， ， ，
假设小李到达B､D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均
速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如： )，并计算各种送
餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据： ， )
10．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ，
， ， 百米， 百米．该区域内原有道路 ，现新修一条直道 （宽度
忽略不计），点 在道路 上（异于 ， 两点）， ， ．
（1）用 表示直道 的长度；
（2）计划在 区域内种植观赏植物，在 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每
平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路 的成本为每百米1万元，求以
上三项费用总和的最小值．
练真题
TIDHNE
1．（2021·全国高考真题（理））已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
2.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86
（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有
A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C
点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平
面 的高度差 约为（ ）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
3.（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海
岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，
称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”
则海岛的高 （ ）A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
4.（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角
形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方
形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则 ___________.
5．（2021·北京高考真题）已知在 中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① ；②周长为 ；③面积为 ；
6.（上海高考真题）如图， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、
乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线
是 ，速度为5千米/小时，乙的路线是 ，速度为8千米/小时.乙到达 地后原地等待.设 时乙到达 地.
（1）求 与 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 时，求 的表达式，并判断 在
上得最大值是否超过3？说明理由.
