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大题突破 02 与有理数及其运算有关的 9 种大题专
练
一．正数和负数
1．（2023秋•赣州期末）某中学为提高中学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，其中一个运动项目
为“一分钟跳绳”．七年级某班10名参赛代表成绩以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记
为负数，成绩记录如下（单位：次） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
（1）求该班参赛代表最好的成绩与最差成绩相差多少？
（2）求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次？
2．（2024秋•黔东南州期末）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天
生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（单
位：个）
（1）本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？
（2）求该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1（3）已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另
奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．
3．（2023秋•即墨区期末）风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝 700只，上周
日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化．下表是这周的实际生产情况（正
负表示比上周日的增减）；
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？
（2）该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只
奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
4．（2023秋•法库县期末）刘明利用业余时间进行飞螺训练，上周日训练的平均成绩是 8.5环，而这一周
训练的平均成绩变化如下表（正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降）
星期 一 二 三 四 五 六 日
平均成绩
变化（环
（1）本周哪一天的平均成绩最高？它是多少环？
（2）本周哪一天的平均成绩最低？它是多少环？
（3）本周日的成绩和上周日的成绩相比是提高了还是下降了？其变动的环数是多少？
5．（2023秋•息县期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产
销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续 7天记录了每天行驶的路程（如表）．以
为标准，多于 的记为“ ”，不足 的记为“ ”，刚好 的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
0
路程
（1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 ．
（2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
（3）已知汽油车每行驶 需用汽油5.5升，汽油价8.2元 升，而新能源汽车每行驶 耗电量为
15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？
二．有理数
6．（2024秋•黔东南州期末）把下列各数填在相应的大括号内：
5， ，1.4， ， ，0， ， ， （每两个1之间逐次增加一个 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2正数集： ；
非负整数集： ；
负分数集： ；
有理数集： ．
7．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
1，0.0708， ， ，0，3.14， ， ．
正有理数集合： ，
负整数集合： ，
正分数集合： ，
非负整数集合： ．
8．（2023秋•凉州区校级期末）把下列各数填到相应的集合中．
1， ，0.5， ，0， ， ， ， ，0.3， ， ， ．
正数集合： ；
负数集合： ；
整数集合： ；
分数集合： ．
9．（2023秋•武都区期末）把下列各数分别填入相应的集合里．
．
（1）负数集合： ；
（2）整数集合： ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3（3）分数集合： ．
三．数轴
10．（2024秋•云梦县校级期末）如图，请按照要求解答问题：
（1）数轴上点 、点 分别表示的数是 、 ，点 在数2、3表示的点的中点位置，则点 表示的数
是 ；线段 的中点 表示的数是 ；
（2）求线段 的中点 与线段 的中点 的距离 ；
（3）在数轴上方有一点 ，下方有一点 ，且 ， ，请画出示意图，并判断
能否平分 ？并简要说明理由．
11．（2023秋•商南县期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点 表示 ，
点 表示8．
（1）点 表示的有理数是 ，表示原点的是点 ．
（2）图中哪些点表示的有理数互为相反数？
（3）图中的数轴上另有点 到 点，点 距离之和为13，求点 表示的有理数．
12．（2024春•曲沃县期末）综合与探究
已知，数轴上三点 ， ， 对应的数分别为 ，0，1，点 为数轴上任意一点，其对应的数为 ．
（1） 的长为 ， 的长为 ；
（2）若 ，求 的值；
（3）数轴上，如果动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点 和 分别
从点 和点 出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动．当点 到点 的距
离等于点 到点 的距离时，直接写出点 所表示的数．
13．（2023秋•东港区期末）
已知数轴上三点 ， ， 对应的数分别为 ，0，3，点 为数轴上任意一点，其对应的数为 ．
（1） 的长为 ；
（2）如果点 到点 、点 的距离相等，那么 的值是 ；
（3）数轴上是否存在点 ，使点 到点 、点 的距离之和是8？若存在，直接写出 的值；若不存在，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4请说明理由．
（4）如果点 以每分钟1个单位长度的速度从点 向左运动，同时点 和点 分别以每分钟2个单位长
度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设 分钟时点 到点 、点 的距离相等，求 的值．
四．有理数大小比较
14．（2023秋•岚皋县校级期末）画出数轴，并解答下列问题：
（1）在数轴上表示下列各数：4， ， ，0， ，1；
（2）按从小到大的顺序用“ ”号把这些数连接起来．
15．（2023秋•东莞市校级期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图．
（1）用“ ”或“ ”填空： 0， 0， 0．
（2）化简： ．
16．（2023秋•仙居县期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．
（1）填空：数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 ．
（2）点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，请在数轴上分别画出点 和点 的位置．
（3）将 ， ， ， 四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“ ”连接．
17．（2023秋•邢台期末）已知有五个有理数，分别是：2.5， ， ， ，0．
（1）请把这五个有理数在数轴上表示出来；
（2）按照从小到大的顺序用“ ”把它们连接起来．
18．（2023秋•东莞市校级期末）在数轴上表示下列各数，并按从大到小的顺序用“ ”号把这些数连接
起来．
， ， ，0．
19．（2023秋•东昌府区期末）在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们按从小到大的顺序用“ ”连
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5接起来．
， ， ，0， ， ．
五．有理数的加减混合运算
20．（2023秋•铁东区期末）计算： ．
21．（2023秋•雁塔区校级期末）计算： ．
22．（2023秋•纳溪区期末） ．
23．（2023秋•阜平县期末）小明家购置了一辆续航为 （能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，
他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位： ，以 为标准，超
过部分记为“ ”，不足部分记为“ ” ．已知该汽车第三天行驶了 ，第六天行驶了 ．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
■ ●
（1）“■”处的数为 ，“●”处的数为 ；
（2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的 ，行车电脑就会发出充电提示．请
通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示．
六．有理数的乘法
24．（2023秋•射阳县期末）已知： ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
25．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“ ”，规定有理数 ，如 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
26．（2023秋•中原区期末）学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题．
计算： ，下面是两位同学的解法：
小方：原式 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6小杨：原式 ．
（1）两位同学的解法中，谁的解法较好？
（2）请你写出另一种更好的解法．
27．（2023秋•淮北期末）阅读理解：
计算 时，若把 与 分
别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设 为 ， 为 ，
则原式 ．请用上面方法计算：
①
② ．
六．有理数的除法
28．（2024春•松江区期末）计算： ．
29．（2023秋•浦东新区期末）一辆汽车匀速行驶3小时行驶了240千米，以同样的速度，行驶 小时可
以行驶多少千米？（用比例方法解）
30．（2023秋•船营区校级期末） ．
31．（2023秋•浦东新区期末）已知： ， ，求 ．
32．（2023秋•昌邑区校级期末） ．
八．有理数的乘方
33．（2023秋•台州期末）小明与小红两位同学计算 的过程如下：
小明： 小红：
原式 （第一步） 原式 （第一步）
（第二步） （第二步）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7（第三步）
（第三步）
（第四步）
（1）小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤；
（2）写出正确的解答过程．
34．（2023秋•荣成市期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于 的除法运算叫做除
方，如 ，
等．类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2 的圈 3 次方”，
记作 ，读作“ 的圈4次方”，一般地，把 个有理数 相除 记作 ，
读作“ 的圈 次方”．
（1）初步探究：直接写出计算结果： ； ；
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ； ；
（3）算一算： ．
35．（2023秋•射阳县期末）阅读理解：根据乘方的意义，可得： ．请你试
一试，完成以下题目：
（1） ；
（2）归纳、概括： ；
（3）如果 ， ，运用以上的结论，计算： ．
36．（2023秋•泌阳县期末）为响应国家创业号召，小李准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8量进行了统计．以500人为标准，超过即为正，低于即为负．一周内同一位置同一时刻的人流表如图．
星期 一 二 三 四 五 六 日
人数
（1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 人．
（2）若这些人中有 的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？
（3）如图，拉面是将一根较粗的面条先对折成两根，再拉开，然后将两端捏紧，再对折成四根，再拉开，
一直重复这个流程．面条的数量会不断增多，也会不断变细，拉面师傅一般重复该流程八次可做一碗拉面，
拉面师傅拉完八次后有 根面．
九．有理数的混合运算
37．（2023秋•滨城区校级期末）计算：
（1） ；
（2） ．
38．（2023秋•九龙坡区校级期末）计算：
（1） ；
（2） ．
39．（2023秋•康县期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车
产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续 7天记录了每天行驶的路程（如表）．以
为标准，多于 的记为“ ”，不足 的记为“ ”，刚好 的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
0
路程
（1）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
（2）已知汽油车每行驶 需用汽油5.5升，汽油价8.2元 升，而新能源汽车每行驶 耗电量为
15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？
40．（2023秋•红旗区校级期末）计算：
（1） ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9（2） ．
41．（2023秋•东莞市校级期末）计算： ．
42．（2023秋•东莞市校级期末）2023年6月13日晚，“美荔东莞，给荔中国”2023东莞荔枝文化节启动
仪式在大岭山广场举办．6月是荔枝成熟上市期．某水果超市新进了一批新鲜荔枝，每斤 7元．为了合理
定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记
为负，超市记录第一周荔枝的售价情况和售出情况如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
每斤价格
相当于标
准价格
元
售出斤数 15 30 10 20 15 10 30
（1）这一周超市售出的荔枝单价最高的是星期 ；
（2）这一周的周末（周六和周日）超市出售此种荔枝的收益如何？（盈利或亏损的钱数）
43．（2023秋•峨眉山市校级期末）峨眉某公司粮库上周一至上周五进出面粉的吨数如下（进库为正，单
位：吨）
， ， ， ， ．试解决以下问题：
（1）经过这5天，该粮库里的面粉是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这5天，若粮库管理员发现粮库里还有200吨面粉，则5天前粮库里有多少吨面粉？
（3）如果面粉进出的装卸费都是每吨10元，那么这5天要付多少装卸费？
44．（2023秋•灵山县校级期末）计算：
（1） ；
（2） ．
45．（2023秋•兴庆区校级期末）计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ；
（4） ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1046．（2023秋•禹州市期末）计算： ；
47．（2023秋•定陶区期末）计算： ．
48．（2024秋•黔东南州期末）某检修小组乘车沿一条东西向公路检修线路，约定向东行驶为正．某天从
地出发到收工时，行驶记录（单位：千米）为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
（1）求收工时，检修小组在 地哪一边？距离 地多远？
（2）若所乘车辆每千米耗油0.07升，问从 地出发到收工，共耗油多少升？
49．（2023秋•信阳期末）计算：
（1） ；
（2） ．
50．（2023秋•峨眉山市校级期末）计算： ．
51．（2023秋•红旗区校级期末）我校开展阳光体育运动，是为切实推动亿万学生阳光体育运动的广泛开
展，吸引广大青少年学生走向操场，积极参加体育锻炼．小梅为响应号召，决定每天练习跳绳．小梅以 1
分钟跳172个为目标，并把10次1分钟跳绳的数量记录如表（超过172个的部分记为“ ”，少于172个
的部分记为“ ”
与目标数量的
差值（单位：
个）
次数 3 2 2 1 2
（1）小梅在这10次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？
（2）小梅在这10次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？
（3）小梅在这10次跳绳练习中，累计跳绳多少个？
52．（2023秋•文山市期末）一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表：
高度变化 上升 下降 上升 下降 上升
记作
（1）求此时飞机比起飞点高了多少千米？
（2）若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，那么这架飞机在这5个特
技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？
53．（2023秋•禹州市期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11（1）从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ；
（2）从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ；
（3）从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为 24，该如何抽取？
写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12
