文档内容
【单元测试】2022-2023学年七年级数学下册分层训练AB卷（北师大版）
【期中测试】满分预测押题卷
（A 卷·知识通关练）
（考试范围：第一章~第三章；测试时间：90分钟；卷面满分：100分）
班级 姓名 学号 分数
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则化简求出答案即可．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正掌握运算法则是解题关键．
2．（2022春·陕西西安·七年级校考期中）如图，已知 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可判定 ，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
3．（2022春·江苏连云港·七年级统考期中）目前发现的新冠病毒其直径约为 毫米，则这个数字用
科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：
故选：B ．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方
形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据面积的不同表示方法得到等式即可．
【详解】解：第二个图形的面积是 ，
第一个图形阴影部分的面积是 ，
则 ．
故选：D．
【点睛】此题考查整式乘法的公式，解题关键是用不同代数式表示相同图形的面积列等式．
5．（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，点 在 的延长线上，下列条件不能判
定 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行可判定 ，故此选项不合题意；
B．根据同位角相等，两直线平行可判定 ，故此选项不合题意；
C．根据内错角相等，两直线平行可判定 ，无法判定 ，故此选项符合题意；
D．根据同旁内角互补，两直线平行可判定 ，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6．（2022春·四川达州·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边
的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的
函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题解析：动点P运动过程中：①当0≤s≤ 时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变；
②当 ＜s≤ 时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；
③当 ＜s≤ 时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变；
④当 ＜s≤ 时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；
⑤当 ＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y=2保持不变．
结合函数图象，只有D选项符合要求．
故选D．
考点：动点问题的函数图象．
7．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图所示，一只电子猫从 点出发，沿北偏东 方向走了
到达 点，再从 点向南偏西 方向走了 到达 点，那么 的度数为( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，判断出 ，再根据 ，求出 ．【详解】解：如图： ，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了方向角、平行线的性质、角的加减等知识点，熟悉方向角的定义及角的加减是解
答本题的关键．
8．（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）已知 ，点E在 连线的右侧， 与
的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
① ；
②若 ，则 ；
③如图（2）中，若 ， ，则 ；
④如图（2）中，若 ， ，则 ．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】分别过 、 作 ， ，再根据平行线的性质可以得到解答．
【详解】解：分别过 、 作 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，②正确，
与上同理， ，
∴ ，
∴ ，③正确，由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
9．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知 ， ，则 的值是
___________．
【答案】 ##
【分析】根据同底数幂的除法法则可得 ，再根据幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
10．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中） （新型冠状病毒）的大小约为125
纳米，即 米．用科学记数法表示为 _____m．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ．
故答案为： ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（2022春·江西上饶·七年级校考期中）如图， 的一边OA为平面镜， ，在OB上有
一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，此时 ，
则 的度数是______．
【答案】 ##76度
【分析】由DC∥OB可知，∠ADC=∠AOB=38°，又 ，则∠ODE=38°，进而求得
∠CDE=104°，再根据平行线的性质，求出∠DEB的度数．
【详解】解：∵DC∥OB，
∴∠ADC=∠AOB=38°，
又 ，
∴∠ODE=38°，
∴∠CDE=104°，
∵DC∥OB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∴∠DEB=76°．
故答案为：76°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，准确找到角的和差关系是解决问题的关键．12．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”
是借助图形来理解数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算
，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是________．
【答案】
【分析】根据大长方形的面积 个小长方形或正方形的面积公式进行解答．
【详解】解：根据题意，得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用数形结合与多边形的面积解答是解题的关键．
13．（2022春·四川成都·七年级校考期中）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地
到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在
整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A
时，甲还需________分钟到达终点B．【答案】78．
【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙
到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据
有理数的减法，可得答案．
【详解】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，
甲的速度是1÷6= 千米/分钟，
由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，
设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得
10x+16× =16，
解得x= 千米/分钟，
相遇后乙到达A站还需（16× ）÷ =2分钟，
相遇后甲到达B站还需（10× ）÷ =80分钟，
当乙到达终点A时，甲还需80-2=78分钟到达终点B，
故答案为：78
【点睛】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键．
14．（2022春·河北邯郸·七年级校考期中）如图， ， ，垂足为A， 交 于点 ，点 在
射线 上．（1）若 平分 ，则 ______．
（2）若 ，在直线 上取一点 ，连接 ，过点 作 ，交直线 于点 ，若
，则 ______．
【答案】 或
【分析】（1）利用角平分线的定义计算即可；
（2）根据题意画出图形，计算即可．
【详解】解：（1）如图 所示：
，
， ，
，
，
，
，．
（2）分两种情况，
如图 所示：
， ，
，
，
，
；
如图 所示：
， ，，
，
，
．
故答案为：（1） ；（2） 或 ．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，平行线的性质，解题的关键是掌握垂直的定义以及平行线的性质定
理．
三、解答题（本大题共9小题，共58分；第15-20每小题5分，第21-22每小题8分，第23
小题12分）
15．（2022春·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)4
(2)
(3)
(4)1
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（2）先算乘方，再算除法；（3）先展开，再去括号合并同类项；
（4）把减数变形成平方差形式，再计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查实数运算及整式运算，解题的关键是掌握实数运算、整式运算的相关法则．
16．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）如图，点B，C在线段 的异侧，点E，F分别是线段 ，
上的点，已知 ， ．(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出 ，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）根据对顶角相等结合已知得出 ，证得 ，即可得解；
（3）根据平行线的性质和已知得出 ，最后根据平行线的性质即可求得 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线
平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
17．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定
．如： ．
(1)求 的值；
(2)化简： ；
(3)若 ， （其中x为有理数），试比较大小m_______n（填“ ”、“ ”或“
”）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；（2）根据新运算按顺序展开计算即可；
（3）先根据新运算展开，再求出 、 ，然后作差与0比较大小即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）由题意 ，
所以 ．所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义的运算及有理数的混合运算与整式的混合运算，解题的关键是能根据新运算展
开并且熟练运用各个运算法则．
18．（2022春·福建莆田·七年级校考期中）在平行的两岸河堤即PQ MN，各安置了一探照灯A和B，且
∠BAN＝45°，如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便
立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足
．
(1)求a，b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束
互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点
D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．
【答案】(1)a＝3，b＝1
(2)当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行
(3)2∠BAC＝3∠BCD
【分析】（1）根据 ，可得a−3＝0，且b −1＝0，进而得出a、b的值；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯
A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝45°−（180°−3t）＝3t−135°，∠BCD＝90°−∠BCA＝90°
−（180°−2t）＝2t−90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．
【详解】（1）∵ ，
∴a＝3，b＝1；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（20+t）×1，
解得t＝10；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，
解得t＝85；
③当120＜t＜160时，
3t﹣360＝t+20，
解得t＝190＞160，（不合题意）
综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
而∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用
分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
19．（2022春·北京·七年级校考期中）已知：直线 ，点 ， 在直线 上，点 ， 在直线 上，连
接 ， ， 平分 ， 平分 ， 且 ， 所在的直线交于点 ．
(1)如图1，当点 在点 的左侧时，若 ， ，直接写出 的度数；
(2)如图2，当点 在点 的右侧时，设 ， ，求 的度数（用含有 ， 的式子表
示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点 作 ，当点 在点 的左侧时，根据 ， ，结合平行线
的判定与性质，由题中角平分线的定义得到 ， ，即可求
的度数；
（2）过点 作 ，当点 在点 的右侧时， ， ，参照（1）中解决问题的方法
即可求 的度数．
【详解】（1）解：过点 作 ，如图1所示：则有 ，
，
，
，
，即 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
；
（2）过点 作 ，如图2所示：
则 ，
，
，
，
，
，即 ，平分 ， 平分 ，
， ，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
20．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方
法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例：如图①可以得到 ．请解答下
列问题：
(1)写出图②中所表示的数学等式；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 ，求 的
值；
(3)小明同学又用 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张边长为 的长方形纸片拼出了一
个面积为 的长方形，求 的值．
【答案】(1) ．
(2) ．
(3) ．【分析】(1)从整体看正方形的边长为 ，因此可得到正方形的面积；再计算各部分面积的和；
(2)根据(1)的结论化简求值即可；
(3)根据面积的计算方法求出 的系数进而得出结果．
【详解】（1）解：∵正方形的边长为： ，
∴正方形的面积为： ，
∵正方形是由 个正方形和 个长方形组成，
∴正方形的面积可表示为： ，
∴ ，
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ ，
∴根据题意可知长方形的组成是： 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张边长为 的长方
形，
∴ ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，多项式乘以多项式与图形面积，掌握多项式的乘法法则是解题的关
键．
21．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1， ，点 分别为直线 上的一点，点 为平行线间一点且
，求 度数；
问题迁移：
(2)如图2，射线 与射线 交于点 ，直线 ，直线 分别交 于点 ，直线 分别交
于点 ，点 在射线 上运动．①当点 在 （不与 重合）两点之间运动时，设
．则 之间有何数量关系？②若点 不在线段 上运动时（点 与
点 三点都不重合），请你直接写出 间的数量关系．
【答案】(1)
(2)① ；②当 在 延长线时， ；当 在 之间时， ．
【分析】（1）过 作 ，则 ，根据平行线的性质得出 ，
，进而根据 ，即可求解；
（2）①同（1）即可求解；
②当 在 延长线时，过 作 交 于 ，结合图形可得 ．当 在 之间时，
过 作 交 于 ，同理可得 ．
【详解】（1）解：过 作 ，则 ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
（2）①当点 在 （不与 重合）两点之间运动时，设
过点 作 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当 在 延长线时， ．
过 作 交 于 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴当 在 之间时，
过 作 交 于 ，
∵
∴
∴ ,
∴
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
22．（2022春·河南郑州·七年级统考期中）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸
自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东
西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间
t(h)的关系图．请根据图回答下列问题：
(1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km．(2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示
．
(3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km．
【答案】（1）t，s，60；(2) 1,60,小南出发2.5小时后，离家的距离为50km ;(3)30或45．
【分析】（1）直接利用常量与变量的定义得出答案；直接利用函数图象结合纵坐标得出答案；
（2）利用函数图象求出爸爸晚出发1小时，根据速度=路程÷时间求解即可；根据函数图象的横纵坐标的意
义得出A点的意义；
（3）利用函数图象得出交点的位置进而得出答案．
【详解】（1）自变量是时间或t，因变量是距离或s；小亮家到该度假村的距离是：60；
（2）小亮出发1小时后爸爸驾车出发：爸爸驾车的平均速度为60÷1=km/h； 图中点A表示：小亮出发2.5
小时后，离度假村的距离为10km；
（3）当20t=60(t-1)，解得：t=1.5
则离家20×1.5=30（千米）
当20t=120-60(t-1),解得：t=2.25
则离家20×2.25=45（千米）
小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时．离家的距离约是30或45．
【点睛】此题主要考查了函数图象以及常量与变量，利用函数图象获取正确信息是解题关键．
23．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图 ， ， ，
，求 的度数；【问题迁移】（2）如图 ，已知 ，AD BC，点 在射线 上运动，当点 在 ， 两点之间运
动时，连接 ， ， ， ，求 与 ， 之间的数量关系，并说明理
由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点 在 ， 两点之间运动”改为“点 在 ， 两点外侧
运动 点 与点 ， ， 三点不重合 ”其他条件不变，请直接写出 与 ， 之间的数量关
系．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3） 与 、 之间的数量关系
为： 或
【分析】（1）过点P作PE与AB平行，继而根据的性质进行推导即可得；
（2）过 作 交 于 ，推出 ，根据平行线的性质得出 ，
，即可得出答案；
（3）画出图形 分两种情况 点 在 的延长线上， 点 在 的延长线上 ，根据平行线的性质得
出 ， ，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点 作 ，
如图所示：，
， 平行于同一条直线的两条直线平行
， ， 两直线平行同旁内角互补
， ，
， ，
．
（2） ，理由如下：
如图 所示，过 作 交 于 ，
，
，
， ，
；
（3）当 在 延长线时，如图 所示：过 作 交 于 ，
同（2）可知： ， ，
；
当 在 延长线时，如图 所示：
同（2）可知： ， ，
．
综上所述， 与 、 之间的数量关系为： 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
