文档内容
2022年山东省烟台市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D
四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1．（3分）﹣8的绝对值是（ ）
A． B．8 C．﹣8 D．±8
2．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+a＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．a5﹣a3＝a2 D．a3÷a2＝a
4．（3分）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
6．（3分）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）A． B． C． D．1
7．（3分）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏
东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第
3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）
A．（2 ）5 B．（2 ）6 C．（ ）5 D．（ ）6
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣ ，且与
x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x
的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
10．（3分）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间（t 秒）的关系图象如图
所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）把x2﹣4因式分解为 ．
12．（3分）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置
用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 ．
13．（3分）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 ．
14．（3分）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小
王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），
使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于 24的算式
．15．（3分）如图，A，B是双曲线y＝ （x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点
C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值
为 ．
16．（3分）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），
DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为
y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为
．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（6分）求不等式组 的解集，并把它的解集表示在数轴上．
18．（6分）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点
▱E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
19．（8分）2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通
知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校
外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体
育活动时间分A，B，C，D四组整理如下：
组别 体育活动时间/分钟 人数
A 0≤x＜30 10
B 30≤x＜60 20
C 60≤x＜90 60
D x≥90 10
根据以上信息解答下列问题：
（1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；
（2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小
明本周内平均每天的校外体育活动时间；
（3）若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人
数．
20．（8分）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀
分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖
边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°）
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（已精
确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
21．（8分）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜
爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的
2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000
元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？
22．（10分）如图， O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙ O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下⊙，若AB与切线AD所夹的锐角为75°， O的半径为2，求BC的长．
⊙23．（12分）【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直
接写出 的值．
【拓展提升】
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ．连接
BD，CE．
（1）求 的值；
（2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
24．（14分）如图，已知直线y＝ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c
经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最
大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以
AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．2022年山东省烟台市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D
四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1．（3分）﹣8的绝对值是（ ）
A． B．8 C．﹣8 D．±8
【分析】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
【解答】解：∵﹣8是负数，﹣8的相反数是8
∴﹣8的绝对值是8．
故选B．
【点评】本题考查绝对值的定义．
2．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+a＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．a5﹣a3＝a2 D．a3÷a2＝a
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一即可解答．【解答】解：A、2a+a＝3a，故A不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；
C、a5与a3不能合并，故C不符合题意；
D、a3÷a2＝a，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算
法则是解题的关键．
4．（3分）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看，可得如图：
故选：A．
【点评】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
5．（3分）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角
的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
【解答】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180，
解得：x＝45，360°÷45°＝8（边），
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题
的关键．
6．（3分）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果
有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把S 、S 、S 分别记为A、B、C，
1 2 3
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、
AC、BA、CA，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为 ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
7．（3分）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏
东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得
∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE
＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关
键．
8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）
A．（2 ）5 B．（2 ）6 C．（ ）5 D．（ ）6
【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的 ．第1个正方形的边长为1，其对
角线长为 ；第2个正方形的边长为 ，其对角线长为（ ）2；第3个正方形的边长为
（ ）2，其对角线长为（ ）3；•••；第n个正方形的边长为（ ）n﹣1.所以，第6个正方形
的边长（ ）5．
【解答】解：由题知，第1个正方形的边长AB＝1，
根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC＝ ，
根据勾股定理得，第3个正方形的边长CF＝（ ）2，
根据勾股定理得，第4个正方形的边长GF＝（ ）3，
根据勾股定理得，第5个正方形的边长GN＝（ ）4，
根据勾股定理得，第6个正方形的边长＝（ ）5．
故选C．
【点评】本题利用勾股定理找到相邻两个正方形的边长之间的根号2倍关系，由此依次推
出第2个、第3个、•••、第6个正方形的边长．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣ ，且与
x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x
的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后
将由对称轴可知a＝b．图象过（﹣2，0）代入二次函数中可得4a﹣2b+c＝0．再由二次函数
最小值小于0，从而可判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解．
【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0， ＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知： ＝﹣ ，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c
的数量关系，本题属于基础题型．
10．（3分）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练
习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间（t 秒）的关系图象如图
所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所走路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所走路程之和（400n﹣200）米，列方程求出n的值，即可得答案．
【解答】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120＝ （米/秒）和200÷100＝2（米/秒），
∴20分钟父子所走路程和为20×60×（ +2）＝6400（米），
父子二人第一次迎面相遇时，两人所走路程之和为200米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所走路程之和为200×2+200＝600（米），
父子二人第三次迎面相遇时，两人所走路程之和为400×2+200＝1000（米），
父子二人第四次迎面相遇时，两人所走路程之和为600×2+200＝1400（米），
…
父子二人第n次迎面相遇时，两人所走路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，
令400n﹣200＝6400，
解得n＝16.5，
∴父子二人迎面相遇的次数为16，
故选：B．
【点评】本题考查函数图象的应用，解题的关键是求出父子二人第n次迎面相遇时，两人所
走路程之和（400n﹣200）米．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）把x2﹣4因式分解为 （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
12．（3分）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置
用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 （ 4 ， 1 ） ．
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：“帅”所在的位置：（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点评】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
13．（3分）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 1 3 ．
【分析】根据题意可得，把x＝﹣5，y＝3代入 （x2+y0）进行计算即可解答．
【解答】解：当x＝﹣5，y＝3时，
（x2+y0）
＝ ×[（﹣5）2+30]
＝ ×（25+1）
＝ ×26
＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（3分）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小
王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），
使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于 24的算式
5×6 ﹣ 2×3 （答案不唯一） ．【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
5×6﹣2×3
＝30﹣6
＝24，
故答案为：5×6﹣2×3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是
解题的关键．
15．（3分）如图，A，B是双曲线y＝ （x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点
C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值
为 6 ．
【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解．
【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，
所以△AOC的面积为6，
所以k＝12＝2m．
解得：m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用△AOD的面积转化为三角形
AOC的面积．16．（3分）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），
DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为
y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为
2 ．
【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时， BDEF的面积为
3，则此时BF＝ ，AB＝2BF，即可解决问题． ▱
【解答】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时， BDEF的面积为3，
▱
∵3＝2FH，
∴FH＝ ，
∵∠ABC＝60°，
∴BF＝ ＝ ，
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝2 ，
故答案为：2 ．【点评】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊
角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（6分）求不等式组 的解集，并把它的解集表示在数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解： ，
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
∴不等式组的解集为：1≤x＜4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，掌握“同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
18．（6分）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点
E．若∠A＝40°，▱求∠ABE的度数．
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∵DF平分∠ADC，∴∠CDF＝ ADC＝70°，
∴∠AFD＝∠CDF＝70°，
∵DF∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝70°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四
边形的性质是解题的关键．
19．（8分）2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通
知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校
外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体
育活动时间分A，B，C，D四组整理如下：
组别 体育活动时间/分钟 人数
A 0≤x＜30 10
B 30≤x＜60 20
C 60≤x＜90 60
D x≥90 10
根据以上信息解答下列问题：
（1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；
（2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小
明本周内平均每天的校外体育活动时间；
（3）若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人
数．
【分析】（1）用扇形统计图表示各组人数占所调查人数的百分比；
（2）根据平均数的计算方法进行计算即可；（3）样本估计总体，求出样本中每天校外体育活动时间不少于1小时的学生占比即可．
【解答】解：（1）由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图；
（2） ＝64（分），
答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为64分钟；
（3）1400× ＝980（名），
答：该校1400名学生中，每天校外体育活动时间不少于1小时的大约有980名．
【点评】本题考查统计图的选择，频数分布表以及平均数，掌握各种统计图的特点以及加
权平均数的计算方法是正确解答的前提．
20．（8分）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀
分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖
边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小
于多少度？（结果精确到1°）
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（已精
确到0.001）11.310
0.003
14.744
0.005
【分析】根据题意可得DF＝ AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，
CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可
解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
DF＝ AB＝0.15（米），
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝ ＝ ＝ ，
查表可得，∠AEB≈11.310°，
∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．
21．（8分）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜
爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的
2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000
元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？【分析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）
元，利用数量＝总价÷单价，结合用96000元购进A型扫地机器人的数量等于用168000元
购进B型扫地机器人的数量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A
型扫地机器人的进价，再将其代入（2x﹣400）中即可求出每个B型扫地机器人的进价．
【解答】解：设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣
400）元，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝1600，
经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800．
答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（10分）如图， O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙ O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下⊙，若AB与切线AD所夹的锐角为75°， O的半径为2，求BC的长．
⊙
【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．证明∠ACB＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝
120°，求出CH可得结论．
【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝ ∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cos30°＝ ，
∴BC＝2 ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外接圆，切线的判定和性质，解直角三角形等
知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（12分）【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直
接写出 的值．
【拓展提升】
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ．连接
BD，CE．
（1）求 的值；
（2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【分析】【问题呈现】证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
【类比探究】证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
【拓展提升】（1）先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
（2）在（1）的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【解答】【问题呈现】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
【类比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ ＝ ＝ ，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴ ＝ ＝ ；
【拓展提升】解：（1）∵ ＝ ＝ ，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE， ，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴ ＝ ＝ ；
（2）由（1）得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC＝ ＝ ．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质
等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
24．（14分）如图，已知直线y＝ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c
经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最
大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以
AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三
角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐
标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时， x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣ （x﹣1）•（x+3）＝﹣ x2﹣ x+4；
（2）如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣ ﹣ m+4），E（m， m+4），
∴DE＝﹣ ﹣ m+4﹣（ m+4）＝﹣ m2﹣4m，
∴S△ADC ＝ OA＝ •（﹣ m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC ＝ ＝ ＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+ ）2+ ，
∴当m＝﹣ 时，S最大 ＝ ，
当m＝﹣ 时，y＝﹣ ＝5，
∴D（﹣ ，5）；
（3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如
下：
设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝ ，
∴P（﹣1， ），
∵x +x ＝x +x ，y +y ＝y +y
P Q A C P Q A C
∴x ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，y ＝4﹣ ＝ ，
Q Q
∴Q（﹣2， ）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是
熟练掌握相关二次函数和菱形性质．
