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2022年湖北省襄阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答.
1．（3分）若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（ ）
A．﹣2℃ B．+2℃ C．﹣3℃ D．+3℃
2．（3分）襄阳牛杂面因襄阳籍航天员聂海胜的一句“最想吃的还是我们襄阳的牛杂面”火
爆出圈，引发了全国人民的聚焦和关注．襄阳某品牌牛杂面的包装盒及对应的立体图形如
图所示，则该立体图形的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2021年，襄阳市经济持续稳定恢复，综合实力显著增强，人均地区生产总值再上新
台阶，突破100000元大关．将100000用科学记数法表示为（ ）
A．1×104 B．1×105 C．10×104 D．0.1×106
4．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按
如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ）A．30° B．40° C．60° D．70°
5．（3分）襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃圾分类回收．下列
图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形
又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
D．若抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖50次必中奖1次
7．（3分）如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
▱
A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ ABCD是菱形
8．（3分）《九章算术》中▱有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢
马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规
定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出
正确的方程为（ ）A． ＝2× B． ＝2×
C． ＝2× D． ＝2×
9．（3分）若点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ）都在反比例函数y＝ 的图象上，则y ，y 的大小关系
1 2 1 2
是（ ）
A．y ＜y B．y ＝y C．y ＞y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上。
11．（3分）化简分式： + ＝ ．
12．（3分）不等式组 的解集是 ．
13．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大
小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是
．14．（3分）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观
止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平
距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝ x2+
x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
15．（3分）已知 O的直径AB长为2，弦AC长为 ，那么弦AC所对的圆周角的度数等于
． ⊙
16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：
FD＝3：1，AB+BE＝3 ，则△ABC的周长为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且
写在答题卡上每题对应的答题区域内。
17．（6分）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝ ﹣ ，b＝
+ ．
18．（6分）在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生
的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业
时长数据（保留整数），整理分析过程如下：
【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数
据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80．【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图
所示：
组别 50.5≤x＜ 60.5≤x＜ 70.5≤x＜ 80.5≤x＜ 90.5≤x＜
60.5 70.5 80.5 90.5 100.5
A学校 5 15 x 8 4
B学校 7 10 12 17 4
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征数 平均数 众数 中位数 方差
A学校 74 75 y 127.36
B学校 74 85 73 144.12
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查是 调查（选填“抽样”或“全面”）；
（2）统计表中，x＝ ，y＝ ；
（3）补全频数分布直方图；
（4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是 学校（选填“A”或“B”）；
（5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名
学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有 人．
19．（6分）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺
牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴
建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部
点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，
tan61°≈1.80）
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：AD＝AE．
21．（7分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，
概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝ ﹣|x|的图象，并探究该函数性
质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 ……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；（2）探究函数性质
请写出函数y＝ ﹣|x|的一条性质： ；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程 ﹣|x|＝5的解 ；
②写出不等式 ﹣|x|≤1的解集 ．
22．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为 的中点，连接AC，BC，
AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若 ＝ ，⊙CG＝2 ，求阴影部分的面积．
23．（10分）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产
品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单
位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价
分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不
低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售
额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为
该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的
进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不
低于15000元，求a的最大值．
24．（10分）矩形ABCD中， ＝ （k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的
垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
【特例证明】
（1）如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝ ∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
【类比探究】
（2）如图（2），当k≠2时，求 的值（用含k的式子表示）；【拓展运用】
（3）如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°， ，求BC的
长．
25．（13分）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D
的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0， m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．2022年湖北省襄阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答.
1．（3分）若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（ ）
A．﹣2℃ B．+2℃ C．﹣3℃ D．+3℃
【分析】根据上升与下降表示的是一对意义相反的量进行表示即可．
【解答】解：∵气温上升2℃记作+2℃，
∴气温下降3℃记作﹣3℃．
故选：C．
【点评】此题考查了利用正负数表示一对意义相反的量的能力，关键是能明确意义相反的
量及正负数的定义．
2．（3分）襄阳牛杂面因襄阳籍航天员聂海胜的一句“最想吃的还是我们襄阳的牛杂面”火
爆出圈，引发了全国人民的聚焦和关注．襄阳某品牌牛杂面的包装盒及对应的立体图形如
图所示，则该立体图形的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图的意义，从正面看该立体图形所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从正面看，是一个矩形，
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
3．（3分）2021年，襄阳市经济持续稳定恢复，综合实力显著增强，人均地区生产总值再上新
台阶，突破100000元大关．将100000用科学记数法表示为（ ）
A．1×104 B．1×105 C．10×104 D．0.1×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将100000用科学记数法表示为1×105．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法
的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以
及n的值．
4．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按
如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．
【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，
∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，
∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
5．（3分）襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃圾分类回收．下列
图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形
又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着
一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕
着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对
称图形是解题的关键．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
D．若抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖50次必中奖1次
【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．【解答】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意；
C、襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意；
D、若抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关
键．
7．（3分）如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
▱
A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ ABCD是菱形
【分析】由矩形的判▱定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、▱∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、▱∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故▱选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
8．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢
马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规
定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出
正确的方程为（ ）
A． ＝2× B． ＝2×
C． ＝2× D． ＝2×
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为
（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢
马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴ ＝2× ．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
9．（3分）若点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ）都在反比例函数y＝ 的图象上，则y ，y 的大小关系
1 2 1 2
是（ ）
A．y ＜y B．y ＝y C．y ＞y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．
【解答】解：∵点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ）都在反比例函数y＝ 的图象上，k＝2＞0，
1 2
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1，
∴y ＞y ，
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点
确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣ ＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝ 图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的
关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上。
11．（3分）化简分式： + ＝ m ．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝m，
故答案为：m．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基
础题型．
12．（3分）不等式组 的解集是 x ＞ 2 ．
【分析】分别解出每个不等式，再求公共解集即可．
【解答】解： ，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求不等式公共解集的方法．
13．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大
小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是
．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果
有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，
∴第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用
到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观
止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平
距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝ x2+
x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 8 m时，竖直高度达到最大值．
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
【解答】解：y＝ x2+ x+2＝﹣ （x﹣8）2+4，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．15．（3分）已知 O的直径AB长为2，弦AC长为 ，那么弦AC所对的圆周角的度数等于
45° 或 135° ⊙．
【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．
【解答】解：如图，
∵OA＝OC＝1，AC＝ ，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AD'C＝135°，
故答案为：45°或135°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理逆定理等知识，明确一条弦对着两种圆周
角是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：
FD＝3：1，AB+BE＝3 ，则△ABC的周长为 5 ．
【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点
T．证明AB＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可
得结论．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于
点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴ ＝ ＝ ＝3，
∴AB＝3AD，
设AD＝DC＝a，则AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴ ＝ ＝3，
设ET＝CT＝b，则BE＝3b，
∵AB+BE＝3 ，
∴3a+3b＝3 ，
∴a+b＝ ，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5 ，
故答案为：5 ．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是
学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且
写在答题卡上每题对应的答题区域内。
17．（6分）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝ ﹣ ，b＝
+ ．
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得
出答案．
【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2
＝6ab，∵a＝ ﹣ ，b＝ + ，
∴原式＝6ab
＝6×（ ﹣ ）（ + ）
＝6．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握
整式的混合运算法则是解题关键．
18．（6分）在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生
的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业
时长数据（保留整数），整理分析过程如下：
【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数
据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80．
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图
所示：
组别 50.5≤x＜ 60.5≤x＜ 70.5≤x＜ 80.5≤x＜ 90.5≤x＜
60.5 70.5 80.5 90.5 100.5
A学校 5 15 x 8 4
B学校 7 10 12 17 4
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征数 平均数 众数 中位数 方差
A学校 74 75 y 127.36
B学校 74 85 73 144.12
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查是 抽样 调查（选填“抽样”或“全面”）；
（2）统计表中，x＝ 1 8 ，y＝ 74. 5 ；
（3）补全频数分布直方图；
（4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是 A 学校（选填“A”或“B”）；
（5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名
学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有 92 0 人．【分析】（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
（2）用总数减去其它组的频数求x，利用求中位数的方法求y；
（3）根据A学校的频数分布表补全频数分布直方图；
（4）根据方差即可判断；
（5）分别求出在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生即可．
【解答】解：（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
故答案为：抽样．
（2）x＝50﹣5﹣15﹣8﹣4＝18，
中位数为第25个和第26个平均数 ＝74.5，
故答案为：18，74.5．
（3）补全频数分布直方图：（4）因为A学校的方差为127.36，B学校的方差为144.12，
127.36＜144.12，
∴课后书面作业时长波动较小的是A学校，
故答案为：A．
（5）500× +500× ＝920（人）．
故答案为：920．
【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息
时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19．（6分）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺
牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴
建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部
点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为
10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，
tan61°≈1.80）【分析】在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，则BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，
tan∠DAC＝tan61°＝ ≈1.80，解得CD≈18，由BC＝BD+CD可得出答案．
【解答】解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，
∴BD＝AD＝10m，
在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，
tan61°＝ ≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．
∴烈士塔的高度约为28m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是
解答本题的关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
【点评】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以
及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21．（7分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，
概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝ ﹣|x|的图象，并探究该函数性
质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ．
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 ……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
（2）探究函数性质
请写出函数y＝ ﹣|x|的一条性质： y ＝ ﹣ | x | 的图象关于 y 轴对称（答案不唯一）
；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程 ﹣|x|＝5的解 x ＝ 1 或 x ＝﹣ 1 ；
②写出不等式 ﹣|x|≤1的解集 x ≤﹣ 2 或 x ≥ 2 ．
【分析】（1）①把x＝2代入解析式即可得a的值；
②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【解答】解：（1）①列表：当x＝2时，a＝ ﹣|2|＝1，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：（2）观察函数图象可得：y＝ ﹣|x|的图象关于y轴对称，
故答案为：y＝ ﹣|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）①观察函数图象可得：当y＝5时，x＝1或x＝﹣1，
∴ ﹣|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，
故答案为：x＝1或x＝﹣1；
②观察函数图象可得，当x≤﹣2或x≥2时，y≤1，
∴ ﹣|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，
故答案为：x≤﹣2或x≥2．
【点评】本题考查一次函数图象及性质，解题的关键是画出函数图象．
22．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为 的中点，连接AC，BC，
AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若 ＝ ，⊙CG＝2 ，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，证明OD⊥DE即可；（2）根据 ＝ 相等，再由（1）中 ＝ 可得， ，从而得到∠CAD＝∠BAD
＝∠ABC＝30°，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出△CAG的
面积，在 Rt△ABD 中利用锐角三角函数求出 AD 的长，根据 DE∥BC 可得
△ACG∽△AED，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵点D为 的中点，
∴OD⊥BC
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是 O的切线．
（2）解：⊙连接BD，如图所示，
∵ ＝ ，
∴BD＝AC
∵点D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数＝ 的度数＝ 的度数＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°．
∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACG中，tan∠CAD＝ ，sin
∴CA＝ ，AG＝
∵CG＝2 ，
∴CA＝2 × ＝6，AG＝4 ．
∴BD＝CA＝6，
∴S△ACG＝ CG•AC＝6 ．
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝ ，
∴AD＝ ＝ ＝6 ．
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
∴ ，
即 ，
∴S△EAD ＝ ．
∴S阴影部分 ＝S△EAD ﹣S△ACG ＝ ．
【点评】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，
其中利用过圆心，平分弧然后根据垂径定理证明半径垂直于弦是解题的关键．
23．（10分）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产
品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单
位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价
分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售
额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为
该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的
进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不
低于15000元，求a的最大值．
【分析】（1）分当0≤x≤2000时，当x＞2000时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当1600≤x≤2000时，当2000＜x≤4000时，分别列出w与x的函数
关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值
范围．
【解答】解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
当x＞2000时，设y＝kx+b，
根据题意可得， ，
解得 ，
∴y＝13x+4000．
∴y＝ ．
（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，
∵1600≤x≤4000，
当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，
∵﹣1＜0，∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；
当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，
∵1＞0，
∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），
综上，w＝ ；
当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣
a）x+20000﹣6000a，
当x＝4000时，w取得最大值，
∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．
∴a的最大值为0.9．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
24．（10分）矩形ABCD中， ＝ （k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的
垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
【特例证明】
（1）如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝ ∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
【类比探究】
（2）如图（2），当k≠2时，求 的值（用含k的式子表示）；
【拓展运用】
（3）如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°， ，求BC的
长．
【分析】（1）证明△AHE≌△ECF（ASA）即可；
（2）在BA上截取BH＝BE，连接EH．证明△AHE∽△ECF，即可求解；
（3）以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，设AB＝3a，则BC＝2a，由
tan∠BAE＝ ，∠EAP＝45°，可得tan∠DAP＝ ，从而判断△APE是等腰直角三角形，过
点F作FQ⊥EG交于Q，又可得∠FEQ＝∠BAE，则 ＝ ，可求FQ＝ a，EQ＝ a，EF＝ a，能够证明△PAE∽△FPE，从而得到∠APE＝∠PFE＝90°，则PF＝EF＝
a＝ ，求出a＝ ，即可得BC＝2 ．
【解答】（1）证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝ ∠DCG＝45°，
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6+∠AEB＝90°，
∵∠5+∠AEB＝90°，
∴∠5＝∠6，
∵AB＝BC，BH＝BE，
∴AH＝EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠DCF＝ ∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，E是BC边的中点，
∴EC＝HB＝ BC，
∴AH＝AB﹣ BC＝（ ﹣ ）BC，
∴ ＝k﹣1；
（3）如图（2），引例：在正方形ABCD中，EG⊥AC，
设AB＝3，BE＝1，则EC＝2，
∵∠ACE＝45°，
∴EG＝GC＝ ，
∵AC＝3 ，
∴AG＝2 ，
∴tan∠EAG＝ ，tan∠BAE＝ ，
以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，
∵k＝3，
∴ ＝ ，
设AB＝3a，则BC＝2a，
由旋转可得∠P'AP＝90°，
连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，
∵AH＝AD＝2a，
∴BH＝a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝a，
∴tan∠BAE＝ ，
∵∠EAP＝45°，∴∠BAE+∠DAP＝45°，
∴tan∠DAP＝ ，
∴DP＝a，
∴PC＝2a，
∴AP＝ a，PE＝ a，AE＝ a，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠APE＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠PEF＝∠PEA＝45°，
过点F作FQ⊥EG交于Q，
∵CF平分∠PCG，
∴∠FCQ＝45°，
∵∠FEQ+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEQ＝∠BAE，
∴ ＝ ，
∴FQ＝ a，
∴EQ＝ a，
∴EF＝ a，
∴ ＝ ，
∴△PAE∽△FPE，
∴∠APE＝∠PFE＝90°，
∴PF＝EF＝ a，
∵PF＝ ，
∴ a＝ ，
∴a＝ ，
∴BC＝2 ．解法2：设BE＝EC＝a，则AE＝ a，
延长AP、EF交于Q，
∵∠PAE＝45°，AE⊥EF，
∴△AEQ是等腰直角三角形，
∴AE＝EQ，
作QM⊥BC交N，
∵∠AEB+∠QEM＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠QEM，
∵AE＝EQ，
∴△ABE≌△EMQ（AAS），
∴EM＝AB＝3a，MC＝EM﹣EC＝2a，
作QN⊥CD交BC延长线于M，
∴四边形NCMQ是矩形，
∴QN＝CM＝AD＝2a，
∵∠APD＝∠NPQ，∠D＝∠PNQ，
∴△ADP≌△QNP（AAS），
∴AP＝PQ，
∵EF＝ AE＝ EQ，
∴EF＝FQ，PF＝ AE，
∴ a＝ ，
∴a＝ ，
∴BC＝2 ．
解法3：过点P作PQ⊥AE交于点Q，过点Q作MN∥AD分别交AB、CD于点M、N，
设BE＝2x＝EC，则AB＝6x，
由△AMQ与△QNP全等，
设MQ＝n，
∵tan∠BAE＝ ，
∴AM＝3n＝QN，
∴n+3n＝4x，解得n＝x，
∴MQ＝x，AQ＝ x＝PQ，
∴QE＝AE﹣QA＝ x，
由（2）可知，AE：EF＝2，
∴EF＝ x，
可证得四边形QEFP是正方形，
∴PF＝ x，
∵PF＝ ，
解答x＝ ，
∴BC＝4x＝2 ．【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相
似三角形是判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关
键．
25．（13分）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D
的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0， m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入
上述坐标即可得出结论；
②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E
（t，2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结
论；
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0， m），点C在线段
MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐
标时，分别得出m的取值范围即可；
②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出
结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，﹣2m）；
∵y＝﹣（x﹣m）2+2，
∴抛物线的顶点为D（m，2），
令x＝0，则y＝﹣m2+2，
∴C（0，﹣m2+2）．
①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，
∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．
②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．
∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，
∴△PAB的面积为： ×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，
∵﹣1＜0，
∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．
此时P（1，1）．
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），
①∵y轴上有一点M（0， m），点C在线段MB上，
∴需要分两种情况：
当 m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得 ≤m≤1+ ，
当 m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣ ，
∴m的取值范围为： ≤m≤1+ 或﹣3≤m≤1﹣ ．
②当 ≤m≤1+ 时，
∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，BC的最大值为3；
当 m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣ ，
∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，
当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．∴当m＝﹣3时，BC的最大值为13．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数上点的坐标特点，三角形的面积，不等
式的应用，分类讨论思想等相关内容，第二问注意需要分类讨论．
