文档内容
2022年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题中均给出了四个答案，其中有
且只有正确答案，请将正确答案的字母代号涂在答题卡上.）
1．（3分）如果|x|＝2，那么x＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或
2．（3分）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学
记数法表示为（ ）
A．10﹣10 B．10﹣9 C．10﹣8 D．10﹣7
3．（3分）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点
C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为（ ）
A．20 B．60 C．30 D．30
4．（3分）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足（ ）
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
5．（3分）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（
）
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
6．（3分）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的
下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度
为（ ）A．120m B．60 m C．60 m D．120 m
7．（3分）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形
ACBD的面积为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．72
8．（3分）抛物线y＝x2+3上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），若y ＜y ，则下列结论正确的是（
1 1 2 2 1 2
）
A．0≤x ＜x B．x ＜x ≤0
1 2 2 1
C．x ＜x ≤0或0≤x ＜x D．以上都不对
2 1 1 2
9．（3分）如图，点A，C为函数y＝ （x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x
轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．
当△AEC的面积为 时，k的值为（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x ，
0
y ），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c
0
＞4b；④若x ＞﹣4，则y ＞c．其中正确结论的个数为（ ）
0 0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将结果填写在答题卡相应位置.）
11．（3分）计算： +cos60°﹣（﹣2022）0＝ ．
12．（3分）八（1）班一组女生的体重（单位：kg）分别是：35，36，38，40，42，42，45．则这组数据
的众数为 ．
13．（3分）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：
GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 ．
14．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正
南方向以50 海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点
B处，则t＝ 小时．15．（3分）如图，过原点的两条直线分别为l ：y＝2x，l ：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与
1 2
l 交于点A ，过点A 作y轴的垂线与l 交于点A ，过点A 作x轴的垂线与l 交于点A ，过
1 1 1 2 2 2 1 3
点A 作y轴的垂线与l 交于点A ，过点A 作x轴的垂线与l 交于点A ，……，依次进行下
3 2 4 4 1 5
去，则点A 的坐标为 ．
20
16．（3分）如图，函数y＝ 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且
与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）（x ＜x ＜
1 1 2 2 3 3 1 2
x ）．设t＝ ，则t的取值范围是 ．
3三、解答题（本大题共8小题，共72分.请在答题卡上对应区域作答.）
17．（8分）已知x+ ＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣ ）2；
（2）x4+ ．
18．（8分）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴 ；
（2）在扇形AOB的内部， O 与OA，OB都相切，且与 只有一个交点C，此时我们称
1
O 为扇形AOB的内切圆⊙，试求 O 的面积S ．
1 1 1
⊙ ⊙
19．（8分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE
的位置，AE和CD交于点F．
（1）求证：△CEF≌△ADF；
（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．20．（8分）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学
生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人 2 1 a 3 2 1 3 2 1
数
数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．
（1）试确定a的值及测评成绩的平均数 ，并补全条形图；
（2）记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；
97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值；
（3）从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．
21．（8分）如图，AB为 O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点
D在 O上且满足A⊙C＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
（1）⊙求证：BE是 O的切线；
（2）若BE＝6，试⊙求cos∠CDA的值．22．（10分）已知关于x的不等式组 （a＞﹣1）．
（1）当a＝ 时，解此不等式组；
（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
23．（10分）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，
其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣ x+9．同时销售过程中的其它开支为50
万元．
（1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为
多少时净利润最大，最大净利润是多少？
（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽
可能大，销售价格x应定为多少元？
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c向上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为
C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），
过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M ，N ．
1 1
①求证：△PMM ∽△NPN ；
1 1
②设直线MN的方程为y＝kx+m，求证：k+m为常数．2022年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题中均给出了四个答案，其中有
且只有正确答案，请将正确答案的字母代号涂在答题卡上.）
1．（3分）如果|x|＝2，那么x＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或
【分析】利用绝对值的意义，直接可得结论．
【解答】解：∵|±2|＝2，
∴x＝±2．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解决本题的关键．
2．（3分）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学
记数法表示为（ ）
A．10﹣10 B．10﹣9 C．10﹣8 D．10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000001＝1×10﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点
C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为（ ）
A．20 B．60 C．30 D．30【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∴BC＝AC＝30，
∴AB＝ ，
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长是解题的关
键．
4．（3分）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足（ ）
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y＝ax2﹣x+1的图象与x轴恰有一个
交点，可得Δ＝0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a＝0，从而求解．
【解答】解：①函数为二次函数，y＝ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ＝1﹣4a＝0，
∴a＝ ，
②函数为一次函数，
∴a＝0，
∴a的值为 或0；
故选：D．
【点评】此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关
键．
5．（3分）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（
）
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），
∴a3﹣b3
＝a3+（﹣b3）
＝a3+（﹣b）3
＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]
＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，把所给公式中的b换成﹣b是解题的关键．
6．（3分）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的
下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度
为（ ）
A．120m B．60 m C．60 m D．120 m
【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性
质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．
【解答】解：如图，
∵底部是边长为120m的正方形，
∴BC＝ ×120＝60m，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝120m，
∴AC＝ ＝ m．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，正方形的性质，理解题意
是解答此题的关键．
7．（3分）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形
ACBD的面积为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．72
【分析】根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定
理求出CD，即可求出四边形的面积．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC＝ ，
∴CD＝2CE＝6 ，∴四边形ACBD的面积＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平
分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
8．（3分）抛物线y＝x2+3上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），若y ＜y ，则下列结论正确的是（
1 1 2 2 1 2
）
A．0≤x ＜x B．x ＜x ≤0
1 2 2 1
C．x ＜x ≤0或0≤x ＜x D．以上都不对
2 1 1 2
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：抛物线y＝x2+3开口向上，对称轴为y轴，
∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），且y ＜y ，
1 1 2 2 1 2
∴|x |＜|x |，
1 2
∴0≤x ＜x 或x ＜x ≤0或0＜﹣x ＜x 或0＜x ＜﹣x ，
1 2 2 1 1 2 1 2
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性
质是解题的关键．
9．（3分）如图，点A，C为函数y＝ （x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x
轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．
当△AEC的面积为 时，k的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD
＝1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．【解答】解：∵点E为OC的中点，
∴△AEO的面积＝△AEC的面积＝ ，
∵点A，C为函数y＝ （x＜0）图象上的两点，
∴S△ABO ＝S△CDO ，
∴S四边形CDBE ＝S△AEO ＝ ，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴ ＝（ ）2，
∴S△OCD ＝1，
则 xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数
系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x ，
0
y ），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c
0
＞4b；④若x ＞﹣4，则y ＞c．其中正确结论的个数为（ ）
0 0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞
0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对
称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c
＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若﹣4＜x ＜0，则y ＞c，故④错误；
0 0
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式
的关系，掌握二次函数的性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将结果填写在答题卡相应位置.）
11．（3分）计算： +cos60°﹣（﹣2022）0＝ ﹣ 1 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解： +cos60°﹣（﹣2022）0
＝﹣ + ﹣1
＝0﹣1
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了立方根，特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，准确熟练地化
简各式是解题的关键．
12．（3分）八（1）班一组女生的体重（单位：kg）分别是：35，36，38，40，42，42，45．则这组数据
的众数为 4 2 ．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义就可以求解．
【解答】解：在这一组数据中42出现了2次，次数最多，
故众数是42．
故答案为：42．
【点评】此题考查众数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数有时不止
一个．
13．（3分）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：
GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 1 8 ．【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．
【解答】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，
∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，
∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三
角形的面积之比等于底之比是解题的关键．
14．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正
南方向以50 海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点
B处，则t＝ （ 1+ ） 小时．
【分析】根据题意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利
用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求
出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间＝路程÷速度，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100× ＝50 （海里），
PC＝AP•sin45°＝100× ＝50 （海里），
在Rt△BCP中，BC＝ ＝ ＝50 （海里），
∴AB＝AC+BC＝（50 +50 ）海里，
∴t＝ ＝（1+ ）小时，
故答案为：（1+ ）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．（3分）如图，过原点的两条直线分别为l ：y＝2x，l ：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与
1 2
l 交于点A ，过点A 作y轴的垂线与l 交于点A ，过点A 作x轴的垂线与l 交于点A ，过
1 1 1 2 2 2 1 3
点A 作y轴的垂线与l 交于点A ，过点A 作x轴的垂线与l 交于点A ，……，依次进行下
3 2 4 4 1 5
去，则点A 的坐标为 （ 102 4 ，﹣ 102 4 ） ．
20
【分析】写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 等的坐
1 2 3 4 5 6 7 8标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A （22n，22n+1），A （﹣22n+1，22n+1），A （﹣
4n+1 4n+2 4n+3
22n+1，﹣22n+2），A （22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合20＝5×4即可找出点
4n+4
A 的坐标．
20
【解答】解：当x＝1时，y＝2，
∴点A 的坐标为（1，2）；
1
当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，
∴点A 的坐标为（﹣2，2）；
2
同理可得：A（﹣2，﹣4），A（4，﹣4），A（4，8），A（﹣8，8），A（﹣8，﹣16），A（16，﹣
3 4 5 6 7 8
16），A （16，32），…，
9
∴A （22n，22n+1），A （﹣22n+1，22n+1），
4n+1 4n+2
A （﹣22n+1，﹣22n+2），A （22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）．
4n+3 4n+4
∵20＝5×4，
∴错误，应改为：∴点A20的坐标为（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210），
即（1024，﹣1024）．
故答案为：（1024，﹣1024）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型
中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A （22n，22n+1），A （﹣22n+1，22n+1），A
4n+1 4n+2 4n+3
（﹣22n+1，﹣22n+2），A （22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）”是解题的关键．
4n+4
16．（3分）如图，函数y＝ 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且
与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）（x ＜x ＜
1 1 2 2 3 3 1 2
x ）．设t＝ ，则t的取值范围是 ＜ t ＜ 1 ．
3【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x +x ＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三
1 2
个不同的点，可以求出x 的取值范围，进而求出t的范围．
3
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x +x ＝2，
1 2
由一次函数y＝﹣ x+ （x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝ ，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）（x ＜x ＜
1 1 2 2 3 3 1 2
x ），
3
∴y ＝y ＝y ＝m，2＜m＜3，
1 2 3
∴2＜x ＜ ，
3
∴t＝ ＝ ，
∴ ＜t＜1．
故答案为： ＜t＜1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用
图象的特点表示出各个变量的取值范围．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.请在答题卡上对应区域作答.）
17．（8分）已知x+ ＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣ ）2；（2）x4+ ．
【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，用上述关系式解答
即可；
（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵ ＝ ，
∴ ＝
＝
＝ ﹣4x•
＝32﹣4
＝5；
（2）∵ ＝ ，
∴
＝ +2
＝5+2
＝7，
∵ ＝ ，
∴
＝ ﹣2
＝49﹣2
＝47．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征
将所求的式子进行适当变形是解题的关键．
18．（8分）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴 ；（2）在扇形AOB的内部， O 与OA，OB都相切，且与 只有一个交点C，此时我们称
1
O 为扇形AOB的内切圆⊙，试求 O 的面积S ．
1 1 1
⊙ ⊙
【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面
积；
（2）设 O 与OA相切于点E，连接O O，O E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆
1 1 1
的面积⊙进行计算．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S＝ ＝ ，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB ＝ ，
∴阴影部分的面积S阴 ＝ ﹣ ．
（2）设 O 与OA相切于点E，连接O O，O E，
1 1 1
∵相切两⊙圆的连心线必过切点，
∴O、O 、C三点共线，
1
∴∠EOO ＝ ∠AOB＝30°，∠OEO ＝90°，
1 1在Rt△OO E中，
1
∵∠EOO ＝30°，
1
∴OO ＝2O E，
1 1
∴O E＝1，
1
∴ O 的半径O E＝1．
1 1
∴⊙S
1
＝ r2＝ ．
【点评】π本题π考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得
圆的半径．
19．（8分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE
的位置，AE和CD交于点F．
（1）求证：△CEF≌△ADF；
（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝
CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等
即可；
（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在
Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，
根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，
在△CEF与△ADF中，
，∴△CEF≌△ADF（AAS）；
（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝x，
∴∠DCA＝∠BAC，
根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AF＝CF＝8﹣a，
在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴x2+a2＝（8﹣a）2，
∴a＝ ，
∴tan∠DAF＝ ＝ ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变
换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AF＝CF是解题的关键．
20．（8分）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学
生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人 2 1 a 3 2 1 3 2 1
数
数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．
（1）试确定a的值及测评成绩的平均数 ，并补全条形图；
（2）记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；
97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值；
（3）从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．【分析】（1）根据统计表中给出的数据和平均数的定义，可得a的值以及平均数 的值并
补全条形图；
（2）根据数据除以总数等于百分比求解；
（3）根据简单事件的概率公式求解．
【解答】解：（1）由题意可知，a＝20﹣（2+1+3+2+1+3+2+1）＝5，
∴a＝5，
＝ （88×2+89+90×5+91×3+95×2+96+97×3+98×2+99）＝93，
补全的条形统计图如图所示：
（2）
m＝ ×100＝15；
n＝ ×100＝30；
（3）列表格如下：所有等可能的结果有30种，其中恰好1人得97分、1人得98分的有12种，
∴P（恰好1人得97分、1人得98分）＝ ＝ ，
故概率为： ＝ ．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图、平均数，概率，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
21．（8分）如图，AB为 O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点
D在 O上且满足A⊙C＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
（1）⊙求证：BE是 O的切线；
（2）若BE＝6，试⊙求cos∠CDA的值．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝
90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形
的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；
（2）设 O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而
求出B⊙C＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数
的定义进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB为 O的直径，
∴∠ADB＝90°， ⊙
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是 O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解⊙：设 O的半径为r，
∵OC＝3， ⊙
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r ＝5，r ＝﹣3（舍去），
1 2
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt△EBC中，EC＝ ＝ ＝2 ，
∴cos∠ECB＝ ＝ ＝ ，
∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝ ，∴cos∠CDA的值为 ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及
锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（10分）已知关于x的不等式组 （a＞﹣1）．
（1）当a＝ 时，解此不等式组；
（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
【分析】（1）把a的值代入再求解；
（2）先解不等式组，再根据题意列不等式求解．
【解答】解：（1）当a＝ 时，不等式组化为： ，
解得：﹣2＜x＜4；
（2）解不等式组得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3，
解法一：令y ＝﹣2a﹣1，y ＝2a+3，（a＞﹣1）
1 2
如图所示：
当a＝0时．x只有一个奇数解1，不合题意；
当a＝1，x有奇数解1，﹣1，3，符合题意；
∵不等式组的解集中恰含三个奇数，∴0＜a≤1．
解法二：∵ ＝1，且不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴不等式组的解集的三个奇数必为：﹣1，1，3，
∴﹣3≤﹣2a﹣1＜﹣1，且3＜2a+3≤5，
解得：0＜a≤1．
【点评】本题考查了不等式的解法，正确运算是解题的关键．
23．（10分）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，
其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣ x+9．同时销售过程中的其它开支为50
万元．
（1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为
多少时净利润最大，最大净利润是多少？
（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽
可能大，销售价格x应定为多少元？
【分析】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣50，可得z与x的函数解析式，再求出x＝﹣
＝60时，z最大，代入即可；
（2）当z＝17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出x的范围，结
合y与x的函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：（1）z＝y（x﹣30）﹣50
＝（﹣ ）（x﹣30）﹣50
＝﹣ +12x﹣320，
当x＝﹣ ＝60时，z最大，最大利润为﹣ ＝
40；
（2）当z＝17.5时，17.5＝﹣ +12x﹣320，
解得x ＝45，x ＝75，
1 2∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，
∴45≤x≤75，
∵y＝﹣ x+9．y随x的增大而减小，
∴x＝45时，销售量最大．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，
正确列出z关于x的函数的解析式是解题的关键．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c向上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为
C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），
过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M ，N ．
1 1
①求证：△PMM ∽△NPN ；
1 1
②设直线MN的方程为y＝kx+m，求证：k+m为常数．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①利用一线三垂直即可证明；
②先求平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2，设N（x ，kx +m），M（x ，kx +m），联立方程
1 1 2 2
组y＝ ，整理得x2﹣（2+k）x+1﹣m＝0，由根与系数的关系可得x +x ＝2+k，
1 2x •x ＝1﹣m，再由△PMM ∽△NPN ，可得 ＝ ，整理后可求k+m＝1或
1 2 1 1
k+m＝0（舍）．
【解答】（1）解：将A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）代入y＝ax2+bx+c，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴E（1，﹣9）；
（2）①证明：∵PN⊥PM，
∴∠MPN＝90°，
∴∠NPN +∠MPM ＝90°，
1 1
∵NN ⊥x轴，MM ⊥x轴，
1 1
∴∠NN P＝∠MM P＝90°，
1 1
∴∠N PN+∠PNN ＝90°，
1 1
∴∠MPM ＝∠PNN ，
1 1
∴△PMM ∽△NPN ；
1 1
②证明：由题意可知平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2，
设N（x ，kx +m），M（x ，kx +m），
1 1 2 2
联立方程组 ，
整理得x2﹣（2+k）x+1﹣m＝0，
∴x +x ＝2+k，x •x ＝1﹣m，
1 2 1 2
∵△PMM ∽△NPN ，
1 1
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴k+m＝（k+m）2，∴k+m＝1或k+m＝0，
∵M、N与P不重合，
∴k+m＝1，
∴k+m为常数．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判
定及性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
