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2022年山东省淄博市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
2．（5分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图
形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校
初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 3 4 8 5
课外书数量（本） 12 13 15 18
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，155．（5分）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE
＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．30°
6．（5分）下列分数中，和 最接近的是（ ）
π
A． B． C． D．
7．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长
度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD
＝3，则BD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（5分）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
9．（5分）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工
具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，
已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二
次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．D． ＝
10．（5分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点
F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）
A．16 B．6 C．12 D．30
11．（5分）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣
4n+9的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点
E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
13．（4分）要使根式 有意义，则a的取值范围是 ．
14．（4分）分解因式：x3﹣9x＝ ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A B C 的位置．若顶点A（﹣3，4）的
1 1 1
对应点是A （2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B 的坐标是 ．
1 116．（4分）计算： ＝ ．
17．（4分）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时
针旋转90°得点D ，再将D 绕点B逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点C逆时针旋转
1 1 2 2
90°得点D ，再将D 绕点D逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点A逆时针旋转90°得点
3 3 4 4
D ……依此类推，则点D 的坐标是 ．
5 2022
三、解答题：本大题共7个小题，共70分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）解方程组： ．
19．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，
CE．求证：BD＝CE．20．（10分）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝ 相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C
（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞ 的解集．
21．（10分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”
“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优
化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必
须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完
整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角
是 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求
出两人恰好选到同一门课程的概率．22．（10分）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白
杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打
算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E
的俯角为16°．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到 0.01
米）；若不能，说明理由．
解答过程中可直接选用表格中的数据哟！
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.156
0.158
0.276
0.28723．（12分）已知△ABC是 O的内接三角形，∠BAC的平分线与 O相交于点D，连接DB．
（1）如图①，设∠AB⊙C的平分线与AD相交于点I，求证：B⊙D＝DI；
（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是 O的切线；
（3）如图③，设弦BD，AC延长后交 O外一点F，过F⊙作AD的平行线交BC的延长线于
点G，过G作 O的切线GH（切点⊙为H），求证：FG＝HG．
⊙
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D
（1，4）在直线l：y＝ x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E
关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出
这个四边形的面积；若变化，说明理由．2022年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
【分析】根据相反数的定义求出a的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵实数a的相反数是﹣1，
∴a＝1，
∴a+1＝2．
故选：A．
【点评】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（5分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋
转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿
一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（5分）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图
形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，“Z”字两端是对面，即
可解答．
【解答】解：A、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一
个四字成语，故A不符合题意；
B、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，
故B不符合题意；
C、因为金与题是相对面，榜与名是相对面，所以正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四
字成语金榜题名，故C符合题意；
D、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相
对面的方法是解题的关键．
4．（5分）小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校
初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 3 4 8 5
课外书数量（本） 12 13 15 18
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15
【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．【解答】解：中位数为第10个和第11个的平均数 ＝15，众数为15．
故选：D．
【点评】本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握中位数和众数的概念．
5．（5分）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE
＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．30°
【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的
性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BAE＝50°，
∵CF＝EF，
∴∠C＝∠E，
∵∠DFE＝∠C+∠E，
∴∠C＝ ∠DFE＝ ×50°＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的
性质是解题的关键．
6．（5分）下列分数中，和 最接近的是（ ）
A． B．π C． D．
【分析】把分数化小数，用分数的分子除以分母即得小数商；据此先分别把每个选项中的
分数化成小数，进而比较得解．
【解答】解： 3.1416；
3.1408；＝3.14；
≈3.1428，
因为 ≈3.1416，
π
所以和 最接近的是 ．
π
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握分数化为小数的方法是解题的关键．
7．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长
度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD
＝3，则BD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】连接AD，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠B＝∠C＝
30°，再由作法得DE垂直平分AC，所以DA＝DC＝3，所以∠DAC＝∠C＝30°，从而得到
∠BAD＝90°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求BD的长．
【解答】解：连接AD，如图，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
由作法得DE垂直平分AC，
∴DA＝DC＝3，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝6．
故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了
线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
8．（5分）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【解答】解：原式＝4a6b2﹣3a6b2＝a6b2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，关键是熟记法则．
9．（5分）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工
具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，
已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二
次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． ＝
【分析】根据题目中的数据和两次购买的数量相同，可以列出相应的分式方程．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关
系，列出相应的分式方程．
10．（5分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点
F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）A．16 B．6 C．12 D．30
【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，
AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝
∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从
而得到AC＝2 ，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
【解答】解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE＝2，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝2，
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝4，
∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOC中，OC＝ ＝ ，
∴AC＝2OC＝2 ，
∴菱形ABCD的面积＝ AC•BD＝ ×2 ×6＝6 ．
故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ ab（a、b是
两条对角线的长度）．
11．（5分）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣
4n+9的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）2≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键是
学会利用配方法解决问题．
12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点
E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．证明△IDT≌△IDE（AAS），推
出DE＝DT，IT＝IE，证明Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），推出BE＝CT，设BE＝CT＝x，根据
DE＝DT，可得10﹣x＝x﹣4，求出x即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．
∵I是△ABD的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，
∵AB＝AC，AI＝AI，
∴△BAI≌△CAI（SAS），
∴IB＝IC，
∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，
∴△IDT≌△IDE（AAS），
∴DE＝DT，IT＝IE，
∵∠BEI＝∠CTI＝90°，
∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），
∴BE＝CT，
设BE＝CT＝x，
∵DE＝DT，
∴10﹣x＝x﹣4，
∴x＝7，
∴BE＝7．故选：B．
【点评】本题考查三角形的内心，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
13．（4分）要使根式 有意义，则a的取值范围是 a ≥ 5 ．
【分析】由a﹣5≥0，即可求解．
【解答】解：∵a﹣5≥0，
∴a≥5，
故答案为：a≥5．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题
的关键．
14．（4分）分解因式：x3﹣9x＝ x （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A B C 的位置．若顶点A（﹣3，4）的
1 1 1
对应点是A （2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B 的坐标是 （ 1 ， 3 ） ．
1 1
【分析】根据点A（﹣3，4）的对应点是A（2，5），可得点A向右平移5个单位，向上平移1
1
个单位至A ，进而可以解决问题．
1
【解答】解：∵点A（﹣3，4）的对应点是A （2，5），
1
∴点B（﹣4，2）的对应点B 的坐标是（1，3）．
1
故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．16．（4分）计算： ＝ ﹣ 2 ．
【分析】先变形，再根据分式的加减法则求出即可．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝
＝
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用运算法则进行化简是解此题的关键．
17．（4分）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时
针旋转90°得点D ，再将D 绕点B逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点C逆时针旋转
1 1 2 2
90°得点D ，再将D 绕点D逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点A逆时针旋转90°得点
3 3 4 4
D ……依此类推，则点D 的坐标是 （﹣ 202 3 ， 202 2 ） ．
5 2022
【分析】如图，过点D 作D E⊥y轴于E，过点D 作D F⊥x轴于F，过点D 作D G⊥y轴
1 1 2 2 3 3
于G，过点D 作D H⊥x轴于H，过点D K作D K⊥y轴于K，可得D（1，2），D（﹣3，2），
4 4 5 5 1 2
D（﹣3，﹣4），D（5，﹣4），D（5，6），D（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，
3 4 5 6
D（4n+1，﹣4n），D （4n+1，4n+2），D （﹣4n﹣3，4n+2），D （﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），
4n 4n+1 4n+2 4n+3
由2022＝505×4+2，推出D （﹣2023，2022）．
2022
【解答】解：如图，过点D 作D E⊥y轴于E，过点D 作D F⊥x轴于F，过点D 作D G⊥y
1 1 2 2 3 3
轴于G，过点D 作D H⊥x轴于H，过点D K作D K⊥y轴于K，
4 4 5 5∵正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，D（1，0），
∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝BC＝CD＝AD＝ ，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO
＝45°，
∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），
∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D ，
1
∴∠D AE＝45°，∠AED ＝90°，AD ＝AD＝ ，
1 1 1
∴AE＝AD •cos∠D AE＝ cos45°＝1，D E＝AD •sin∠D AE＝ sin45°＝1，
1 1 1 1 1
∴OE＝OA+AE＝1+1＝2，BD ＝AB+BD ＝ + ＝2 ，
1 1
∴D （1，2），
1
∵再将D 绕点B逆时针旋转90°得点D ，
1 2
∴∠D BF＝45°，∠D FB＝90°，BD ＝BD ＝2 ，
2 2 2 1
∴D F＝BD sin∠D BF＝2 sin45°＝2，BF＝BD cos∠D BF＝2 cos45°＝2，
2 2 2 2 2
∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，
∴D （﹣3，2），
2
再将D 绕点C逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点D逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕
2 3 3 4 4
点A逆时针旋转90°得点D ……
5
同理可得：D （﹣3，﹣4），D （5，﹣4），D （5，6），D （﹣7，6），……，
3 4 5 6
观察发现：每四个点一个循环，D （4n+1，﹣4n），D （4n+1，4n+2），D （﹣4n﹣3，
4n 4n+1 4n+2
4n+2），D （﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），
4n+3
∵2022＝4×505+2，
∴D （﹣2023，2022）；
2022
故答案为：（﹣2023，2022）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题：本大题共7个小题，共70分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）解方程组： ．
【分析】利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：整理方程组得 ，
①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，
y＝1，
把y＝1代入①得x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元
一次方程组．
19．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，
CE．求证：BD＝CE．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB
全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠DCB，
在△EBC与△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴BD＝CE．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用SAS证明△EBC与△DCB全等解
答．
20．（10分）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝ 相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C
（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞ 的解集．
【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）直线AC：y＝﹣ x+ 与双曲线：y＝ （x＞0）相交于A（1，2），B两点，联立方程组，求
出点B的坐标为（3， ），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【解答】解：（1）将A（1，2），C（4，0）代入y＝kx+b，
得 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣ x+ ，
将A（1，2）代入y＝ （x＞0），
得m＝2，∴双曲线的解析式为y＝ （x＞0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝﹣ x+ 与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0， ），
∵直线AC：y＝﹣ x+ 与双曲线：y＝ （x＞0）相交于A（1，2），B两点，
∴ ，
∴ ， ，
∴点B的坐标为（3， ），
∴△AOB的面积＝ 4× ﹣ 4× ﹣ ×1＝ ；
（3）观察图象，
∵A（1，2），B（3， ），
∴当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞ 的解集是1＜x＜3．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和
反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性
较强．
21．（10分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”
“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优
化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必
须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完
整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 12 0 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 9 9 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求
出两人恰好选到同一门课程的概率．
【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生
人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果
有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°× ＝99°，
故答案为：120，99；
（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120× ＝18（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），
补全条形统计图如下：（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、
C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不
重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白
杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打
算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E
的俯角为16°．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到 0.01
米）；若不能，说明理由．
解答过程中可直接选用表格中的数据哟！
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）0.156
0.158
0.276
0.287
【分析】作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝
BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，在Rt△AEG中，有0.287＝ ，
AG≈11.48（米），即得HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，有0.158＝ ，得CH≈12.64
（米），故CD＝CH+HD＝37.00（米）．
【解答】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：
作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：
由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，在Rt△AEG中，
tan∠AEG＝ ，
∴tan16°＝ ，即0.287≈ ，
∴AG＝40×0.287＝11.48（米），
∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），
∴HD＝AB＝24.36米，
在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，
tan∠CAH＝ ，
∴tan9°＝ ，即0.158≈ ，
∴CH＝80×0.158＝12.64（米），
∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），
答：综合楼的高度约是37.00米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到三角函数的定义及矩
形性质和应用，准确作出辅助线是解答此题的关键．
23．（12分）已知△ABC是 O的内接三角形，∠BAC的平分线与 O相交于点D，连接DB．
（1）如图①，设∠AB⊙C的平分线与AD相交于点I，求证：B⊙D＝DI；
（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是 O的切线；
（3）如图③，设弦BD，AC延长后交 O外一点F，过F⊙作AD的平行线交BC的延长线于
点G，过G作 O的切线GH（切点⊙为H），求证：FG＝HG．
⊙
【分析】（1）根据角的和与外角的性质可得：∠BID＝∠DBI，从而得结论；
（2）根据垂径定理可得：OD⊥BC，再由BC∥DE可得结论；
（3）如图③，连接BH，CH，证明△HCG∽△BHG和△CGF∽△FGB，可得结论．
【解答】证明：（1）如图①，∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，
∴∠BID＝∠DBI，
∴BD＝DI；
（2）如图②，连接OD，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是 O的切线；
（3）如图⊙，作直径交 O于M，连接CM，BH，CH，
⊙∴∠MCH＝90°，
∴∠M+∠CHM＝90°，
∵∠B＝∠M，
∴∠B+∠CHM＝90°，
∵GH是 O的切线，
∴∠OHG⊙＝∠CHG+∠CHM＝90°，
∴∠CHG＝∠B，
如图③，连接BH，CH，
∵GH是 O的切线，
∴∠CHG⊙＝∠HBG，
∵∠CGH＝∠BGH，
∴△HCG∽△BHG，
∴ ＝ ，
∴GH2＝BG•CG，
∵AD∥GF，
∴∠AFG＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠FBG，
∴∠FBG＝∠AFG，
∵∠CGF＝∠BGF，∴△CGF∽△FGB，
∴ ＝ ，
∴FG2＝BG•CG，
∴FG＝HG．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，角平分线的定义，圆周角定理，三角形相
似的性质和判定等知识点，第三问有难度，证明△HCG∽△BHG和△CGF∽△FGB是解
此题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D
（1，4）在直线l：y＝ x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E
关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出
这个四边形的面积；若变化，说明理由．
【分析】（1）利用顶点式求解，可得结论；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．
四边形 DTBP 的面积＝△PDT 的面积+△PBT 的面积＝ ×DT×PN+ ×TB×PM＝
（PM+PN），推出四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，求出四边形DTBP的面
积的最大值，可得结论；（3）四边形AFBG的面积不变．如图，设P（m，﹣m2+2m+3），求出直线AP，BP的解析式，
可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D（1，4），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．
点D（1，4）在直线l：y＝ x+t上，
∴4＝ +t，
∴t＝ ，
∴直线DT的解析式为y＝ x+ ，
令y＝0，得到x＝﹣2，
∴T（﹣2，0），
∴OT＝2，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∴BT＝5，
∵DT＝ ＝5，
∴TD＝TB，
∵PM⊥BT，PN⊥DT，
∴四边形 DTBP 的面积＝△PDT 的面积+△PBT 的面积＝ ×DT×PN+ ×TB×PM＝
（PM+PN），
∴四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，
∵D（1，4），B（3，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，
∴J（m，﹣2m+6），
∴PJ＝﹣m2+4m﹣3，∵四边形DTBP的面积＝△DTB的面积+△BDP的面积
＝ ×5×4+ ×（﹣m2+4m﹣3）×2
＝﹣m2+4m+7
＝﹣（m﹣2）2+11
∵﹣1＜0，
∴m＝2时，四边形DTBP的面积最大，最大值为11，
∴PM+PN的最大值＝ ×11＝ ；
解法二：延长MP交直线l与点H，易得直线l：y＝ x+ ，
∴H（m， m+ ） 设直线l交x轴于点C，交y轴于点L，
∴C（﹣2，0），L（0， ），
∴CL＝ ，
∴sin∠CLO＝ ，
由LO∥HM，
∴∠NHM＝∠CLO，
∴sin∠NHM＝ ，
∴PH＝ m+ +m2﹣2m﹣3＝m2﹣ m﹣ ，∴PN＝ PH，
∴PM+PN＝﹣m2+2m+3+ （m2﹣ m﹣ ）＝﹣ （m﹣2）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴m＝2时，PM+PN的值最小，最小值为 ；
（3）四边形AFBG的面积不变．
理由：如图，设P（m，﹣m2+2m+3），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣3）x﹣m+3，
∴E（1，﹣2m+6），
∵E，G关于x轴对称，
∴G（1，2m﹣6），
∴直线PB的解析式y＝﹣（m+1）x+3（m+1），
∴F（1，2m+2），
∴GF＝2m+2﹣（2m﹣6）＝8，
∴四边形AFBG的面积＝ ×AB×FG＝ ×4×8＝16．
∴四边形AFBG的面积是定值．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的
关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
