专题6.4正弦定理、余弦定理的应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 6.4 正弦定理、余弦定理的应用 练基础 1．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在 中，已知 ，则 的形 状一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案. 【详解】 解：由正弦定理得 ， 整理得： 即 ，又因为 ,所以 , 所以 ，移项得： ,所以三角形一定为直角三角形. 故选：B 2．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在 中，已知 ，则 的形 状一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案. 【详解】 解：由正弦定理得 ， 整理得： 即 ，又因为 ,所以 , 所以 ，移项得： ,所以三角形一定为直角三角形. 故选：B 3．（2021·辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理” 是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两 端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点 仍在一个圆上，这个圆被称为康 威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由“康威圆定理”可知的康威圆圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，据此可得圆的半径，进一步可求其面积. 【详解】 康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心， 所以其康威圆半径为 ，故面积为 ． 故选:C. 4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹 射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在 处（点 在水平地面 的下方， 为 与水平地面 的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点 ， 两地相距100米， ，其 中 到 的距离比 到 的距离远40米． 地测得该仪器在 处的俯角为 ， 地测得最 高点 的仰角为 ，则该仪器的垂直弹射高度 为（ ） A．210米 B． 米 C． 米D．420米 【答案】C 【解析】 在 中利用余弦定理求出 ，进而在 中可求出 ，再在 中求出 ，即可 得解． 【详解】设 ，所以 ，在 中， ， ，所以， ，即 ， ． 在 中， ，所以 ，又在 中， ，所 以 ，因此 ． 故答案为：C． 5．（2021·山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高 选择A和另一座山的山顶 为测量 观测点，从A点测得 点的仰角 点的仰角 以及 从 点测得 ，若山高 米，则山高 等于（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】A 【解析】 在 中，可求得AC，根据正弦定理，在 中，可求得AM，在 中，即可求得答 案. 【详解】 因为在 中， ， ，所以 ， 在 中， ， 由正弦定理得： ，即 ， 所以 ， 在 中， ， 所以 （米） 故选：A 6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路 北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南 方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏 南 方向上，俯角为 ，则该车的行驶速度为（ ） A．15米/秒 B．15 米/秒 C．20米/秒 D．20 米/秒 【答案】A【解析】 根据题意可得 ，再除以时间即可得解. 【详解】 根据题意 ，由B处在山顶俯角为 ， 所以 ， 由A东偏南 ，B东偏南 ， 所以 ， 所以 为等腰三角形，所以 ， 由 ，所以速度为 米/秒， 故选：A 7．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（文））说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、 枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延 安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔 山的坡度比为 （坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡 处测得 ，从 处沿山坡往上前进 到达 处，在山坡 处测得 ，则宝塔 的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得 ，在 中利用正弦定理可求得. 【详解】 由题可知 ， ，则 ， ， 设坡角为 ，则由题可得 ，则可求得 ， 在 中， ， 由正弦定理可得 ，即 ，解得 ， 故宝塔 的高为44m. 故选：A. (cid:3) (cid:3) 1 BCCA 8.（2021·浙江高一期末）在ABC中，AB 2，若 2 ，则A的最大值是____________．  【答案】 4 【解析】 (cid:3) (cid:3) 1 b2 4a2 BCCA cosA 由 2 ，结合向量数量积的定义及余弦定理可得a2 b2 3，进而可求得 4b ， A cosA 而要求 的最大值，只要求解 的最小值即可 【详解】 (cid:3) (cid:3) 1 BCCA 解：因为 2 ，1 a2 b2 4 1 abcosC  ab  所以 2，由余弦定理得 2ab 2，得a2 b2 3， b2 4a2 b2 4(3b2) cosA  由余弦定理可得 4b 4b 2b2 1 b 1 b 1 2 b 1 2    2    b ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 取得最小值， 4b 2 4b 2 4b 2 2 4b 2 cosA  根据余弦函数y cosx在(0,)上单调递减可知，此时角A取得最大值为 4 ，  所以A的最大值是 4 ，  故答案为： 4 9．（湖北高考真题））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的 高度CD= ________ m. 【答案】100√6 【解析】 由题设可知在 中, ,由此可得 ,由正弦定理可得 ,解之得 ,又因为 ,所以 ,应填 100√6.10．（宁夏高考真题）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M， N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包 括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步 骤. 【答案】见解析 【解析】 要求长度，需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α ,β ，最后通过正弦定理得到最终结果. 1 1 ①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α ,β ； 1 1 B点到M，N的俯角α ,β ；A，B的距离 d……….3分 2 2 dsinα ②第一步：计算AM. 由正弦定理AM= 2 ； sin(α +α ) 1 2 dsinβ 第二步：计算AN. 由正弦定理AN= 2 ； sin(β −β ) 2 1 第三步：计算MN. 由余弦定理MN=√AM2+AN2−2AM×ANcos(α −β ) 1 1 练提升 TIDHNE 1．（2021·四川自贡市·高三三模（文））如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向 上走b米到B处，在B处测得山顶P的仰角为γ（A、B、P、Q共面）则山高P等于（ ）米．A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 已知仰角为 ， 的倾斜角 ，在 处测得山顶 的仰角为 ，用正弦定理可计算出高度. 【详解】 由题意可知， ， ， 分别在 ， 中， ， ， 所以 ， 又， 在 中，由正弦定理可得 ， 即 ， ， 在 中， . 故选：A. 2. （2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在如图所示四边形 中， ， ， ， ， ，则四边形 的面积为________.【答案】 【解析】 由已知条件可得 ， ， ，应用三角形面积公式求 ， ，即 可求四边形 的面积. 【详解】 由题意，知： ，且 ， ， ∴ ， ， ∴四边形 的面积 . 故答案为： 3．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求 一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、 中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、 他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即 以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式 （其中a，b，c，S为三角形的三边和面积） 表示．在 中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，若 ，且 则 面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 利用余弦定理化简已知条件得到 的关系式，将 的关系式代入所给的面积公式中，将面积 转化为关 于 的函数形式，根据二次函数的对称轴求解出面积的最大值即可. 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以当 时， 有最大值为 ， 故答案为： . 4．（2021·河南高二月考（文））为测量山高 .选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得 N点的仰角 ，C点的仰角 以及 ，从C点测得 .已知山高 米.则所求山高 为___________米. 【答案】 【解析】 在 中可求得 ，再在 利用正弦定理可求出 ，即可求得山高. 【详解】 由题，在 中， ， ， 在 中， ， ，则 ， 由正弦定理可得 ，即 ，解得 ， 又在 中， ， ， 所以所求山高 为 米. 故答案为： . 5．（2021·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）在 中，已知 且. （1）试确定 的形状； （2）求 的取值范围. 【答案】（1）直角三角形；（2） . 【解析】 （1）根据正弦定理化简整理得到 即可判断三角形的形状；（2）由正弦定理将 表示成 ，接着根据三角函数的知识求解取值范围即可. 【详解】 解：（1）由正弦定理得： ， 所以 ① 因为 ， 所以 所以 ， ② 把②代入①得 所以 是直角三角形 （2）由（1）知 ，所以 所以 .根据正弦定理得 因为 ，所以 即 的取值范围是 . 6．（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）如图四边形 中， ， ， ， 、 ， . （1）求 ； （2）求 面积的最大值. 从① 且 为锐角；② ；③ 这三个条件中 任选一个补充在上面的问题中并作答 【答案】（1）条件选择见解析， ；（2） . 【解析】 （1）选①：利用三角形的面积公式求出 ，结合 为锐角求出 的值，利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理可求得 的长； 选②：利用余弦定理计算得出 的值，结合 的取值范围可求得 的值，利用余弦定 理求出 ，再利用正弦定理可求得 的长； 选③：求出 ，利用余弦定理计算得出 的值，结合 的取值范围可求得 的值， 再利用正弦定理可求得 的长； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最大值，利用三角形的面积公式可得结果. 【详解】 （1）选①， ， 是锐角， ， 由余弦定理可得 ，则 ， ，则 是四边形 的外接圆直径， 是 的外接圆直径， ； 选 ②： ， ， ， 由余弦定理可得 ，则 ， ，则 是四边形 的外接圆直径，是 的外接圆直径， ； 选③： ，由余弦定理可得 ， ， ， ，则 是四边形 的外接圆直径， 是 的外接圆直径， ； （2）由（1） ， ， 在 中，由余弦定理可得 ， 所以， ，当且仅当 时，等号成立. 因此， . 7．（2021·全国高一专题练习）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心 （大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处， 再分别安装一套监测设备，且满足 ， ，设 ．（1）当 ，求四边形 的面积； （2）当 为何值时，线段 最长． 【答案】（1） ；（2） 时， 最长为 . 【解析】 （1）利用余弦定理求出 ，即得解； （2）先求出 ，设 , ， ， 利用余弦定理求出 即得解. 【详解】 （1）在△ 中，由余弦定理得 所以 . 所以四边形 的面积 . （2）由题得所以 ， 设 , ， 所以 ， 所以 所以 ， 因为 ， 所以 时， 最长为 . 8．（2021·江苏高一月考）缉私船在A处测出某走私船在方位角为 (航向)，距离为10海里的C处，并 测得走私船正沿方位角 的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私 船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方 向线之间的水平夹角) （1）若 ，求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间；（2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由. 【答案】（1） ， ；（2）能， ． 【解析】 （1）在 中，由正弦定理得缉私船航行的方位角正弦值；在 中，由余弦定理建立方程，即 可求出截获走私船所需的时间； （2）由（1）知 ，利用换元法得到关于 的方程 在 必有 两不同的实根，即可求解． 【详解】 （1）设缉私船在B处截获走私船，所需的时间为 ， 依题意，得 ， 在 中，由正弦定理得， ， 方位角为 ， ， 在 中，由余弦定理得， ， 当 时， ，解得 （负值已舍）， 即截获走私船所需时间为 ． （2）由（1）知， ， 即 ，因为走私船距离陆地27海里以9海里/时的速度航行， 所以要能截获需在3小时之内，令 ，若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船， 则关于 的方程 在 必有两不同的实根 ， 则 解得 ， 9．（2021·广东汕头市·高三二模）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高， 由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到 两份外卖单，他须分别到B地､D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A，B，C，D 各地的示意图如图所示， ， ， ， ， ， 假设小李到达B､D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均 速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如： )，并计算各种送 餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位 小数)(参考数据： ， )【答案】答案见解析 【解析】 根据正弦定理先求解出 的值，再根据余弦定理求解出 的值，然后分析每条送餐路径的路程并 确定出最短送餐路径对应的送餐时间. 【详解】 解：在 中，由正弦定理可知： ， 即： ，解得： ， 由 ，即： ，解得： ， (由余弦定理可得 ， 解得 或者 ， ) 在 中，由余弦定理可知： 即 ，解得 或 (舍)；①若送餐路径为： ，则总路程= ②若送餐路径为： ，则总路程= ③若送餐路径为： ，则总路程= ④若送餐路径为： ，则总路程= 所以最短送餐路径为 ， 此路径的送餐时间为： (分钟). 10．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ， ， ， 百米， 百米．该区域内原有道路 ，现新修一条直道 （宽度 忽略不计），点 在道路 上（异于 ， 两点）， ， ． （1）用 表示直道 的长度； （2）计划在 区域内种植观赏植物，在 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每 平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路 的成本为每百米1万元，求以 上三项费用总和的最小值． 【答案】（1） ， ；（2） 万元． 【解析】（1）根据解三角形和正弦定理可得 ， ， （2）分别求出 ， ，可得 ，设三项费用之和为 ，可得 ， ，利用导数求出最值. 【详解】 解：（1）过点 作 ，垂足为 ， 在 中， ∵ ， ， ， ∴ ， 在 中， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 在 中，由正弦定理可得 ， ∴ ， ， （2）在 中，由正弦定理可得 ， ∴ ， ∴ ， 又 ∴ ， 设三项费用之和为 ， 则， ， ∴ ，令 ，解得 ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， ∴ ，即三项费用总和的最小值为 万元． 练真题 TIDHNE 1．（2021·全国高考真题（理））已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案. 【详解】 因为 ，由双曲线的定义可得 ， 所以 ， ； 因为 ,由余弦定理可得 ，整理可得 ，所以 ，即 . 故选：A 2.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86 （单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C 点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平 面 的高度差 约为（ ）（ ） A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 【解析】 通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得 ，进而得到答案． 【详解】过 作 ，过 作 ， 故 ， 由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ． 所以 ． 因为 ，所以 在 中，由正弦定理得： ， 而 ， 所以 ， 所以 ． 故选：B． 3.（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海 岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差” 则海岛的高 （ ） A． 表高 B． 表高 C． 表距 D． 表距 【答案】A 【解析】 利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】 如图所示： 由平面相似可知， ，而 ，所以 ，而 ， 即 ＝ ． 故选：A. 4.（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角 形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则 ___________. 【答案】25 【解析】 分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可. 【详解】 由题意可得，大正方形的边长为： ， 则其面积为： ， 小正方形的面积： ， 从而 . 故答案为：25. 5．（2021·北京高考真题）已知在 中， ， ． （1）求 的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度． ① ；②周长为 ；③面积为 ；【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析． 【解析】 （1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】 （1） ，则由正弦定理可得 ， ， ， ， ， ，解得 ； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ， 与 矛盾，故这样的 不存在； 若选择②：由（1）可得 ， 设 的外接圆半径为 ， 则由正弦定理可得 ， ， 则周长 ， 解得 ，则 ，由余弦定理可得 边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得 ，即 ， 则 ，解得 ， 则由余弦定理可得 边上的中线的长度为： . 6.（上海高考真题）如图， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、 乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线 是 ，速度为5千米/小时，乙的路线是 ，速度为8千米/小时.乙到达 地后原地等待.设 时 乙到达 地. （1）求 与 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 时，求 的表达式，并判断 在 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1） ， 千米；（2）超过了3千米. 【解析】 （1） ，设此时甲运动到点 ，则 千米， 所以 千米. （2）当 时，乙在 上的 点，设甲在 点， 所以 ， ， 所以 ， 当 时，乙在 点不动，设此时甲在 点， 所以 . 所以 . 所以当 时, ，故 的最大值超过了3千米.