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专题02 有理数及其运算（重点）
一、单选题
1．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（ ）
A．24.70千克 B．25.30千克 C．25.51千克 D．24.80千克
【答案】D
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解析】解：“ 千克”表示合格范围在25上下0.25的范围内的是合格品，即24.75到25.25之间
的合格，
因为 ，
故只有24.80千克合格．
故选：D．
【点睛】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有
相反意义的量．
2．下列7个数： 、 、 、0、 、 ……（两个2之间依次多一个6）、
，其中有理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】有理数是整数与分数的统称，分数是指有限小数与无限循环小数，据此求解．
【解析】有理数有： 、 、 、0、 ，共5个．
故选：C
【点睛】本题考查有理数的定义，掌握有理数的定义是解决本题的关键．
3．有理数 ， ，0， 中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的含义求出各个数的绝对值，再比较大小即可．
1【解析】 ， ，0的绝对值为0， ，
∵ ，
∴绝对值最大的数为-2，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的含义以及有理数的大小比较等知识，掌握绝对值的含义是解答本题的关键．
4．在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表
示22000000是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，
n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【解析】解：用科学记数法表示22000000是 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对
值大于1的数的方法：将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变为a
时小数点移动的位数．
5．如图，数轴上的两点A，B表示的数分别为a，b，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由数轴可知： ，再根据不等式的基本性质即可判定谁正确．
【解析】解：由图可知： ，
A、 ，故选项正确，符合题意；
B、 ，故选项错误，不符合题意；
2C、 ，故选项错误，不符合题意；
D、 ，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的混合运算，找出点表示数的大小是解决问题的关键．
6．下列说法中正确的是（ ）
A． 一定是负数 B．有理数的绝对值一定是正数
C．相反数等于它本身的数只有0 D．倒数等于它本身的数只有1
【答案】C
【分析】根据正数、负数、绝对值、相反数、倒数的概念一一判断即可．
【解析】解：A、当 负数时， 为正数，故选项A错误，不符合题意；
B、当有理数为0时，它的绝对值为0，故选项B错误，不符合题意；
C、相反数等于它本身的数只有0，故选项C正确，符合题意；
D、倒数等于它本身的数有1或 ，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了正数、负数、绝对值、相反数、倒数的概念，熟练掌握相关概念是解答此题的关键．
7．若|a|＝2，|b|＝5，且a+b＞0，那么a﹣b的值是（ ）
A．﹣3 B．7 C．3或7 D．﹣3或﹣7
【答案】D
【分析】先根据绝对值的性质求出a，b的值，再根据有理数的减法，即可解答．
【解析】解：∵|a|＝2，|b|＝5，且a+b＞0，
∴a＝2，b＝5或a＝﹣2，b＝5；
∴a﹣b＝2﹣5＝﹣3或a﹣b＝﹣2﹣5＝﹣7．
故选：D
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质和有理数的减法，熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论思想解答
是解题的关键．
8．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题：
甲：
乙：
丙：
3丁：
你认为做对的同学是（ ）
A．甲乙 B．乙丙 C．丙丁 D．乙丁
【答案】C
【分析】根据甲乙丙丁的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解析】解： ，故甲的做法是错误的；
，故乙的做法是错误的；
，故丙的做法正确；
，故丁的做法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数运算的运算方法．
9．一根绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度是这
根绳子长度的（ ）
A．（ ）3 B．（ ）5 C．（ ）6 D．（ ）12
【答案】C
【分析】根据题意和乘方的意义列出算式，即可得出答案．
【解析】解：第六次后剩下的绳子的长度是这根绳子长度的 ；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的运算法则．
10．如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果
为25，第2次输出的结果为32，…，则第2022次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4【答案】B
【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算．
【解析】解：由设计的程序可知输出的结果依次是：25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1…，
发现从第4次开始循环，每四次一个循环，每个循环依次是：8，4，2，1，
则 ， ，
故第2022次输出的结果是2．
故选B．
【点睛】本题考查程序流程图与有理数计算，解题的关键是明确题意，找出输出数字的变化规律．
二、填空题
11．在数 、 、 、 、0、90、 、 中， 是正数， 是整数， 是分数．
【答案】 、90 、0、90、 、 、 、
【分析】根据整数，正数，分数的概念求解即可．
【解析】 ，
正数： 、90；
整数： 、0、90、 ；
分数： 、 、 、 ．
故答案为： 、90； 、0、90、 ； 、 、 、 ．
【点睛】此题考查了有理数的分类，整数，正数，分数的概念，解题的关键是熟练掌握整数，正数，分数
的概念．
12．比较大小： （选填“>”、“<”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】先去括号，去绝对值符号，再根据正数大于一切负数进行解答．
【解析】解： ， ，
5， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知正数大于一切负数是解题的关键．
13． 的倒数是 ； 的相反数是 ； 的倒数的绝对值是 ．
比 小9的数是 ；比 大 的数是 ．
【答案】
【分析】根据倒数的概念，相反数的概念，绝对值的意义以及有理数的加减运算求解即可．
【解析】解： 的倒数是 ； 的相反数是 ； 的倒数的绝对值是 ．
∵ ，
∴比 小9的数是 ；比 大 的数是 ．
故答案为： ； ； ； ； ．
【点睛】此题考查了倒数的概念，相反数的概念，绝对值的意义以及有理数的加减运算，解题的关键是熟
练掌握以上知识点．
14．绝对值不小于5且小于8的整数有 个
【答案】6
【分析】根据绝对值的性质和有理数的大小比较求出即可．
【解析】解：绝对值不小于5且小于8的所有整数为±5，±6，±7，共6个．
故答案为：6
【点睛】本题考查了有理数的大小比较和绝对值，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
15．如果|a﹣1|＋（b＋3）2＝0，那么ab＝ ．
【答案】-3
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得 ，再求出a、b的值，然后代入，即可求解．
6【解析】解：∵|a﹣1|＋（b＋3）2＝0，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键．
16．直线上A点表示的数是 ，B点表示的数写成小数是 ，C点表示的数写成分数是 ．
【答案】 -1 0.5
【分析】根据数轴上点A的位置可以得出A点表示的数，点B在0与1中间，得出点B表示的数，点C在
1与2之间，且这1个单位长度平均分成5份，每份是 ，点C在1右侧3份处，据此可以得出点C表示的
数．
【解析】解：直线上A点表示的数是−1，B点表示的数写成小数是0.5，C点表示的数写成分数是 ．
故答案为：−1；0.5； ．
【点睛】本题主要考查了用有理数表示数轴上的点，解题的关键是熟练掌握数轴的定义，数轴是规定了原
点、正方向和单位长度的一条直线．
17．在下列数中： ，0.23， ，0， ， ， ， ，该正整数的个数为 ，
非负数的个数为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据正整数的概念知所给数中 ， ， 为正整数，得到 ；根据非负数
的概念知所给数中0.23， ，0， ， 为非负数，得到 ，代入求值即可．
7【解析】解： ，0.23， ，0， ， ， ， ，
正整数有： ， ， ，即 ，
非负数有：中0.23， ，0， ， ，即 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查代数式求值，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键．
18．a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如：3的差倒数是 ＝﹣ ，﹣ 的差倒数是
＝ ，已知a＝2，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，…．依此类推，则a＝
1 2 1 3 2 4 3 4
；a+a+a+a+…+a ＝ ．
1 2 3 4 2023
【答案】 2 1013
【分析】根据差倒数的定义计算即可求出a；再通过计算发现循环规律，计算求解即可．
4
【解析】解：根据题意可知：
a＝2，a＝ ＝﹣1；a＝ ＝ ；a＝ ＝2；
1 2 3 4
…．依此类推，
发现2，﹣1， ..三个数为一个循环，
∴2023÷3＝674…1，
∵2﹣1 ＝ ，
则a+a+a+a+…+a ＝674× +2＝1013．
1 2 3 4 2023
故答案为：2，1013．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过计算，找到数字的循环规律是解题的关键．
8三、解答题
19．把下列各数分别填入表示它所属的括号里：﹣（﹣2.5），（﹣1）2，﹣|﹣2|，﹣22，0， ．
(1)整数：{ …}
(2)分数：{ …}
(3)正有理数：{ …}
(4)负有理数：{ …}
【答案】(1)（﹣1）2，﹣|﹣2|，﹣22，0
(2)﹣（﹣2.5），
(3)﹣（﹣2.5），（﹣1）2
(4)﹣|﹣2|，﹣22，
【分析】（1）根据整数的定义判断即可；
（2）根据分数的定义判断即可；
（3）根据正有理数的定义判断即可；
（4）根据负有理数的定义判断即可．
【解析】（1）解：∵ ，﹣|﹣2|=﹣2， ，
∴ ，﹣|﹣2|， ，0是整数；
∴整数：{ ，﹣|﹣2|， ，0…}
（2）∵ ，
∴ ， 是分数；
∴分数：{ ， …}
（3）∵ ，
9∴ ， 是正有理数
正有理数：{ ， …}
（4）∵﹣|﹣2|=﹣2， ，
∴﹣|﹣2|，﹣22， 是负有理数
负有理数：{﹣|﹣2|，﹣22， …}
【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握整数、分数、正有理数和负有理数的相关知识．
20．已知一组数： ， 0 ， －3.5， 3， ．
(1)把这些数在下面的数轴上表示出来：
(2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．
．
【答案】(1)见解析
(2)﹣3.5< < 0 < <3
【分析】（1）将数准确在数轴上表示出来，注意正负号；
（2）根据（1）中在数轴上表示的数，从左往右依次增大，用小于号连接即可．
【解析】（1）解：如图所示，
；
（2）顺序为： ．
【点睛】本题主要考查的是数轴表示数，重点在于准确将数在数轴上表示出来，注意符号．
21．计算
（1）
10（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ，（2）－49，（3）0，（4）8
【分析】（1）利用减法法则把加减法统一成加法，相加即可得到结果；
（2）运用加法交换律和结合律，把含有相同因数的两个式子相加；再用乘法分配律的逆运算，进行简便
运算即可；
（3）先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；
（4）按照乘方、绝对值、乘法分配律进行运算即可．
【解析】（1）
＝
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝－10－39
＝－49
（3）
11＝
＝
＝0
（4）
＝
＝
＝8
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及恰当的运用运算律是解本题的关键．
22．如图，图中数轴的单位长度为2，请回答下列问题：
(1)如果点 、 表示的数是互为相反数，那么点 表示的数是多少？
(2)如果点 、 表示的数是互为相反数，那么点 、 表示的数是多少？
【答案】(1)点 表示的数是
(2)点 表示的数是1， 表示的数是-9
【分析】（1）根据互为相反数的意义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；
（2）根据互为相反数的意义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．
【解析】（1）解：∵点 、 表示的数是互为相反数，且AB=12，
∴点B在原点O右侧6个单位处，如图所示∶
此时点C在原点O的左侧2个单位长度处，
∴点 表示的数是 ；
（2）解：∵点 、 表示的数是互为相反数，且BD=18，
∴点B在原点O右侧9个单位处，如图所示∶
此时点C在原点O的右侧1个单位长度处， 点D在原点O的左侧9个单位长度处，
点 表示的数是1， 表示的数是 ．
12【点睛】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的意义，并确定出原点的位置是解题的关键．
23．如图所示，数轴上点A，B，C各表示有理数a，b，c．
(1)试判断：b+c，b﹣a，a﹣c的符号；
(2)化简：|b+c|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|．
【答案】(1)b+c＜0，b﹣a＜0，a﹣c＞0
(2)﹣2a
【分析】（1）根据数轴判断a，b，c的正负性，再进行简单的判断即可求解；
（2）根据（1）中的结论以及绝对值的非负性进而得出解答．
【解析】（1）解：根据题意得：c＜b＜0＜a，
∴b+c＜0，b﹣a＜0，a﹣c＞0；
（2）解：由（1）得b+c＜0，b﹣a＜0，a﹣c＞0；
原式=﹣b﹣c+b﹣a﹣a+c
=﹣2a．
【点睛】本题考查了数轴的基本性质和绝对值非负性的应用，解决本题的关键是判断好各个数值的正负．
24．如果 ，
（1）求 、 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）a= -1，b=2；（2）0
【分析】（1）根据绝对值与偶次方的非负性进行求解；
（2）将 、 的值代入求解即可．
【解析】解：（1）由 得 ， ，
解得a= -1， b=2．
（2） ．
【点睛】本题主要考查绝对值、偶次方的非负性及有理数的乘方，熟练掌握绝对值、偶次方的非负性及有
13理数的乘方是解题的关键．
25．某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产产量
与计划量相比有出入，下表记录了该厂某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．
星 期 一 二 三 四 五 六 日
增产或减产 +6 -3 -2 +10 -8 +18 -10
（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车______辆．
（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆？
（3）该厂实际每周计件工资制，每生产一辆自行车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20
元，若未完成任务，则每少生产一辆扣25元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【答案】（1）210；（2）该厂本周实际生产自行车1411辆；（3）该厂工人这一周的工资总额是70770元
【分析】（1）用200加上超产的+10即可；
（2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；
（3）先计算出总共超产或者减产多少，然后根据题中数据即可算出结果．
【解析】解：（1）200+10=210，
因此该厂星期四生产自行车210辆；
（2）根据题意，得
（6-3-2+10-8+18-10）+200×7
=11+1400
=1411（辆）
∴该厂本周实际生产自行车1411辆；
（3）1411-1400=11，
超产11辆，
根据题意，得
1411×50+11×20=70550+220=70770（元）
∴该厂工人这一周的工资总额是70770元．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的运算，明白超产记为正，减产记为负是解题的关键．
26．认真阅读材料后，解决问题：
计算： ．
分析：利用通分计算 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
14解：原式的倒数是
＝
＝
＝20﹣3+5﹣12＝10，
故原式＝ ．
仿照阅读材料计算： ．
【答案】
【分析】仿照阅读材料，先求原数的倒数，进而求解即可．
【解析】解：原式的倒数是
，
故原式 ．
【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数除法，有理数乘法的分配律，正确理解题意是解题的关
键．
27．观察下列各等式，并回答问题：
=1﹣ ； = ﹣ ； = ﹣ ； = ﹣ ；…
（1）填空： =______（n是正整数）
（2）计算： + + + +…+ =______．
（3）计算： + + + +…+ =______．
15（4）求 + + + +…+ 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【分析】（1）根据题意确定出拆项规律，写出第n个式子即可；
（2）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解；
（3）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解；
（4）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解．
【解析】解：（1） （n是正整数）
（2）
=
=1﹣
= ．
（3）
=
=
= ．
（4）
=
=
=
= ．
16故答案为（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【点睛】考查了有理数的混合运算，（4）的关键是将式子变形为
进行计算．
28．如图，数轴上有点a，b，c三点．
(1) 0； 0(填“<”，“>”，“=”)；
(2)化简
(3)求 的值
【答案】(1) ； ；
(2) ；
(3)0．
【分析】（1）由 ， ， 在数轴上的位置可得 、 、 的大小关系，再估算 ， 的值，得出答案；
（2）结合（1），再由 ， ， 在数轴上的位置可以判断 的符号，再化简绝对值即可；
（3）根据 ， ， 在数轴上的位置可得 、 、 的正负情况，再化简绝对值．
【解析】（1）解：根据数轴上的点得： ；
， ；
故答案为： ； ；
（2）解：
；
（3）解： ，
17．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，化简绝对值、解题的关键是通过数形结合来求解．
29．在学习绝对值后，我们知道， 表示数 在数轴上的对应点与原点的距离. 如： 表示5在数轴上的
对应点到原点的距离．而 ，即 表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离.类似的，有：
表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以 表示5、 在数轴上对应的两点之
间的距离. 一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数 、 ，那么A、B之间的距离可表示为 ．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上P、Q两点的距离为3，且点P表示的数是2，则点Q表示的数是___________.
（3）点A、B、C在数轴上分别表示有理数 、 、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 ；
（4）满足 的整数 的值为 .
（5） 的最小值为 .
【答案】（1）3；4；（2）5或-1；（3）|x+3|+|x-1|；（4）符合题意的整数 的值为-2、-1、0、1、2、
3；（5）2500.
【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接计算即可；（2）设点Q表示的点为x，根据两点间的距离公
式得到关于x的方程，解方程即可；（3）根据数轴上两点之间的距离公式可求A到B的距离与A到C的距
离之和；（4）利用分类讨论的方法可以解答本题；（5）当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中
间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．从而得出对于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|
x-100|，当50≤x≤51时取得最小值．
【解析】解：（1）根据题意，得：|5-2|=3；|1-（-3）|=4，
（2）设点Q表示的点为x，根据题意，得：|x-2|=3，
∴x-2=3，或x-2=-3，
解得：x=5或x=-1，
故答案为5或-1；
18（3）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x-1|；
（4）∵|x-3|+|x+2|=5，
∴当x＞3时，化简得:x-3+x+2=5，得x=3；
当-2≤x≤3时，化简得:3-x+x+2=5，所以整数 的值为-2、-1、0、1、2、3；
当x＜-2时，3-x-x-2=5，得x=-2；
所以符合题意的整数 的值为-2、-1、0、1、2、3．
（5）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|=（|x-1|+|x-100|）+（|x-2|+|x-99|）+…+（|x-50|+|x-51|），其中：|x-1|
+|x-100|表示数轴上数x的对应点到表示1、100两点的距离之和，所以当1≤x≤100时，|x-1|+|x-100|值最
小，当1≤x≤100时，|x-1|+|x-100|=x-1+100-x=99,故有最小值为|100-1|=99；
同理：|x-2|+|x-99|表示数轴上数x的对应点到表示2、99两点的距离之和，
当2≤x≤99时，|x-2|+|x-99|=x-2+99-x=97,故有最小值为|99-2|=97；…
|x-50|+|x-51|表示数轴上数x的对应点到表示50、51两点的距离之和，
当50≤x≤51时，|x-50|+|x-51|有最小值为|51-50|=1．
综上所述，当50≤x≤51时，每个括号里 两个绝对值式子的和的值最小，所以，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|
x-100|有最小值为：99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+…+（51+49）=100×25=2500．
【点睛】本题考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是
它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键．
19
