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2022年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求）
1．（3分）实数a的绝对值是 ，a的值是（ ）
A． B．﹣ C．± D．±
2．（3分）如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3xy）2＝3x2y2 B．3x2+4x2＝7x4
C．t（3t2﹣t+1）＝3t3﹣t2+1 D．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝﹣1
4．（3分）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
5．（3分）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝ 进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数
法表示）为（ ）
A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s
6．（3分）关于x，y的方程组 的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（
）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
7．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的
值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（3分）“俭以养德”是中华民族的优秀传统，时代中学为了对全校学生零花钱的使用进行
正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行了统计，并根据调查结果绘
制了不完整的频数分布表和扇形统计图，如图所示：
组别 零花钱数额x/元 频数
一 x≤10
二 10＜x≤15 12
三 15＜x≤20 15
四 20＜x≤25 a
五 x＞25 5
关于这次调查，下列说法正确的是（ ）
A．总体为50名学生一周的零花钱数额
B．五组对应扇形的圆心角度数为36°
C．在这次调查中，四组的频数为6D．若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为1200人
9．（3分）如图，AB，CD是 O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，
则 的度数是（ ）⊙
A．30° B．25° C．20° D．10°
10．（3分）如图，在直角坐标系中，线段A B 是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度
1 1
后得到的△A B C 的一部分，则点C的对应点C 的坐标是（ ）
1 1 1 1
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）
11．（3分）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以
下结论错误的是（ ）
A．∠BAQ＝40° B．DE＝ BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°12．（3分）如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上
一点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的
坐标分别为（ ）
A．E（﹣ ， ），F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2）
C．E（﹣ ， ），F（0， ） D．E（﹣2，2），F（0， ）
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）
13．（3分）不等式组 的解集是 ．
14．（3分）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，
0，﹣1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，﹣2，﹣3．如果同时转动转盘A，B，转盘停止
时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需
重新转动转盘），那么点（x，y）落在直角坐标系第二象限的概率是 ．
15．（3分）若一个圆锥体的底面积是其表面积的 ，则其侧面展开图圆心角的度数为
．
16．（3分）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售
量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该
食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．17．（3分）如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆心为A ，以AA 为直径画半圆①；取
1 1
A B的中点A ，以A A 为直径画半圆②；取A B的中点A ，以A A 为直径画半圆③…按
1 2 1 2 2 3 2 3
照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）先化简，再求值： ÷（a﹣ ）﹣ ，其中a＝2sin45°+（ ）﹣1．
19．（8分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团
员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如
图所示：
（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．
众数 中位数 方差
八年级竞赛成 7 8 1.88
绩
九年级竞赛成 a 8 b
绩
①表中的a＝ ，b＝ ；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给
哪个年级颁奖？（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？
20．（8分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE
的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形
ADCF是菱形，证明你的结论．
21．（8分）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．
在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样
的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保
总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
22．（8分）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，
称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处
时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76（° 点B，H，D三点在
同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结
果精确到1米）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，
tan76°≈4.01）
23．（8分）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限内的图象交于点
A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝
px+3于点E，且S△AOB ：S△COD ＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．24．（10分）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作 O，与BC相
切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点⊙F，∠AOD＝
∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是 O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求⊙FD的长．
25．（12分）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着
射线DM方向平移到点D 且CD ＝2CD，得到新抛物线y ，y 交y轴于点N．如果在y 的
1 1 1 1 1
对称轴和y 上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边
1
形，求此时点Q的坐标．2022年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求）
1．（3分）实数a的绝对值是 ，a的值是（ ）
A． B．﹣ C．± D．±
【分析】根据绝对值的意义直接进行解答
【解答】解：∵|a|＝ ，
∴a＝± ．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个
数的绝对值．
2．（3分）如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是
（ ）
A． B．
C． D．【分析】根据左视图的定义解答即可．
【解答】解：从左边看该几何体它是一个斜边在左侧的三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的视图是左视图．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3xy）2＝3x2y2 B．3x2+4x2＝7x4
C．t（3t2﹣t+1）＝3t3﹣t2+1 D．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝﹣1
【分析】A、根据积的乘方与幂的乘方运算判断即可；B、根据合并同类项法则计算判断即可；
C、根据单项式乘多项式的运算法则计算判断即可；D、根据积的乘方与幂的乘方、同底数
幂的除法法则计算即可．
【解答】解：A、原式＝9x2y2，不合题意；
B、原式＝7x2，不合题意；
C、原式＝3t3﹣t2+t，不合题意；
D、原式＝﹣1，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查的是积的乘方与幂的乘方运算、合并同类项法则、单项式乘多项式的运
算、同底数幂的除法法则，掌握其运算法则是解决此题的关键．
4．（3分）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故
选项A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合
题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项C符合
题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平
分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
5．（3分）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝ 进行计算，其中a为子弹的加速
度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数
法表示）为（ ）
A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s
【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v＝ ，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：v＝ ＝ ＝8×102（m/s），
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法
的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以
及n的值．
6．（3分）关于x，y的方程组 的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（
）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
【分析】两个方程相减可得出x+y＝k﹣3，根据x+y≥5列出关于k的不等式，解之可得答案．
【解答】解：把两个方程相减，可得x+y＝k﹣3，
根据题意得：k﹣3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是掌握解一元
一次不等式的能力、不等式的基本性质等知识点．
7．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的
值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，
继而得出答案．【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝ ，
则x2+2x+1＝ ，即（x+1）2＝ ，
∴a＝1，b＝ ，
∴a+b＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
8．（3分）“俭以养德”是中华民族的优秀传统，时代中学为了对全校学生零花钱的使用进行
正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行了统计，并根据调查结果绘
制了不完整的频数分布表和扇形统计图，如图所示：
组别 零花钱数额x/元 频数
一 x≤10
二 10＜x≤15 12
三 15＜x≤20 15
四 20＜x≤25 a
五 x＞25 5
关于这次调查，下列说法正确的是（ ）
A．总体为50名学生一周的零花钱数额
B．五组对应扇形的圆心角度数为36°
C．在这次调查中，四组的频数为6
D．若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为1200人【分析】选项A根据“总体”的定义判定即可；选项B用360°乘“五组”所占的百分比，
即可求出对应的扇形圆心角的度数；选项C根据“频率＝频数÷总数”可得答案；选项D
利用样本估计总体即可．
【解答】解：总体为全校学生一周的零花钱数额，故选项A不合题意；
五组对应扇形的圆心角度数为：360°× ＝36°，故选项B符合题意；
在这次调查中，四组的频数为：50×16%＝8，故选项C不合题意；
若该校共有学生 1500 人，则估计该校零花钱数额不超过 20 元的人数约为：1500×
＝1110（人），故选项D不合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百
分比大小．
9．（3分）如图，AB，CD是 O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，
则 的度数是（ ）⊙
A．30° B．25° C．20° D．10°
【分析】根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：连接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠P＝30°，
∴∠BCD＝10°，
∴ 的度数是20°．
故选：C．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
10．（3分）如图，在直角坐标系中，线段A B 是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度
1 1
后得到的△A B C 的一部分，则点C的对应点C 的坐标是（ ）
1 1 1 1
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）
【分析】根据旋转的性质解答即可．
【解答】解：连接AP，A P．
1
∵线段A B 是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A B C 的一部分，
1 1 1 1 1
∴A的对应点为A ，
1
∴∠APA ＝90°，
1∴旋转角为90°，
∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的C 点的坐标为（﹣2，3），
1
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握对应点与旋转中心的连线是旋转角和旋转
角相等是解答本题的关键．
11．（3分）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以
下结论错误的是（ ）
A．∠BAQ＝40° B．DE＝ BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形
的性质判断即可．
【解答】解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP＝ ∠BAC＝40°，
故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝ BD，
故选项B正确，不符合题意；
C．∵∠B＝30°，∠BAP＝40°，
∴∠AFC＝70°，
∵∠C＝70°，
∴AF＝AC，
故选项C正确，不符合题意；D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°，
∴∠EQF＝20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角
三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
12．（3分）如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上
一点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的
坐标分别为（ ）
A．E（﹣ ， ），F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2）
C．E（﹣ ， ），F（0， ） D．E（﹣2，2），F（0， ）
【分析】作C（﹣2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y＝x+4的对称点
D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y＝x+4得A（﹣4，
0），B（0，4），∠BAC＝45°，根据C、D关于AB对称，可得D（﹣4，2），直线DG解析式为y
＝﹣ x+ ，即可得F（0， ），由 得E（﹣ ， ）．
【解答】解：作C（﹣2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y＝x+4的对称
点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，如图：∴DE＝CE，CF＝GF，
∴CE+CF+EF＝DE+GF+EF＝DG，此时△CEF周长最小，
由y＝x+4得A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵C、D关于AB对称，
∴∠DAB＝∠BAC＝45°，
∴∠DAC＝90°，
∵C（﹣2，0），
∴AC＝OA﹣OC＝2＝AD，
∴D（﹣4，2），
由D（﹣4，2），G（2，0）可得直线DG解析式为y＝﹣ x+ ，
在y＝﹣ x+ 中，令x＝0得y＝ ，
∴F（0， ），
由 得 ，
∴E（﹣ ， ），
∴E的坐标为（﹣ ， ），F的坐标为（0， ），
故选：C．
【点评】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定
△CEF周长最小时，E、F的位置．二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）
13．（3分）不等式组 的解集是 x ＜﹣ 2 ．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解： ，
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＜﹣2；
所以不等式组的解集为：x＜﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（3分）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，
0，﹣1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，﹣2，﹣3．如果同时转动转盘A，B，转盘停止
时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需
重新转动转盘），那么点（x，y）落在直角坐标系第二象限的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即
可．
【解答】解：列表如下：
2 0 ﹣1
3 （2，3） （0，3） （﹣1，3）
2 （2，2） （0，2） （﹣1，2）
﹣2 （2，﹣2） （0，﹣2） （﹣1，﹣2）
﹣3 （2，﹣3） （0，﹣3） （﹣1，﹣3）
由表可知，共有12种等可能结果，其中点（x，y）落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点（x，y）落在直角坐标系第二象限的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所
有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出
所有可能的结果，通常采用树形图．
15．（3分）若一个圆锥体的底面积是其表面积的 ，则其侧面展开图圆心角的度数为 120 °
．
【分析】根据圆锥的底面积是其表面积的 ，则得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据
圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．
【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n°．
由题意得S底面 ＝ r2，
l底面周长 ＝2 r， π
π
∵这个圆锥体的底面积是其表面积的 ，
∴S扇形 ＝3S底面 ＝3 r2，
l扇形弧长 ＝1底面 ＝2 πr．
π
由S扇形 ＝ l扇形弧长×R得3 r2＝ ×2 r×R，
π π
故R＝3r．
由l扇形弧长 ＝ 得：
2 r＝ ，
π
解得n＝120．
故答案为：120°．
【点评】本题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想
象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应
用是解答本题的关键．
16．（3分）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该
食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 12 1 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”
列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得 ，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，
∵﹣1＜0，
∴当x＝19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等
量关系及二次函数的性质是解题关键．
17．（3分）如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆心为A ，以AA 为直径画半圆①；取
1 1
A B的中点A ，以A A 为直径画半圆②；取A B的中点A ，以A A 为直径画半圆③…按
1 2 1 2 2 3 2 3
照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 ．
π【分析】由AB＝2，可得半圆①弧长为 ，半圆②弧长为（ ）2 ，半圆③弧长为（ ）
π π
3 ，......半圆⑧弧长为（ ）8 ，即可得8个小半圆的弧长之和为 +（ ）2 +（ ）3 +...+（
π π π π π
）8 ＝ ．
π π
【解答】解：∵AB＝2，
∴AA ＝1，半圆①弧长为 ＝ ，
1
π
同理A A ＝ ，半圆②弧长为 ＝（ ）2 ，
1 2
π
A A ＝ ，半圆③弧长为 ＝（ ）3 ，
2 3
π
.....．
半圆⑧弧长为 ＝（ ）8 ，
π
∴8个小半圆的弧长之和为 +（ ）2 +（ ）3 +...+（ ）8 ＝ ．
π π π π π
故答案为： ．
π
【点评】本题考查图形的变化类规律，解题的关键是掌握圆的周长公式和找到弧长的变化
规律．
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）先化简，再求值： ÷（a﹣ ）﹣ ，其中a＝2sin45°+（ ）﹣1．【分析】先化简分式，再求出a的值代入化简后的式子求值．
【解答】解： ÷（a﹣ ）﹣
＝ × ﹣
＝ ﹣
＝ ，
∵a＝2sin45°+（ ）﹣1
＝2× +2
＝ ，
代入得：原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查分式方程的化简以及特殊三角函数值的运用，计算能力是本题解题关键．
19．（8分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团
员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如
图所示：
（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．
众数 中位数 方差
八年级竞赛成 7 8 1.88
绩
九年级竞赛成 a 8 b
绩
①表中的a＝ 8 ，b＝ 1.5 6 ；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给
哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？【分析】（1）分别求出两个年级的平均数即可；
（2）①分别根据计众数和方差的定义解答即可；
②根据两个年级众数和方差解答即可；
（3）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：
八年级成绩的平均数是：（6×7+7×15+8×10+9×7+10×11）÷50＝8（分），
九年级成绩的平均数是：（6×8+7×9+8×14+9×13+10×6）÷50＝8（分），
故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
（2）①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数a＝8分；
九年级竞赛成绩的方差为：s2＝ ×[8×（6﹣8）2+9×（7﹣8）2+14×（8﹣8）2+13×（9﹣8）2+6×
（10﹣8）2]＝1.56，
故答案为：8；1.56；
②如果从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应该给九年级颁
奖；如果从方差角度看，八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，又因为两个年级的平
均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖；
综上所述，应该给九年级颁奖．
（3）八年级的获奖率为：（10+7+11）÷50＝56%，
九年级的获奖率为：（14+13+6）÷50＝66%，
∵66%＞56%，
∴九年级的获奖率高．
【点评】本题主要考查了中位数、众数、方差以及平均数，掌握各个概念和计算方法是解题
的关键．20．（8分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE
的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形
ADCF是菱形，证明你的结论．
【分析】（1）由CF∥AB，得∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，又AE＝CE，可证
△ADE≌△CFE（AAS），即得AD＝CF；
（2）由AD＝CF，AD∥CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，
可得CD＝ AB＝AD，即得四边形ADCF是菱形．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：
由（1）知，AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是AB的中点，∴CD＝ AB＝AD，
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形
判定定理及菱形的判定定理．
21．（8分）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．
在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样
的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保
总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【分析】（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，根据
比原计划提前10天完成任务建立方程求出其解就可以了；
（2）设以后每天改造管网还要增加m米，根据总工期不超过40天建立不等式求出其解即
可．
【解答】解：（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，
由题意得： ﹣ ＝10，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）＝72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）设以后每天改造管网还要增加m米，
由题意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，
解得：m≥36．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，
在解答时找到相等关系和不相等关系建立方程和不等式是关键．
22．（8分）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，
称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，
当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76（° 点B，H，D三点在
同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结
果精确到1米）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，
tan76°≈4.01）
【分析】过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根据锐角三角
函数求出AM＝12米，进而求出CN＝8米，再在Rt△ENC中，根据锐角三角函数求出EN
＝32.08米，即可求出答案．
【解答】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，
由题意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，
在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，
∴tan∠EAM＝ ，
∴AM＝ ＝ ≈ ＝12米，
∴BH＝AM＝12米，
∵BD＝20，
∴DH＝BD﹣BH＝8米，
∴CN＝8米，
在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，∴tan∠ECN＝ ，
∴EN＝CN•tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，
∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），
即古槐的高度约为13米．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，作出辅助线构造出直角三角
形是解本题的关键．
23．（8分）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限内的图象交于点
A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝
px+3于点E，且S△AOB ：S△COD ＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
【分析】（1）根据解析式求出B点的坐标，根据A点的坐标和B点的坐标得出三角形AOB的面积，根据面积比求出三角形COD的面积，设出C点的坐标，根据面积求出k的值，再
用待定系数法求出p即可；
（2）根据C点的坐标得出E点的坐标，再根据面积相等列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝px+3与y轴交点为B，
∴B（0，3），
即OB＝3，
∵点A的横坐标为2，
∴S△AOB ＝ ＝3，
∵S△AOB ：S△COD ＝3：4，
∴S△COD ＝4，
设C（m， ），
∴ m• ＝4，
解得k＝8，
∵点A（2，q）在双曲线y＝ 上，
∴q＝4，
把点A（2，4）代入y＝px+3，
得p＝ ，
∴k＝8，p＝ ；
（2）∵C（m， ），
∴E（m， m+3），
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S△BOE ＝S△COE ，
∵S△BOE ＝ ，S△COE ＝ （ ）﹣4，
∴ ＝ （ ）﹣4，解得m＝4或m＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为（4，2）．
【点评】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次
函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
24．（10分）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作 O，与BC相
切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点⊙F，∠AOD＝
∠EOD．
（1）连接AF，求证：AF是 O的切线；
（2）若FC＝10，AC＝6，求⊙FD的长．
【分析】（1）根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF＝∠OEF＝90°，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列
方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD＝OF﹣OD求出即可．
【解答】（1）证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF＝∠OEF，
∵BC与 O相切，
∴OE⊥F⊙C，
∴∠OAF＝∠OEF＝90°，
即OA⊥AF，
∵OA是 O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解⊙：在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝10，AC＝6，∴AF＝ ＝8，
∵∠OCE＝∠FCA，∠OEC＝∠FAC＝90°，
∴△OEC∽△FAC，
∴ ，
设 O的半径为r，则 ，
⊙
解得r＝ ，
在Rt△FAO中，∠FAO＝90°，AF＝8，AO＝ ，
∴OF＝ ＝ ，
∴FD＝OF﹣OD＝ ﹣ ，
即FD的长为 ﹣ ．
【点评】本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
25．（12分）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；
（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着
射线DM方向平移到点D 且CD ＝2CD，得到新抛物线y ，y 交y轴于点N．如果在y 的
1 1 1 1 1
对称轴和y 上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边
1
形，求此时点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；
（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，
进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；
（3）先得出y 的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函
1
数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是 MNQP和 MNPQ根
据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．▱ ▱
【解答】（1）解：由题意得，
，
∴ ，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AD2＝20，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝ ＝ ＝ ，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝ ＝ ，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如图，
作DE⊥y轴于E，作D F⊥y轴于F，
1
∴DE∥FD ，
1
∴△DEC∽△D FC，
1
∴ ＝ ，
∴FD ＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，
1
∴D （2，1），
1
∴y 的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，
1
当x＝0时，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
同理可得： ，
∴ ，∴OM＝3，
∴M（3，0），
设P（2，m），
当四边形MNQP是平行四边形时，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q点的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，﹣8），
当四边形MNPQ是平行四边形时，
同理可得：点Q横坐标为：5，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
【点评】本题考查了求二次函数的表达式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，平
行四边形的性质和分类等知识，解决问题的关键熟练掌握有关基础知识．
