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专题 6.4 平面向量，复数综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）若复数 （ ， 为虚数单
位）是纯虚数，则实数 的值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的定义得到方程（不等式）组，
解得即可.
【详解】因为
，
因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 .
故选：D
2．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知向量 ，向量 在 方向上的
投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义即可求解.
【详解】由题意知 ，
的单位向量为 ，
所以向量 在 方向上的投影向量为 ，
故选：D.3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在 中，点 在 的延
长线上， ，如果 ，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用向量的线性运算把向量 分解成 形式即可得答案.
【详解】∵ ，
∴ ，
故选：B．
4．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用题意算出 ，然后利用复数模的公式即可求解
【详解】由 可得 ，
所以
故选：D
5．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角 中，斜边 ， 为线
段BC上的动点，且 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】设 ，然后可得 ，然后
根据二次函数的知识可得答案.
【详解】因为在等腰直角 中，斜边 ，所以 ，
因为 、 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
故选：B
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的 地出发，向河对岸航行．已知船的速度 的大小为
，水流速度 的大小为 ，若船的航程最短，则行驶完全程需要的
时间 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知，船的实际速度 与水流速度 垂直，作出图形，求出 的值，
即可求得船所需的时间.
【详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度 与水流速度 垂直，
作 ， ，以 、 为邻边作平行四边形 ，如下图所示：由题意可知， ，且 ， ，
由勾股定理可得 ，
因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间 ，
则 .
故选：B.
7．（2023·江苏南京·校考二模）已知等边 的边长为 ， 为 的中点， 为线段
上一点， ，垂足为 ，当 时， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，先分别表示出 ， ，再由向量的数量积运算得到 ，从而
得到 为 的重心，即可得到结果.
【详解】设 ，则 ， ，
，
， 或 （舍去），
为 的重心， ， 为 的中点，
，
故选：B．
8．（2023春·北京海淀·高三北大附中校考期中）设 ， 是平面向量，则“ 是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据向量数量积的定义及共线的性质，结合充分必要性定义判断条件间的推出关
系，即得答案.
【详解】由 ，即 ，故 ，所以 不一定成立；
由 （非零向量）时，若反向共线，则 ，若同向共线，则
，所以 也不一定成立；
综上，“ 是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（2023春·山西太原·高三统考期中）已知复数 、 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 、 中至少有 个是
D．若 且 ，则
【答案】ACD
【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用虚数不能比较大小可判断B选项；利用
复数的三角形式的代数运算结合反证法可判断C选项；利用复数的运算性质结合C选项可
判断D选项.
【详解】设 ， ，
对于A选项， ，
所以，
，
因为
，
则 ，
所以， ，A对；
对于B选项，若 、 中至少有一个为虚数，则 、 不能比较大小，B错；
对于C选项，若 ，假设 、 均不为零，则 ， ，
则存在 、 ，使得 ， ，
则 ，因为 ，则 、 不可能同时为零，
所以， ，
故假设不成立，所以， 、 中至少有一个为零，C对；
对于D选项， ，则 ，
因为 ，则 ，由C选项可知， ，即 ，D对.
故选：ACD.
10．（2023春·山东枣庄·高三统考期中）石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边
形，正六边形 为其中的一个六元环，设 ，P为正六边形 内一点
（包括边界），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量为 D． 的取值范围为
【答案】BCD
【分析】建系，利用向量坐标的运算判断A、B、C，对于D：结合向量的投影分析运算.
【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，
可得 .
对于A：因为 ，则 ，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C：因为 ，则 ，
所以 在 上的投影向量为 ，故C正确；
对于D：分别过 、 作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，则 ，可得 在 上的投影的取值范围为 ，
且 ，所以 的取值范围为 ，故D正确；
故选：BCD.
11．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）下列说法正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．已知向量 ， ，则
C．若 且 ，则 和 在 上的投影向量相等
D．若复数 ， （ ），其中 是虚数单位，则 的最大值
为
【答案】CD
【分析】取 可判断A；根据平面向量的坐标运算直接计算可判断B；根据投影向量公
式直接求解可判断C；利用复数的几何意义可判断D.
【详解】选项A，若 ，满足 ， ，但 与 不一定共线，故A错误；
选项B，因为向量 ， ，
所以 ，故B错误；
选项C，因为 且 ， 在 上的投影向量为 ， 在 上的投影向量 ，
所以 ．故C正确；
选项D，由题意可得， 对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上， 对应的点为
，如图所示，则 ，故D正确．
故选：CD．12．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）已知复数 满足 ， ，
x， ， ， 所对应的向量分别为 ， ，其中O为坐标原点，则（ ）
A． 的共辄复数为 B．当 时， 为纯虚数
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】CD
【分析】根据复数的除法运算化简复数 ，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断
A，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C，结合复数模
长公式即可判断D.
【详解】A选项：由于 ，所以 的共轭复数为 ，故选项A错误，
,B选项：当当 时， ，若 ，则 为为实数，故选项B错误；
C选项：易知 ， ，又 ，则 ，即 ，故选项
C正确;
D选项：由于 ，则 ，
，
，
故 ，选项D正确．
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实
数x的取值范围是______．
【答案】
【分析】由 ，求得 ，再设 ，求得 ，进而得到 的取值范围.
【详解】因为向量 ， ，由 ，可得 ，解得 ，
设 ，可得 ，即 ，解得 ，此时向量 与 共线，
所以当 与 的夹角是锐角时，则满足 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
14．（2023春·陕西咸阳·高三统考期中）已知复数 是关于 的方程
的一个根，则 _________.
【答案】
【分析】根据实系数方程虚根成对原理可得复数 也是方程的一个根，利用韦达定理及
复数代数形式的运算法则求出 、 ，即可求出其模.
【详解】因为复数 是关于 的方程 的一个根，
所以复数 也是关于 的方程 的一个根，
所以 ，所以 、 ，
所以 .
故答案为：
15．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知O是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，
，则P的轨迹一定经过 的___________．(从“重心”，“外心”，“内心”，
“垂心”中选择一个填写）
【答案】外心
【分析】 为 中点，连接 ，计算 ，
，得到 ，得到答案.
【详解】如图所示： 为 中点，连接 ，，
，故 ，
即 ，故 的轨迹一定经过 的外心.
故答案为：外心
16．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知 ， ，
，则点A、B、C、D中一定共线的三点是______.
【答案】A、B、D
【分析】根据已知向量，结合向量加法法则、共线基本定理判断向量是否共线，即可判断
点共线.
【详解】由 不存在实数 使 成立，
故A，C，D三点不共线，同理A、B、C以及B、C、D均不共线，
又 ，
故 与 共线，故三点A、B、D共线.
故答案为：A、B、D
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2023·高三单元测试）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两
边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求 的取值范围；(2)若P是平面上一点，且满足 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将 转化为 ，再由 的值
和 的范围可求得结果.
（2）令 可得点T 在BC上，再将 转化为 ，
由 、 的范围可求得结果.
【详解】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．
所以O为MN的中点，所以 ，
所以 ．
因为Q是BC的中点，所以 ， ，
所以 ，
即的 取值范围为 ；
（2）令 ，则 ，
∴ ，即：
∴
∴点T 在BC上，
又因为O为MN的中点，
所以 ，从而 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 的最小值为 ．
18．（2023春·吉林·高三东北师大附中校考期中）如图，向量 ， 为单位向量，
，点 在 内部， ， ， .(1)当 时，求 ， 的值；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以 为原点，建立平面直角坐标系，设 ，其中 ，根据
，得到 ，再由 ，得到 ，联立方程组求得
，结合 ，列出方程，即可求解；
（2）根据题意得到 ，其中 ，结合 ，求
得 ，得到 ，利用三角函数的性质，即可
求解.
【详解】（1）解：以 为原点，以 所在的直线为 轴，以过点 垂直 轴的直线为
轴建立平面直角坐标系，如图所示，
因为向量 ， 为单位向量且 ，可得 ，
设 ，其中 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
由 ，可得 ，联立方程组 ，解得 ，
又由 ，可得 ，
可得 .
（2）解：因为 且 ，可得 ，
所以 ，其中 ，
又因为 ，可得 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，此时 ，可得 取得最大值 ，
又由 ，
所以 的取值范围为 .
19．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）若定义一种运算： .已知 为
复数，且 .
(1)求复数 ；
(2)设 为实数，若 为纯虚数，将 表示为 的函数并求该函数
的单调递增区间.
【答案】(1) ；
(2) ， .
【分析】（1）根据新定义运算可得 ，设 ，根据共轭复数
的概念及复数相等即可求解；
（2）根据新定义运算可得及纯虚数的概念可得 ，再根据正
弦型的图象与性质即可求解.
【详解】（1） ，∴ ，
设 ，
则 ， ，
， .（2） ，
若 为纯虚数，则 ，
，
令 ，解得 ，
故函数 的增区间为 .
20．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）已知复数 ，其中 为实数
且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 为纯虚数，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据共轭复数定义、复数运算法则和复数相等的条件可构造方程组求得结果；
（2）根据复数运算法则化简得到 ，由纯虚数定义可构造方
程求得 ，由复数模长的范围可求得结果.
【详解】（1） ， ， ，
，解得： 或 ， 或 .
（2）
为纯虚数，
，又 ， ，则 ，即 ，
， ，解得： ，即 的取值范围为 .21．已知平面向量 满足， ．
(1)若 不共线，且 与 共线，求 的值；
(2)若 的最小值为 ，求向量 的夹角大小．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）由共线向量定理即可求解；
（2）由向量的模、夹角、数量积之间的关系即可求解.
【详解】（1）因为 不共线，且 与 共线，
所以存在实数 ，使得 ，即 ，
因此 ，解得 ．
（2）设 夹角为 ，由 得
，
故当 时， 有最小值 ，
由題意 ，解得 ，
又 ，所以 或
22．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期中）已知向量 ， ，
．
(1)若 ，求实数k；
(2)设 满足 ，且 ，求 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）利用向量垂直充要条件列出关于实数k的方程，解之即可求得实数k的值；
（2）先设 ，再利用题给条件关于实数 的方程组，解之即可求得实数 的值，
进而得到 的坐标.【详解】（1）因为向量 ， ， ，
则 ， ．
因为 ，
所以 ，解得 ．
（2）设 ，由题意， ， ，
由于 ，且 ，则 ，
解得 或 ．因此 或 ．
