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2022年山东省东营市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x3+2x3＝5x6 B．（x+1）2＝x2+1
C．x8÷x4＝x2 D． ＝2
3．（3分）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，
∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．65°
4．（3分）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的 ，七年级2班植树棵
数是这批树苗总数的 ，则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
5．（3分）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 B．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 D．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2
1 2 1 2
6．（3分）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称
图形的概率是（ ）A． B． C． D．
7．（3分）如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点
F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，一次函数y ＝k x+b与反比例函数y ＝ 的图象相交于A，B两点，点A的横
1 1 2
坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k x+b＜ 的解集是（ ）
1
A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
9．（3分）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不
计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm
10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边
BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是 ；③当MN最小时S△CMN ＝ S菱形ABCD ；
④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分．只要求填
写最后结果．
11．（3分）2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在
中国仅电视收视人数就超6亿．6亿用科学记数法表示为 ．
12．（3分）因式分解：x3﹣9x＝ ．
13．（3分）为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调
查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是 分钟．
作业时长（单 50 60 70 80 90
位：分钟）
人数（单位： 1 4 6 2 2
人）
14．（3分）如图，在 O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为 ．
⊙
15．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范
围是 ．
16．（4分）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数
y＝ （x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为 ．17．（4分）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是
矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．
18．（4分）如图，△AB A ，△A B A ，△A B A ，…是等边三角形，直线y＝ x+2经过它们
1 1 1 2 2 2 3 3
的顶点A，A ，A ，A ，…，点B ，B ，B ，…在x轴上，则点A 的横坐标是 ．
1 2 3 1 2 3 2022
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）（1）计算：（ +2）（ ﹣2）+ ÷ ﹣（﹣ ）0+（﹣2sin30°）2022；
（2）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝3，y＝2．
20．（8分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培
养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年
大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列
活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的
数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的
概率．
21．（8分）如图，AB为 O的直径，点C为 O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE⊙是 O的切线； ⊙
（2）若∠ABC＝30°， ⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
⊙
22．（8分）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变
通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角
分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，
参考数据： ≈1.41， ≈1.73）23．（8分）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲
水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙
种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2
倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴
交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以
PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
25．（12分）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．
（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是 ，
位置关系是 ；
（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予
证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答
案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．2022年山东省东营市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x3+2x3＝5x6 B．（x+1）2＝x2+1
C．x8÷x4＝x2 D． ＝2
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义解
答即可．
【解答】解：A、3x3+2x3＝5x3，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（x+1）2＝x2+2x+1，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、x8÷x4＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、 ＝2，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、算术平方根，解题
的关键是掌握合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义．
3．（3分）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，
∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．65°【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再
由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．
【解答】解：如图：
∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线性质，解题的关键是熟练掌握平行线性质：两直线平行，同位角
相等．
4．（3分）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的 ，七年级2班植树棵
数是这批树苗总数的 ，则七年级2班植树的棵数是（ ）
A．36 B．60 C．100 D．180
【分析】根据题目当中信息列式计算即可．
【解答】解：七年级2班植树棵数： ＝ ＝ ＝100（棵），
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算，准确的约分是关键．
5．（3分）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 B．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 D．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2
1 2 1 2
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，
则x＝ ＝ ＝﹣2±2 ，∴x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 ，
1 2
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因
式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
6．（3分）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称
图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念、概率公式计算即可．
【解答】解：如图，当涂黑1或2或3或4区域时，所有黑色方块构成的图形是轴对称图形，
则P（是轴对称图形）＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查的是概率的计算、轴对称图形的概念，正确理解轴对称图形的概念、掌握
概率公式是解题的关键．
7．（3分）如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点
F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．【分析】由DE∥BC根据平行线分线段成比例定理得 ＝ ，可判断A正确；
由△EDF∽△BCF根据相似三角形的对应边成比例得 ＝ ，可判断B正确；
由△ADE∽△ABC得 ＝ ≠ ，可判断C错误；
由 ＝ ， ＝ ，得 ＝ ，可判断D正确．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
故A正确；
∵△EDF∽△BCF，
∴ ＝ ，
故B正确；
∵△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ≠ ，
故C错误；
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
故D正确，
故选：C．
【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，找到相似三
角形的对应线段是解题的关键．
8．（3分）如图，一次函数y ＝k x+b与反比例函数y ＝ 的图象相交于A，B两点，点A的横
1 1 2
坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k x+b＜ 的解集是（ ）
1A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k x+b＜ 的
1
解集，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y ＝k x+b的图象在反
1 1
比例函数y ＝ 的图象的下方，
2
∴不等式k x+b＜ 的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
1
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系
找出不等式的解集是解题的关键．
9．（3分）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不
计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm
【分析】求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．
【解答】解：设半圆形铁皮的半径为rcm，
根据题意得： r＝2 ×4，
解得：r＝8，π π
所以围成的圆锥的母线长为8cm，
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，
难度不大．10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边
BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是 ；
③当MN最小时S△CMN ＝ S菱形ABCD ；
④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】由四边形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而
∠BAC＝∠ACD＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，再证明△BAM≌△CAN，得
AM＝AN，而∠MAN＝60°，则△AMN是等边三角形，可判断①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝
2可求得MA＝AM＝ ，可判断②正确；
当MN的值最小，则BM＝CM，可证明DN＝CN，根据三角形的中位线定理得MN∥BD，
则△CMN∽△CBD，可求得S△CMN ＝ S△CBD ＝ S菱形ABCD ，可判断③正确；
由CB＝CD，BM＝CN得CM＝DN，再证明△OCM∽△BCO，得 ＝ ，所以OC2＝
CM•CB，即OA2＝DN•AB，可判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2× ＝ ，
∴MN的最小值是 ，
故②正确；
∵AM⊥BC 时，MN的值最小，此时BM＝CM，
∴CN＝BM＝ CB＝ CD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴S△CMN ＝ S△CBD ，
∵S△CBD ＝ S菱形ABCD ，
∴S△CMN ＝ × S菱形ABCD ＝ S菱形ABCD ，
故③正确；
∵CB＝CD，BM＝CN，
∴CB﹣BM＝CD﹣CN，
∴CM＝DN，
∵OM⊥BC，
∴∠CMO＝∠COB＝90°，
∵∠OCM＝∠BCO，
∴△OCM∽△BCO，
∴ ＝ ，∴OC2＝CM•CB，
∴OA2＝DN•AB，
故④正确，
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、
相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题
中的拔高区分题．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分．只要求填
写最后结果．
11．（3分）2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在
中国仅电视收视人数就超6亿．6亿用科学记数法表示为 6×1 0 8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：6亿＝600000000＝6×108．
故答案为：6×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）因式分解：x3﹣9x＝ x （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），
＝x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次
分解，分解因式要彻底．
13．（3分）为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调
查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是 7 0 分钟．
作业时长（单 50 60 70 80 90
位：分钟）
人数（单位： 1 4 6 2 2
人）
【分析】根据众数的定义即可解决问题．【解答】解：∵70分钟出现了6次，它的次数最多，
∴众数是70分钟．
故答案为：70．
【点评】本题考查了确定一组数据的众数的能力．求一组数据的众数的方法：找出频数最
多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
14．（3分）如图，在 O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为 100 ° ．
⊙
【分析】先根据平行线的性质得到∠OCA＝∠BOC＝40°，然后根据等腰三角形的性质和三
角形内角和定理计算∠AOC的度数．
【解答】解：∵AC∥半径OB，
∴∠OCA＝∠BOC＝40°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠OCA＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了三角形内角和：三角形内角和是180°．也考查了等腰三角形的性质和
圆的认识．
15．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范
围是 k ＜ 2 且 k ≠ 1 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×
（k﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，
解得k＜2且k≠1，
所以k的取值范围是k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（4分）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数
y＝ （x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为 y ＝﹣ ．
【分析】作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，根据△OAB是等腰直角三角形，可证明
△BOC≌△OAD，利用反比例函数k的几何意义得到S△OBC ＝ ，则S△OAD ＝ ，所以 |k|
＝ ，然后求出k得到经过点A的反比例函数解析式．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，
∴∠ADO＝∠BCO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠BOC＝∠DAO，
∵OB＝OA，
∴△BOC≌△OAD（AAS），
∵点B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，∴S△OBC ＝ ，
∴S△OAD ＝ ，
∴k＝﹣1，
∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣ ．
故答案为：y＝﹣ ．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注
意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17．（4分）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是
矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．
【分析】设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH∥BC，∠EFC＝90°，
则△AEH∽△ABC，得 ＝ ，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣ EH，可以列出方程
＝ ，解方程求出EH的值即可．
【解答】解：设AD交EH于点R，
∵矩形EFGH的边FG在BC上，
∴EH∥BC，∠EFC＝90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ARE＝∠ADB＝90°，
∴AR⊥EH，∴ ＝ ，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，
∴RD＝EF＝ EH，
∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣ EH，
∴ ＝ ，
解得EH＝ ，
∴EH的长为 ，
故答案为： ．
【点评】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定
与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
18．（4分）如图，△AB A ，△A B A ，△A B A ，…是等边三角形，直线y＝ x+2经过它们
1 1 1 2 2 2 3 3
的顶点A，A ，A ，A ，…，点B ，B ，B ，…在x轴上，则点A 的横坐标是 （ 2 202 3 ﹣ 2 ）
1 2 3 1 2 3 2022
．
【分析】求出直线y＝ x+2与 x轴、y轴的交点坐标，由题意可得∠OCA＝30°，∠OB A
1 1＝90°，则△A B C、△A B C、……是含30°角的直角三角形，可得出A B ＝4＝22，A B ＝8
1 1 2 2 1 1 2 2
＝23，……，可得A （2 ，4），A （6 ，8），由此得出规律，即可求解．
1 2
【解答】解：如图：
∵直线y＝ x+2，令x＝0，则y＝2，
令y＝0，则 x+2＝0，
解得x＝﹣2 ，
∴A（0，2），C（﹣2 ，0），
∴OA＝2，OC＝2 ，
∴∠OCA＝30°，
∵△AB A ，△A B A ，△A B A ，…是等边三角形，
1 1 1 2 2 2 3 3
∴∠AA B 、∠AA B ＝60°，A B ＝AB ＝AC＝2OA＝4，
1 1 2 2 1 1 1
……
∴△A B C、△A B C、……是含30°角的直角三角形，
1 1 2 2
∴A B ＝4＝22，A B ＝8＝23，……，
1 1 2 2
∴OB ＝ A B ﹣OC＝4 ＝2 ，OB ＝ A B ﹣OC＝8 ＝6 ，
1 1 1 2 2 2
∴A （2 ，4），A （6 ，8），
1 2
……
∴A [（2n+1﹣2） ，2n+1]，
n
∴点A 的横坐标是（22023﹣2） ，
2022
故答案为：（22023﹣2） ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．等边三角形的性质及含30°角的直角
三角形的性质，归纳出A 的坐标规律是解题的关键．
n
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）（1）计算：（ +2）（ ﹣2）+ ÷ ﹣（﹣ ）0+（﹣2sin30°）2022；（2）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝3，y＝2．
【分析】（1）根据平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则计算；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（ ）2﹣22+ ﹣1+（﹣2× ）2022
＝3﹣4+4﹣1+1
＝3；
（2）原式＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ ，
当x＝3，y＝2时，原式＝ ＝5．
【点评】本题考查的是实数的混合运算、分式的化简求值，掌握平方差公式、零指数幂、二
次根式的除法法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（8分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培
养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年
大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列
活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的
数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 20 0 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的
概率．
【分析】（1）由D的人数除以所占的比例即可；
（2）求出C的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校共有学生乘以参加B项活动的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷ ＝200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：（3）1280× ＝512（名），
答：估计参加B项活动的学生为512名；
（4）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不
重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，AB为 O的直径，点C为 O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE⊙是 O的切线； ⊙
（2）若∠ABC＝30°， ⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
⊙【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠DBC＝∠OCB，证
明OC∥BD，根据平行线的性质得到OC⊥CE，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作OH⊥BC于H，根据垂径定理得到BH＝HC，根据余弦的定义求出BH，进而
求出BC，根据正弦的定义求出OH，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答
案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC为 O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解⊙：过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，
∴BH＝OB•cos∠OBH＝2× ＝ ，OH＝ OB＝1，
∴BC＝2 ，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴S阴影部分 ＝S扇形BOC ﹣S△BOC
＝ ﹣ ×2 ×1
＝ ﹣ ．【点评】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半
径的直线是圆的切线是解题的关键．
22．（8分）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变
通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角
分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，
参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【分析】根据锐角三角函数的定义可求出AD的长度，然后即可求出AC的长度，再根据锐
角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝ ，
∴BD＝ ＝ ，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝ ，
∴BC＝ ＝AB，
∵BC﹣BD＝CD＝33m，
∴AB﹣ ＝33，∴AB＝ ≈78（m）．
答：主塔AB的高约为78m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义．
23．（8分）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲
水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙
种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2
倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意：用
1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程
即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，由题意得w＝﹣
m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 （150﹣m），然后由一
次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，
由题意得： ，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，
则5×（1﹣20%）＝4，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，
由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 （150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题
的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）找出数量关系，正确列出一元一次
不等式．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴
交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以
PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC
的解析式，再求Q点坐标即可；
（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当
∠PBM＝90°时，PB＝BM，P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作
PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），
则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1﹣ ，﹣2）；当P点在M点下方时，同理M（3+t，
2），可求M点坐标为（1﹣ ，2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴ ，解得 ，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CB交对称轴于点Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，
∴M点与A点重合，
∴M（﹣1，0）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，
如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点
M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得t＝2+ 或t＝2﹣ ，
∴M（1﹣ ，﹣2）或（1+ ，﹣2），
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为（1﹣ ，﹣2）；
如图2，当P点在M点下方时，
同理可得M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得t＝﹣2+ （舍）或t＝﹣2﹣ ，
∴M（1﹣ ，2）；
综上所述：M点的坐标为（1﹣ ，﹣2）或（1﹣ ，2）或（﹣1，0）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三
角形的性质，轴对称求最短距离，分类讨论，数形结合是解题的关键．
25．（12分）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速
度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．
（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是 CD ＝
EF ，位置关系是 CD ∥ EF ；
（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予
证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答
案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．
【分析】（1）利用等边三角形的性质解决问题即可；
（2）证明△FAB≌△DAC（SAS），推出BF＝CD，∠ABF＝∠ACD＝60°，再证明△EFB是等
边三角形，可得结论；
（3）当点D是BC的中点时，四边形EFDC的面积是△ABC的面积的一半．利用相似三角形的性质，等高模型解决问题．
【解答】解：（1）∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴EF＝AB＝CD，∠ADC＝∠FED，
∴EF∥CD，
故答案为：CD＝EF，CD∥EF；
（2）结论成立．
理由：如图2中，连接BF．
∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴∠FAD＝∠BAC，AF＝AD，AB＝AC，
∴∠FAB＝∠DAC，
∴△FAB≌△DAC（SAS），
∴BF＝CD，∠ABF＝∠ACD＝60°，
∵AE＝BD，AB＝BC，
∴BE＝CD＝BF，
∴△EFB是等边三角形，
∴EF＝BF＝CD，∠FEB＝∠ABC＝60°
∴EF∥CD；
证法二：先证△CAE≌△ABD，得到CE＝AD＝DF，
再证明CE∥DF，
即可得四边形CDFE是平行四边形，
即可得出结论平行且相等．
（3）当点D是BC的中点时，四边形EFDC的面积是△ABC的面积的一半．此时四边形
BDEF是菱形．
理由：如图3中，连接DF．由（2）可知，△BEF是等边三角形，BE＝CD，
∵BD＝CD，
∴BE＝ CB，
∵△BEF∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵EF∥CD，EF＝CD，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴S平行四边形EFDC ＝2S△EFB ，
∴ ＝ ．
连接DE．∵BE＝BD，∠EBD＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∵△BEF是等边三角形，
∴四边形BDEF是菱形．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
