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2022年山东省潍坊市中考数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分。每小题四个选项中只有一项正确）
1．（3分）下列几何体中，三视图都是圆的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到
下巴的距离之比约为 ，下列估算正确的是（ ）
A．0＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜1 D． ＞1
3．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．D．
4．（3分）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C．﹣4 D．4
5．（3分）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线
l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（ ）
A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'
6．（3分）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大
气压，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，你发现（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
7．（3分）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万
吨，当月增速为6.6%（计算方法： ×100%≈6.6%）.2022年3月当月增速为﹣14.0%，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（ ）
A． ×100%＝﹣14.0%
B． ×100%＝﹣14.0%
C． ×100%＝﹣14.0%
D． ×100%＝﹣14.0%
8．（3分）如图，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在 ABCD的边上，从点A
同时出发，分别▱沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长▱度的速度运动，到达点
C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关
系的图象是（ ）
A． B．C． D．
二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分.每小题的四个选项中，有多项正确，全部选
对得3分，部分选对得2分，有错选的得0分）
（多选）9．（3分）小莹所在班级10名同学的身高数据如表所示．
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高（cm） 165 158 168 162 174 168 162 165 168 170
下列统计量中，能够描述这组数据集中趋势的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
（多选）10．（3分）利用反例可以判断一个命题是错误的，下列命题错误的是（ ）
A．若ab＝0，则a＝0
B．对角线相等的四边形是矩形
C．函数y＝ 的图象是中心对称图形
D．六边形的外角和大于五边形的外角和
（多选）11．（3分）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
A．| |＞1 B．﹣a＜b C．a﹣b＞0 D．﹣ab＞0
（多选）12．（3分）如图，△ABC的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接
EF，DE，DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于G，H两点；分别以点
G，H为圆心，以大于 GH的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP．下列说法正确
的是（ ）A．射线BP一定过点O
B．点O是△DEF三条中线的交点
C．若△ABC是等边三角形，则DE＝ BC
D．点O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点
三、填空题（共4小题，每小题3分，共12分.只写最后结果）
13．（3分）方程组 的解为 ．
14．（3分）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB
恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．
15．（3分）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如
图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋
转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为 ．四、解答题（共7小题，共72分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，
得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面
积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
18．（11分）（1）在计算 时，小亮的计算过程如下：
解：
＝
＝
＝﹣2
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③
的格式写在横线上，并依次标注序号：①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；
．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值： ，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
19．（11分）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请
用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．
样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：
样本学生成绩 平 方差 中 众
均 位 数
数 数
甲 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66
校
乙 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b
校
表中a＝ ；b＝ ．
请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测
试成绩．
【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生
分为3组，制成频数分布直方图，如图所示．
A组：0＜x≤20；B组：20＜x≤40；C组：40＜x≤60．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示
该组的平均数）．
【监测反思】
①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙
两校总体语文素养水平可行吗？为什么？20．（12分）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O
处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作
出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明
△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
请你证明：AG＝BH．
【迁移应用】
延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接
HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．
21．（10分）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．
小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号
田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝ （m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模
型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
（1）小莹认为不能选y＝ （m＞0）．你认同吗？请说明理由；
（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变
化趋势，并求出函数表达式；
（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最
大是多少？
22．（10分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高
则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻
至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为 O， O与直线PQ交于P，Q
两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连⊙接A⊙B，AC．
（1）求证：AD为 O的切线；
（2）筒车的半径为3⊙m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车
在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值： ≈1.4， ≈1.7）．
23．（13分）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表
达式．
【观察发现】
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
【思考交流】
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
【概括表达】
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的
图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．2022年山东省潍坊市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分。每小题四个选项中只有一项正确）
1．（3分）下列几何体中，三视图都是圆的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】用排除法，从不同角度去看立体图形，只要有一例看到的不是圆就可以断定选项
不符合题意．
【解答】解：从圆柱、圆锥、正方体侧面看，看到的是矩形、三角形、正方形．
故选：A．
【点评】考查学生对于立体图形不同视觉得到的平面图形，关键是要有空间观念，能从不
同角度读懂立体图象的平面图形．
2．（3分）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到
下巴的距离之比约为 ，下列估算正确的是（ ）
A．0＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜1 D． ＞1【分析】先根据2 ＜3，推出1＜ ﹣1＜2，所以 ＜ ＜1，即可得出答案．
【解答】解：∵2 ＜3，
∴1＜ ﹣1＜2，
∴ ＜ ＜1，
故选C．
【点评】本题考查了黄金比，熟练利用二次根式的性质进行比较是解题的关键．
3．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上即
可．
【解答】解：不等式组 ，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1，
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握
不等式组的解法是解本题的关键．4．（3分）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C．﹣4 D．4
【分析】抛物线与x轴有一个交点，y＝0的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等
于0．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1•c＝0，
∴c＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键．
5．（3分）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线
l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（ ）
A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'
【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的
性质得出即可．
【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，
∴∠2＝∠1＝40°10'，
∵∠1+∠2+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，
∵入射光线l与出射光线m平行，
∴∠6＝∠5＝99°40'．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理推理是解此题的关键．6．（3分）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大
气压，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，你发现（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【分析】根据图中数据，进行分析确定答案即可．
【解答】解：海拔越高大气压越低，A选项不符合题意；
代值图中点（2，80）和（4，60），由横、纵坐标之积不同，说明图中曲线不是反比例函数的图
象，B选项不符合题意；
海拔为4千米时，图中读数可知大气压应该是60千帕左右，C选项不符合题意；
图中曲线表达的是大气压与海拔两个量之间的变化关系，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】考查读图，分析图中的数据，关键要读懂题意，会分析图中数据．
7．（3分）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万
吨，当月增速为6.6%（计算方法： ×100%≈6.6%）.2022年3月当月增速为﹣14.0%，
设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（ ）A． ×100%＝﹣14.0%
B． ×100%＝﹣14.0%
C． ×100%＝﹣14.0%
D． ×100%＝﹣14.0%
【分析】设2021年3月原油进口量为x万吨，根据2022年3月原油进口量比2021年3月
增速为﹣14.0%，得出2022年3月原油进口量比2021年3月增长了（4271﹣x）万吨，进而
根据增速不变列出方程即可．
【解答】解：设2021年3月原油进口量为x万吨，
由题意得： ×100%＝﹣14%．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程，能根据已知条件列出方程是解答本题的关键．
8．（3分）如图，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在 ABCD的边上，从点A
同时出发，分别▱沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长▱度的速度运动，到达点
C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关
系的图象是（ ）A． B．
C． D．
【分析】分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况，求出y与x之间函数关系，进而判断函数
图象．
【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，
当0≤x≤1时，如图1，
在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，
则FH＝AF•sinA＝ x，
∴线段EF扫过区域的面积y＝ x• x＝ x2，图象是开口向上的抛物线，
当1＜x≤2时，如图2，过点D作DP⊥AB于P，
则DP＝AD•sinA＝ ，
∴线段EF扫过区域的面积y＝ ×（x﹣1+x）× ＝ x﹣ ，图象是y随x的增大而
增大的线段，
当2＜x≤3时，如图3，
过点E作EG⊥CD于G，
则CE＝CF＝3﹣x，
∴EG＝ （3﹣x），∴线段EF扫过区域的面积y＝2× ﹣ ×（3﹣x）× （3﹣x）＝ ﹣ （3﹣x）2，图
象是开口向下的抛物线，
故选：A．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息
广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决
问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分.每小题的四个选项中，有多项正确，全部选
对得3分，部分选对得2分，有错选的得0分）
（多选）9．（3分）小莹所在班级10名同学的身高数据如表所示．
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高（cm） 165 158 168 162 174 168 162 165 168 170
下列统计量中，能够描述这组数据集中趋势的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【分析】根据平均数，中位数，众数的定义，可得答案．
【解答】解：由定义知，平均数，中位数，众数都可以描述数据的集中趋势，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了平均数，中位数，众数的定义，掌握平均数，中位数，众数都可以描
述数据的集中趋势是解题的关键．
（多选）10．（3分）利用反例可以判断一个命题是错误的，下列命题错误的是（ ）A．若ab＝0，则a＝0
B．对角线相等的四边形是矩形
C．函数y＝ 的图象是中心对称图形
D．六边形的外角和大于五边形的外角和
【分析】由等式的性质、矩形的判定、反比例函数的图象以及多边形的外角和分别对各个
选项进行判断即可．
【解答】解：A、若ab＝0，则a＝0或b＝0，故选项A符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B符合题意；
C、函数y＝ 的图象是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、六边形的外角和＝五边形的外角和＝360°，故选项D符合题意；
故选：ABD．
【点评】本题考查了矩形的判定、等式的性质、反比例函数的图象以及多边形的外角和等
知识，解题的关键是正确利用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（多选）11．（3分）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
A．| |＞1 B．﹣a＜b C．a﹣b＞0 D．﹣ab＞0
【分析】根据数轴上a、b与原点O的位置可以判断出数a、b的正、负，再进行判断即可．
【解答】解：由图可知a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴| |＞1，﹣a＞b，a﹣b＜0，﹣ab＞0，
∴A、D符合题意．
故选：AD．
【点评】考查绝对值的相关知识、数轴图象的基本知识、相反数的概念，关键是熟练掌握数
轴的相关知识和概念．
（多选）12．（3分）如图，△ABC的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接
EF，DE，DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于G，H两点；分别以点
G，H为圆心，以大于 GH的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP．下列说法正确
的是（ ）A．射线BP一定过点O
B．点O是△DEF三条中线的交点
C．若△ABC是等边三角形，则DE＝ BC
D．点O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据基本尺规作图、三角形的内心的定义、外心的定义、等边三角形的性质判断即
可．
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC三个内角平分线的交点，
由尺规作图可知，射线BP是∠ABC的平分线，
∴射线BP一定过点O，故A选项说法正确，符合题意；
点O是△DEF三边垂直平分线的交点，故B、D选项说法错误，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，
∴点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC，故C选项说法正确，符合题意；
故选：AC．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、内切圆与内心，掌握三角形的外心和内心
的定义、基本尺规作图是解题的关键．
三、填空题（共4小题，每小题3分，共12分.只写最后结果）
13．（3分）方程组 的解为 ．
【分析】由第一个方程得4x+6y＝26，由第二个方程得9x﹣6y＝0，两个方程相加消去y，解
出x，再进一步解出y即可．
【解答】解： ，由①×2得4x+6y＝26③，
由②×3得9x﹣6y＝0④，
由③+④得13x＝26，
解得x＝2，
将x＝2代入②得3×2﹣2y＝0，
解得y＝3，
所以原方程组的解为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一
个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两
个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
14．（3分）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB
恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．
【分析】由第①次折叠知△AD'B'是等腰直角三角形，由第②次折叠知，AB＝AB'，从而解
决问题．
【解答】解：由第②次折叠知，AB＝AB'，
由第①次折叠知，∠B'AB＝45°，
∴△AD'B'是等腰直角三角形，
∴AB'＝ AD'，
∴AB与宽AD的比值为 ，
故答案为： ，
【点评】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻
折的性质是解题的关键．
15．（3分）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如
图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形
A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 4 ．
π【分析】如图，连接B′D′．利用相似多边形的性质求出正方形A′B′C′D′的面积，求
出边长，再求出B′D′可得结论．
【解答】解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．
∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，
又∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形A′B′C′D′的面积为16，
∴A′B′＝A′D′＝4，
∵∠B′A′D′＝90°，
∴B′D′＝ A′B′＝4 ，
∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4 ，
故答案为：4 ． π
【点评】本题考查π位似变换，相似多边形的性质，圆的周长等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋
转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为 （﹣ ， +1 ） ．【分析】过B'作B'D⊥y轴于D，连接OB，OB'，根据边长为2个单位长度的正方形ABCO绕
原点O逆时针旋转75°，得∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝2 ，即知∠B'OD＝
30°，可得B'（﹣ ， ），又再沿y轴方向向上平移1个单位长度，故B''（﹣ ，
+1）．
【解答】解：过B'作B'D⊥y轴于D，连接OB，OB'，如图：
∵边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，
∴∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝2 ，
∴∠B'OD＝30°，
∴B'D＝ OB'＝ ，OD＝ B'D＝ ，
∴B'（﹣ ， ），
∵再沿y轴方向向上平移1个单位长度，
∴B''（﹣ ， +1），
故答案为：（﹣ ， +1）．
【点评】本题考查正方形的旋转和平移变换，解题的关键是掌握旋转、平移变换的性质及
正方形的性质．
四、解答题（共7小题，共72分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面
积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
【分析】根据圆锥侧面积公式S＝ rl计算即可．
【解答】解：小亮的说法不正确．π
设直角三角尺三边长分别为BC＝a，AC＝ a，AB＝2a，
∴甲圆锥的侧面积：S甲 ＝ •BC•AB＝ ×a×2a＝2 a2．
乙圆锥的侧面积：S乙 ＝ •πAC•AB＝ ×π a×2a＝π2 a2，
∴S甲 ≠S乙 ， π π π
∴小亮的说法不正确．
【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练运用圆锥的侧面积公式S侧 ＝ rl是解题的关键．
π
18．（11分）（1）在计算 时，小亮的计算过程如下：
解：
＝
＝
＝﹣2
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③
的格式写在横线上，并依次标注序号：
①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；④ tan30 ° ＝ ； ⑤ （﹣ 2 ） ﹣ 2 ＝ 2 2 ； ⑥ （﹣ 2 ） 0 ＝ 0 ．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值： ，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂的定义，零指数幂性质解答即可；
（2）根据分式的运算法则，一元二次方程的解法解答即可．
【解答】解：（1）④tan30°＝ ；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0，
原式＝ ，
＝28，
故答案为：④tan30°＝ ；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0；28；
（2）原式＝（ ）• ，
＝ × ，
＝ ，
∵x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，
分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，
所以x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∵x≠3，
∴当x＝﹣1时，原式＝ ．
【点评】此题考查了实数的运算，解一元二次方程﹣因式分解法，分式的混合运算，熟练掌
握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
19．（11分）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请
用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．
样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：样本学生成绩 平 方差 中 众
均 位 数
数 数
甲 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66
校
乙 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b
校
表中a＝ 7 9 ；b＝ 7 6 ．
请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测
试成绩．
【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生
分为3组，制成频数分布直方图，如图所示．
A组：0＜x≤20；B组：20＜x≤40；C组：40＜x≤60．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示
该组的平均数）．
【监测反思】
①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙
两校总体语文素养水平可行吗？为什么？
【分析】【学科测试】根据中位数和众数的概念分析求解，然后结合平均数，中位数，众数，
方差的意义进行分析评判；
【问卷调查】根据平均数的计算公式分析计算；
【监测反思】①根据表格中的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的
相关性；②统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小．
【解答】解：【学科测试】
学科测试：设3套不同的试卷分别为1、2、3，列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
一共有9种等可能情况，而满足题意的有三种情况，
∴小亮、小莹作答相同试卷的概率为 ；
将甲校样本学生成绩从小到大排序为：50，66，66，66，78，80，81，82，83，94，
位于第5个和第6个的数据分别是78和80，
∴a＝ ＝79，
在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是76，
∴b＝76，
故答案为：79，76，
由题意，甲乙两校平均数相同，乙校方差小于甲校，
∴乙校成绩更加稳定；
【问卷调查】由题意，甲校学生阅读课外书的平均数量为 ＝32（本）
乙校学生阅读课外书的平均数量为 ＝30（本）；
【监测反思】
①甲校样本学生阅读课外书的平均数量为32本，乙校样本学生阅读课外书的平均数量
为30本；
从语文测试成绩来看：甲乙平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比
乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；
从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整体来看，三个组的人数
差别较大，没有乙校的平稳；
综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外阅读量；
②甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、
乙两校总体语文素养水平，因为W市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而
甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评
估全校2000 多人的成绩．
【点评】本题考查了频数分布直方图和数据统计表，统计调查，解题的关键在于能结合频数分布直方图和数据统计表分析学生的成绩．
20．（12分）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O
处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作
出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明
△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
请你证明：AG＝BH．
【迁移应用】
延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接
HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．
【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明
△BHE≌△AGF（SAS），得BH＝AG；
【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而
∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；
【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角
形，AO⊥BC，可得OB＝ AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有 ＝ ＝ ＝ ，∠BTO＝∠AKO，又OH＝ GO，可得
＝ ＝ ，故△BTH∽△AKG，即得 ＝ ＝ ，BH＝ AG．
【解答】【情境再现】
证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，
∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，
∴∠BEH＝∠AFG，
∵OH＝OG，
∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，
在△BHE和△AGF中，
，
∴△BHE≌△AGF（SAS），
∴BH＝AG；
【迁移应用】
解：猜想：DG⊥BH；证明如下：
由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，
∴∠BHE＝∠AGF，
∵∠HOG＝90°，
∴∠AGF+∠GPO＝90°，
∴∠BHE+∠GPO＝90°，
∵∠GPO＝∠HPD，
∴∠BHE+∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝90°，
∴DG⊥BH；
【拓展延伸】
解：猜想：BH＝ AG，证明如下：
设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝ AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，
∴△BOT∽△AOK，
∴ ＝ ＝ ＝ ，∠BTO＝∠AKO，
∴OT＝ OK，BT＝ AK，∠BTH＝∠AKG，
∵OH＝ GO，
∴HT＝OH﹣OT＝ GO﹣ OK＝ （GO﹣OK）＝ KG，
∴ ＝ ＝ ，
∴△BTH∽△AKG，
∴ ＝ ＝ ，
∴BH＝ AG．
【点评】本题考查三角形综合应用，解题的关键是掌握全等三角形判定与性质定理，相似
三角形判定与性质定理的应用．
21．（10分）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．
小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号
田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝ （m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模
型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
（1）小莹认为不能选y＝ （m＞0）．你认同吗？请说明理由；
（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变
化趋势，并求出函数表达式；
（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最
大是多少？
【分析】（1）由当m＞0时，y＝ 的性质可得答案；
（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为y＝kx+b（k＞0），②号田为
y＝﹣0.1x2+ax+c，用待定系数法可得模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1，模拟①号田
的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1；
（3）设①号田和②号田总年产量为w吨，w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝
﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）认同，理由是：当m＞0时，y＝ 中，y随x的增大而减小，而从图中描点可
知，x增大y随之增大，故不能选y＝ （m＞0）；
（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为y＝kx+b（k＞0），②号田为
y＝﹣0.1x2+ax+c，
把（1，1.5），（2，2.0）代入y＝kx+b得：
，
解得 ，
∴y＝0.5x+1；
把（1，1.9），（2，2.6）代入y＝﹣0.1x2+ax+c得：
，
解得 ，∴y＝﹣0.1x2+x+1，
答：模拟①号田的函数表达式为 y＝0.5x+1，模拟②号田的函数表达式为 y＝﹣
0.1x2+x+1；
（3）设①号田和②号田总年产量为w吨，
由（2）知，w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625，
∵﹣0.1＜0，抛物线对称轴为直线x＝7.5，而x为整数，
∴当x＝7或8时，w取最大值，最大值为7.6，
答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨．
【点评】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数，
反比例函数，二次函数的性质．
22．（10分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高
则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻
至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为 O， O与直线PQ交于P，Q
两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连⊙接A⊙B，AC．
（1）求证：AD为 O的切线；
（2）筒车的半径为3⊙m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车
在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值： ≈1.4， ≈1.7）．
【分析】（1）连接AO，并延长交 O于G，连接BG，利用直径所对的圆周角为直角得
∠BAG+∠AGB＝90°，再说明△DA⊙B∽△DCA，得∠DAB＝∠ACB，从而证明结论；
（2）当水面到GH时，作OM⊥GH于M，通过导角得出∠AGM＝45°，则OM＝ OG＝
，从而解决问题．【解答】（1）证明：连接AO，并延长交 O于G，连接BG，
⊙
∴∠ACB＝∠AGB，
∵AG是直径，
∴∠ABG＝90°，
∴∠BAG+∠AGB＝90°，
∵AD2＝BD•CD，
∴ ，
∵∠ADB＝∠CDA，
∴△DAB∽△DCA，
∴∠DAB＝∠ACB，
∴∠DAB＝∠AGB，
∴∠DAB+∠BAG＝90°，
∴AD⊥AO，
∵OA是半径，
∴AD为 O的切线；
（2）解：⊙当水面到GH时，作OM⊥GH于M，
∵CA＝CB，∠C＝30°，∴∠ABC＝75°，
∵AG是直径，
∴∠ABG＝90°，
∴∠CBG＝15°，
∵BC∥GH，
∴∠BGH＝∠CBG＝15°，
∴∠AGM＝45°，
∴OM＝ OG＝ ，
∴筒车在水面下的最大深度为3﹣ ≈0.9（m）．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰直
角三角形的性质等知识，得出∠AGM＝45°是解题的关键．
23．（13分）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表
达式．
【观察发现】
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
【思考交流】
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
【概括表达】
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的
图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．【分析】由题意写出一个符合条件的函数解析式即可；
【观察发现】画出一个符合条件的函数图象即可；
【思考交流】由题意可知抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是
y轴，抛物线的图象不一定在x轴的下方；
【概括表达】由题意可知a﹣b+c＝﹣1且a＜0，①当对称轴在y轴右侧时，即b＞0，此时
顶点在x轴上或x轴下方， 解得0＜b≤2+2 ，令 ＝t，则2a+2
＝﹣2（t﹣ ）2+ ≤ ，可得0＜b≤ ；②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，b≤0，只需保
与y轴交点在x轴上或x轴下方，此时 c≤0．
【解答】解：y＝﹣x2（答案不唯一）；
【观察发现】
如图：
【思考交流】
我不认同他们的说法，理由如下：
∵抛物线的对称轴为x＝﹣ ，a＜0，
∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴，例如：y＝﹣x2；
∴小亮的说法不正确；
∵抛物线y＝﹣x2经过x轴，
∴小莹的说法不正确；
【概括表达】
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵经过点（﹣1，﹣1），
∴a﹣b+c＝﹣1且a＜0，
①当对称轴在y轴右侧时，即b＞0，此时顶点在x轴上或x轴下方，
∴ ，
∴b2﹣4ab+4a2+4a≤0，
将不等式看作关于b的不等式，则有Δ＝16a2﹣16a2﹣16a＝﹣16a≥0，
∴2a﹣2 ≤b≤2a+2 ，
∴0＜b≤2a+2 ，
令 ＝t，则2a+2 ＝﹣2t2+2t＝﹣2（t﹣ ）2+ ，
∵t≥0，
∴当t＝ 时，2a+2 ≤ ，
∴0＜b≤ ；
②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，b≤0，只需保证与y轴交点在x轴上或x轴下方，
∴c≤0；
综上所述：当b＞0时，a＜0，0＜b≤ ；当b≤0时，c≤0；且a﹣b+c＝﹣1．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合题意，画出
函数图象是解题的关键．
