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2022年湖北省黄石市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分） 的绝对值是（ ）
A．1﹣ B． ﹣1 C．1+ D．±（ ﹣1）
2．（3分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． 温州博物馆 B． 西藏博物馆
C． 广东博物馆 D． 湖北博物馆
3．（3分）由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a9﹣a7＝a2 B．a6÷a3＝a2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣2a2b）2＝4a4b2
5．（3分）函数y＝ + 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣3且x≠1 B．x＞﹣3且x≠1 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3且x≠1
6．（3分）我市某校开展“共创文明班，一起向未来”的古诗文朗诵比赛活动，有10位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前5位进入决赛．如果小王同学知道了自己的成绩后，
要判断能否进入决赛，他需要知道这10位同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
7．（3分）如图，正方形OABC的边长为 ，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点
B的对应点B 的坐标为（ ）
1
A．（﹣ ，0） B．（ ，0） C．（0， ） D．（0，2）
8．（3分）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧分别相交于
M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2cm，△ABD的周长为
11cm，则△ABC的周长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
9．（3分）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以
至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开
始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割
得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的
比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l ＝6R，则 ≈ ＝
6
π
3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率 约为（ ）
πA．12sin15° B．12cos15° C．12sin30° D．12cos30°
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结
论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程
ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x ，x（x ＜x ），则x +3x ＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，第11-14每小题3分，第15-18每小题3分，共28分）
11．（3分）计算：（﹣2）2﹣（2022﹣ ）0＝ ．
12．（3分）分解因式：x3y﹣9xy＝ ．
13．（3分）据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万亿元，有力支
持国民经济持续稳定恢复．用科学记数法表示1.1万亿元，可以表示为 元．
14．（3分）如图，圆中扇子对应的圆心角 （ ＜180°）与剩余圆心角 的比值为黄金比时，扇
子会显得更加美观，若黄金比取0.6，α则α﹣ 的度数是 β．
β α15．（3分）已知关于x的方程 + ＝ 的解为负数，则a的取值范围是 ．
16．（3分）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，
当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆
顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m．
（参考数据： ≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）
17．（3分）如图，反比例函数y＝ 的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在
x轴上，△OCE的面积为6，则k＝ ．
18．（3分）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边
△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ ，FB+FD的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（7分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求
值．
20．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在
线段BC上，连CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．
21．（8分）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学
生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
等级 一般 较好 良好 优秀
阅读量/本 3 4 5 6
频数 12 a 14 4
频率 0.24 0.40 b c
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生；表中a＝ ，b＝ ，c＝
；
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加
读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．
22．（8分）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可
化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x
1，2
＝±2，x
3，4
＝±3．我们把以上这种解决问
题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0
的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：已知实数m，n满足： + ＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求 +n2的值．
23．（9分）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解
学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：
人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y＝
，数据如表．
时间x（分钟） 0 1 2 3 … 8 x＞8
累计人数y 0 150 280 390 … 640 640
（人）
（1）求a，b，c的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检
测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟
让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
24．（10分）如图CD是 O直径，A是 O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连
AB、AC、AD，且∠⊙BAC＝∠ADB．⊙
（1）求证：直线AB是 O的切线；
（2）若BC＝2OC，求t⊙an∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交 O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2
，求AE•AP的值． ⊙
25．（12分）如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内
抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求 的值；
②当CP与x轴不平行时，求 的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请
说明理由．2022年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分） 的绝对值是（ ）
A．1﹣ B． ﹣1 C．1+ D．±（ ﹣1）
【分析】直接利用绝对值的定义分别分析得出答案．
【解答】解：1﹣ 的绝对值是 ﹣1；
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握定义是解题关键．
2．（3分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． 温州博物馆 B． 西藏博物馆
C． 广东博物馆 D． 湖北博物馆
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（3分）由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，
明确从正面看得到的图形是主视图．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a9﹣a7＝a2 B．a6÷a3＝a2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣2a2b）2＝4a4b2
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则即可求出
答案．
【解答】解：A．a9与a7不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B．原式＝a3，故B不符合题意
C．原式＝a5，故C不符合题意
D．原式＝4a4b2，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘处法法则以及积的乘方运算法则，本题
属于基础题型．
5．（3分）函数y＝ + 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣3且x≠1 B．x＞﹣3且x≠1 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3且x≠1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：函数y＝ + 的自变量x的取值范围是：
x+3＞0，且x﹣1≠0，
解得：x＞﹣3且x≠1．故选：B．
【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式有意义的条件是解题
关键．
6．（3分）我市某校开展“共创文明班，一起向未来”的古诗文朗诵比赛活动，有10位同学参
加了初赛，按初赛成绩由高到低取前5位进入决赛．如果小王同学知道了自己的成绩后，
要判断能否进入决赛，他需要知道这10位同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的
中位数的大小即可．
【解答】解：由于总共有10个人，要判断是否进入前5名，只要把自己的成绩与中位数进行
大小比较．则应知道中位数的大小．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7．（3分）如图，正方形OABC的边长为 ，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点
B的对应点B 的坐标为（ ）
1
A．（﹣ ，0） B．（ ，0） C．（0， ） D．（0，2）
【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B 在y轴正半
1
轴上，且OB ＝OB＝2，即可得出结论．
1
【解答】解：如图，连接OB，
∵正方形OABC的边长为 ，
∴OC＝BC＝ ，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，
∴OB＝ ＝ ＝2，
∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B 的位置，
1
∴B 在y轴正半轴上，且OB ＝OB＝2，
1 1
∴点B 的坐标为（0，2），
1故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟
练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧分别相交于
M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2cm，△ABD的周长为
11cm，则△ABC的周长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝
DC，AE＝CE＝2cm，再利用等线段代换得到AB+BC＝11cm，然后计算△ABC的周长．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA＝DC，AE＝CE＝2cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+AD＝11cm，
∴AB+BD+DC＝11cm，即AB+BC＝11cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝11+2×2＝15（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了
线段垂直平分线的性质．
9．（3分）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以
至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割
得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的
比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l ＝6R，则 ≈ ＝
6
π
3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率 约为（ ）
π
A．12sin15° B．12cos15° C．12sin30° D．12cos30°
【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A A ＝2A M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等
6 7 6
于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．
【解答】解：在正十二边形中，∠A OM＝360°÷24＝15°，
6
∴A M＝sin15°×OA ＝R×sin15°，
6 6
∵OA ＝OA ，OM⊥A A ，
6 7 6 7
∴A A ＝2A M＝2R×sin15°，
6 7 6
∴ ≈ ＝12sin15°，
π
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正
十二边形的周长是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结
论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程
ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x ，x（x ＜x ），则x +3x ＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
1 2 1 2 1 2A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛
物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小
值可对②进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），利用对
称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），从而得到x ＝﹣
1
3，x ＝1，则可对③进行判断．
2
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；
∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x ，x （x ＜x ），
1 2 1 2
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），
即x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
∴x +3x ＝﹣3+3＝0，所以③正确．
1 2
故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和
大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项
系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称
轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（本大题共8小题，第11-14每小题3分，第15-18每小题3分，共28分）
11．（3分）计算：（﹣2）2﹣（2022﹣ ）0＝ 3 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则、有理数的加减运算法则分
别计算，进而得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）分解因式：x3y﹣9xy＝ x y （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【分析】先提取公因式xy，再对余下的多项式x2﹣9利用平方差公式继续分解．平方差公式：
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：x3y﹣9xy，
＝xy（x2﹣9），
＝xy（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（3分）据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万亿元，有力支
持国民经济持续稳定恢复．用科学记数法表示1.1万亿元，可以表示为 1.1×1 0 1 2 元．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：1.1万亿＝1100000000000＝1.1×1012．
故答案为：1.1×1012．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
14．（3分）如图，圆中扇子对应的圆心角 （ ＜180°）与剩余圆心角 的比值为黄金比时，扇
子会显得更加美观，若黄金比取0.6，α则α﹣ 的度数是 90 ° β．
β α【分析】根据已知，列出关于 ， 的方程组，可解得 ， 的度数，即可求出答案．
α β α β
【解答】解：根据题意得： ，
解得 ，
∴ ﹣ ＝225°﹣135°＝90°，
故β答案α为：90°．
【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组．
15．（3分）已知关于x的方程 + ＝ 的解为负数，则a的取值范围是 a ＜ 1 且
a ≠ 0 ．
【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．
【解答】解：去分母得：x+1+x＝x+a，
解得：x＝a﹣1，
∵分式方程的解为负数，
∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1，
∴a＜1且a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0，
故答案为：a＜1且a≠0．
【点评】本题主要考查的是解分式方程、解一元一次不等式，明确分式的分母不为0是解题
的关键．
16．（3分）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，
当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆
顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 12. 7 m．
（参考数据： ≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE＝
xm，在Rt△BDE中，tan60°＝ ，解得BE＝ x，则AE＝AB+BE＝（20+
x）m，在Rt△ADE中，tan30°＝ ＝ ，解得x＝ ≈17.3，根据CD＝
CE﹣DE可得出答案．
【解答】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．
则CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，
设DE＝xm，
在Rt△BDE中，tan60°＝ ，
解得BE＝ x，
则AE＝AB+BE＝（20+ x）m，
在Rt△ADE中，tan30°＝ ＝ ，
解得x＝ ≈17.3，
经检验，x＝ ≈17.3是原方程的解，且符合题意，
∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．
故答案为：12.7．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
17．（3分）如图，反比例函数y＝ 的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在
x轴上，△OCE的面积为6，则k＝ 8 ．
【分析】先设点A（a， ），C（c，0），进而得出点E的坐标，再由点E在反比例函数图象上，
得出c＝3a，最后由△OCE的面积为6，建立方程求出k的值．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
设点A（a， ），C（c，0），
∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，
∴E（ ， ），
∵点E在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ ＝k，
∴c＝3a，
∵△OCE的面积为6，
∴ OC•EH＝ c• ＝ ×3a• ＝6，
∴k＝8，
故答案为：8．【点评】此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，待定系数法，判断出c＝3a是解
本题的关键．
18．（3分）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边
△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ 30 ° ，FB+FD的最小值为 5 ．
【分析】首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对
称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最
小值＝线段BG的长．
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝30°，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF＝30°，
作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．
∵∠DCF＝∠FCG＝30°，
∴∠DCG＝60°，
∵CD＝CG＝5，
∴△CDG是等边三角形，
∴DB＝DC＝DG，
∴∠CGB＝90°，
∴BG＝ ＝ ＝5 ，
∴BF+DF的最小值为5 ，
故答案为：30°，5 ．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是
正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（7分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求
值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求
出答案．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
由分式有意义的条件可知：a不能取﹣1，﹣3，
故a＝2，
原式＝
＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算
法则，本题属于基础题型．20．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在
线段BC上，连CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．
【分析】（1）可利用SAS证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE
＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可
求解
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，
∵∠EAC＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角
和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
21．（8分）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学
生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
等级 一般 较好 良好 优秀阅读量/本 3 4 5 6
频数 12 a 14 4
频率 0.24 0.40 b c
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 5 0 名学生；表中a＝ 2 0 ，b＝ 0.2 8 ，c＝ 0.0 8
；
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加
读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．
【分析】（1）由一般的频数和频率，求本次调查的总人数，然后即可计算出a、b、c的值；
（2）由众数和平均数的定义即可得出答案；
（3）画树状图，共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，再由概率公式
即可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：12÷0.24＝50（名），
∴a＝50×0.40＝20，b＝14÷50＝0.28，c＝4÷50＝0.08，
故答案为：50，20，0.28，0.08；
（2）∵所抽查学生阅读量为4本的学生最多，有20名，
∴所抽查学生阅读量的众数为4，
平均数为： ×（3×12+4×20+5×14+6×4）＝4.2；
（3）画树状图如下：
共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，
∴所选2名同学中有男生的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、众数、平均数等知识．树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注
意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）阅读材料，解答问题：材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可
化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x
1，2
＝±2，x
3，4
＝±3．我们把以上这种解决问
题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0
的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 x ＝ ， x ＝﹣ ， x ＝ ， x ＝﹣ ；
1 2 3 4
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足： + ＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求 +n2的值．
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令 ＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣0，再模仿例题解决问题．
【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y ＝2，y ＝3，
1 2
∴x2＝2或3，
∴x ＝ ，x ＝﹣ ，x ＝ ，x ＝﹣ ；
1 2 3 4
故答案为：x ＝ ，x ＝﹣ ，x ＝ ，x ＝﹣ ；
1 2 3 4
（2）∵a≠b，
∴a2≠b2或a2＝b2，
①当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，∴ ，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝ ．
②当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2＝ ，此时a4+b4＝2a4＝2（a2）2＝ ，
综上所述，a4+b4＝ 或 ．
（3）令 ＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴ ≠﹣n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴ ，
故 +n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
【点评】本题考查根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法等知识，解题的关键是理
解题意，学会模仿例题解决问题．
23．（9分）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解
学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：
人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y＝
，数据如表．
时间x（分钟） 0 1 2 3 … 8 x＞8
累计人数y 0 150 280 390 … 640 640
（人）
（1）求a，b，c的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检
测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟
让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到答案；
（2）根据排队人数＝累计人数﹣已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二
次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，
检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成
核酸检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．
【解答】解：（1）由题意， ，
解得， ；
（2）设第x分钟时的排队人数为W，
根据题意得：W＝y﹣20x，
∴W＝ ，
当0≤x≤8时，
W＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，
∴当x＝7时，W最大 ＝490，
当x＞8时，W＝640﹣20x，
∵k＝﹣20＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴W＜480，
故排队人数最多时有490人；
（3）要全部学生都完成核酸检测，根据题意得：640﹣20x＝0，
解得：x＝32，
所以全部学生都完成核酸检测要32分钟；
开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：5×20（m+4）≥640，
解得：m≥2.4，
∵m为整数，
∴m＝3，
答：从一开始就应该至少增加3个检测点．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性
质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
24．（10分）如图CD是 O直径，A是 O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连
AB、AC、AD，且∠⊙BAC＝∠ADB．⊙
（1）求证：直线AB是 O的切线；
（2）若BC＝2OC，求t⊙an∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交 O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2
，求AE•AP的值． ⊙
【分析】（1）连接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，进而得
出∠BAO＝90°，最后根据切线的判定得出结论；
（2）先得出△BCA∽△BAD，进而得出 ，设半径OC＝OA＝r，根据勾股定理得出
AB＝ r，最后根据三角函数得出结果；
（3）由（2）的结论，得出 r＝ ，结合直角三角形的性质得出AC＝2，AD＝2 ，然后得
出△CAP∽EAD，最后根据AE•AP＝AC•AD得出结论．
【解答】（1 ）证明：连接OA，∵CD是 O的直径，
∴∠CAD⊙＝90°，
∴∠OAC+∠OAD＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BAC+∠OAC＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是 O的切线；
（2）解：∵∠⊙BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴ ，
设半径OC＝OA＝r，
∵BC＝2OC，
∴BC＝2r，OB＝3r，
在Rt△BAO中，
AB＝ ，
在Rt△CAD中，
tan∠ADC＝ ；
（3）解：在（2）的条件下，AB＝2 r＝2 ，
∴r＝ ，
∴CD＝2 ，
在Rt△CAD中，
，AC2+AD2＝CD2，
解得AC＝2，AD＝2 ，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝∠EAD，又∵∠APC＝∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴ ，
∴AE•AP＝AC•AD＝2×2 ＝4 ．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活
运用性质解决实际问题是解题的关键．
25．（12分）如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内
抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ， （ 3 ， 0 ） ， （ 0 ， 4 ） ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求 的值；
②当CP与x轴不平行时，求 的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣ x2+ x+4＝0，所以x＝﹣2或x＝3，由此可得
结论；
（2）①由题意可知，P（1，4），所以CP＝1，AB＝5，由平行线分线段成比例可知， ＝
＝ ．②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y＝﹣ x+4．设点P的横坐
标为m，则P（m，﹣ m2+ m+4），Q（ m2﹣ m，﹣ m2+ m+4）．所以PQ＝m﹣（ m2
﹣ m）＝﹣ m2+ m，因为PQ∥AB，所以 ＝ ＝ ＝﹣ （m﹣ ）2+
，由二次函数的性质可得结论；
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线
于点F，由∠BCO+2∠PCB＝90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证
△CBM为等腰三角形，所以M（8，0），所以直线CM的解析式为：y＝﹣ x+4，令﹣ x2+
x+4＝﹣ x+4，可得结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则﹣ x2+ x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴ ＝ ＝ ．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，∴直线BC的解析式为：y＝﹣ x+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣ m2+ m+4），Q（ m2﹣ m，﹣ m2+ m+4）．
∴PQ＝m﹣（ m2﹣ m）＝﹣ m2+ m，
∵PQ∥AB，
∴ ＝ ＝ ＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时， 的最大值为 ．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：y＝﹣ x+4，
令﹣ x2+ x+4＝﹣ x+4，
解得x＝ 或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m＝ ．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在
性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标．
