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2022年广西柳州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分．）
1．（3分）2022的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
2．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
3．（3分）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（3分）如图，四边形ABCD的内角和等于（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
5．（3分）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）A． B． C． D．
6．（3分）为了驰援上海人民抗击新冠肺炎疫情，柳州多家爱心企业仅用半天时间共筹集到了
220000包柳州螺蛳粉，通过专列统一运往上海，用科学记数法将数据 220000表示为（
）
A．0.22×106 B．2.2×106 C．22×104 D．2.2×105
7．（3分）下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）以下调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间
C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D．为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查
9．（3分）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
10．（3分）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）A．16 B．24 C．48 D．96
11．（3分π）如图，这是一个利用π平面直角坐标系画出的π某学校的示意图，如果π这个坐标系分
别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，
4），则教学楼的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
12．（3分）如图，直线y ＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y ＝﹣x+3分别与x轴、
1 2
y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小
值之差为（ ）A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题（本大题典6小题，每小题3分，满分18分．请将答案直接写在答题卡中相应的横
线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13．（3分）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作
．
14．（3分）为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡
眠状况进行了调查，经统计得到6个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为：8，
8，8，8.5，7.5，9．则这组数据的众数为 ．
15．（3分）计算： × ＝ ．
16．（3分）如图，点A，B，C在 O上，∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是 °．
⊙
17．（3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为 ，sin ＝ ，堤坝高BC＝30m，则迎水坡
α α
面AB的长度为 m．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且
EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长
的最小值为 ．三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答时应写出必要的文宇说明、演算步骤或推理过
程．请将解答写在答题卡中相应的区域内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使
用黑色字迹的签字笔描黑．在草稿纸、试卷上答题无效．）
19．（6分）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
20．（6分）解方程组： ．
21．（8分）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC
＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．
你选取的条件为（填写序号） （只需选一个条件，多选不得分），你判定
△ABC≌△DEF的依据是 （填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
22．（8分）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时
候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记
的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已
知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10
万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万
元，则甲种农机具最多能购买多少件？
23．（8分）在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家
亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题
目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现
将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为 ；
（2）若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机
抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分
别用它们的编号A，B，C表示）
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b（k ≠0）的图象与反比例函数y＝
1 1
（k ≠0）的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．
2
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求△AOD的面积．
25．（10分）如图，已知AB是 O的直径，点E是 O上异于A，B的点，点F是 的中点，连
接AE，AF，BF，过点F作⊙FC⊥AE交AE的延长⊙线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC
的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）求sin∠FHG⊙的值；
（3）若GH＝4 ，HB＝2，求 O的直径．
⊙26．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C
（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D
作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足
为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，
在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的
点P的坐标．2022年广西柳州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分．）
1．（3分）2022的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2022的相反数等于﹣2022，
故选：D．
【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【分析】由两直线平行，同位角相等可知∠2＝∠1．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的计算．
3．（3分）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】应用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质进行求解是解决本题的关键．
4．（3分）如图，四边形ABCD的内角和等于（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可．
【解答】解：四边形ABCD的内角和为360°．
故选：C．
【点评】本题考查了四边形的内角和，四边形的内角和等于360°．
5．（3分）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据“面动成体”进行判断即可．
【解答】解：将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到圆柱体，
故选：B．
【点评】本题考查认识立体图形，理解“面动成体”是正确判断的前提．
6．（3分）为了驰援上海人民抗击新冠肺炎疫情，柳州多家爱心企业仅用半天时间共筹集到了220000包柳州螺蛳粉，通过专列统一运往上海，用科学记数法将数据 220000表示为（
）
A．0.22×106 B．2.2×106 C．22×104 D．2.2×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：220000＝2.2×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（3分）下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直
线（穿过圆中心竖直的直线或水平的直线），图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合．
8．（3分）以下调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间
C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试D．为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，最适合采用抽样调查，故A符合题
意；
B、了解全班50名同学每天体育锻炼的时间，最适合采用全面调查，故B不符合题意；
C、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，最适合采用全面调查，故C不符合题意；
D、为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，最适合采用全面调查，故
D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的
关键．
9．（3分）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10．（3分）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16 B．24 C．48 D．96
【分析π】先求出弧AA′的长π，再根据扇形面积的计π算公式进行计算即可．π
【解答】解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2 ×4＝8 ，
π π所以扇形的面积为 ×8 ×12＝48 ，
π π
即圆锥的侧面积为48 ，
故选：C． π
【点评】本题考查圆锥的计算，掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．
11．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分
别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，
4），则教学楼的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），建立适当的平面直角坐标系，即
可解答．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：
∴教学楼的坐标是（2，2），
故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．
12．（3分）如图，直线y ＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y ＝﹣x+3分别与x轴、
1 2
y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小
值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y＝2上，要求符合题意的m值，则P点为直线
y＝2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
【解答】解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，
∴点P在直线y＝2上，如图所示，当P为直线y＝2与直线y 的交点时，m取最大值，
2
当P为直线y＝2与直线y 的交点时，m取最小值，
1
∵y ＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，
2
y ＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，
1
∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．
则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存
在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y＝2有助于判断P的位置．
二、填空题（本大题典6小题，每小题3分，满分18分．请将答案直接写在答题卡中相应的横
线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13．（3分）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作 ﹣
2 m ．
【分析】根据正负数的意义求解．
【解答】解：由题意，水位上升为正，下降为负，
∴水位下降2m记作﹣2m．
故答案为：﹣2m．
【点评】本题考查正负数的意义，理解为正的量是求解本题的关键．
14．（3分）为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡
眠状况进行了调查，经统计得到6个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为：8，
8，8，8.5，7.5，9．则这组数据的众数为 8 ．
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据中8出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
15．（3分）计算： × ＝ ．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解： × ＝ ；
故答案为： ．
【点评】此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则 ＝
是本题的关键，是一道基础题．
16．（3分）如图，点A，B，C在 O上，∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是 3 0 °．
⊙
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝ ∠AOB，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，注意：一条弧所对
的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
17．（3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为 ，sin ＝ ，堤坝高BC＝30m，则迎水坡
α α
面AB的长度为 5 0 m．
【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：∵sin ＝ ，堤坝高BC＝30m，
α
∴sin ＝ ＝ ＝ ，
α
解得：AB＝50．
故答案为：50．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且
EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长
的最小值为 2 ﹣ 2 ．
【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于
H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得
CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，
作MH⊥CD于H，
∵∠EDF＝∠GDM，
∴∠EDG＝∠FDM，
∵DE＝DF，DG＝DM，
∴△EDG≌△MDF（SAS），
∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，
∴△DGC≌△MDH（AAS），
∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，
∴CM＝ ＝2 ，
∵CF≥CM﹣MF，
∴CF的最小值为2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，
三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答时应写出必要的文宇说明、演算步骤或推理过
程．请将解答写在答题卡中相应的区域内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使
用黑色字迹的签字笔描黑．在草稿纸、试卷上答题无效．）
19．（6分）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
【分析】直接利用有理数的乘法运算法则以及绝对值的性质化简，再利用有理数的加减运
算法则得出答案．
【解答】解：原式＝﹣3+4+4
＝5．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（6分）解方程组： ．
【分析】先消元，再求解．
【解答】解：①+②得：3x＝9，
∴x＝3，
将x＝3代入②得：6+y＝7，
∴y＝1．
∴原方程组的解为： ．
【点评】本题考查解二元一次方程组，正确消元是求解本题的关键．
21．（8分）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC
＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号） ① （只需选一个条件，多选不得分），你判定
△ABC≌△DEF的依据是 SS S （填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【分析】（1）根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，即可解决问题；
（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．
【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．
故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【点评】本题考查了平行线的判定和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定
理是解此题的关键．
22．（8分）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时
候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记
的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已
知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10
万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万
元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，
利用数量＝总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买1件乙种农机具
所需费用，再将其代入（x+1）中即可求出购买1件甲种农机具所需费用；
（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，利用总价＝单价×数量，结合
总价不超过46万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出
结论．
【解答】解：（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万
元，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1＝2+1＝3．
答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，
依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，
解得：m≤6．
答：甲种农机具最多能购买6件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（8分）在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大
复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家
亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题
目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现
将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为 ；
（2）若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机
抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分
别用它们的编号A，B，C表示）【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中七（1）班和七（2）班抽到不同卡片的结果有6
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七（1）班和七（2）班抽到不同卡片的结果有6种，
∴这两个班抽到不同卡片的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结
果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b（k ≠0）的图象与反比例函数y＝
1 1
（k ≠0）的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．
2
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求△AOD的面积．【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k 值，从而得到反比例函数解析式，
2
再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后利用待定系数法求函数解析式
求出一次函数解析式；
（2）利用勾股定理求得OA，即可求得OD的长度，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数图象与一次函数图象相交于点A（3，4），B（﹣4，m）．
∴4＝ ，
解得k ＝12，
2
∴反比例函数解析式为y＝ ，
∴m＝ ，
解得m＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣3），
∴ ，
解得 ，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
（2）∵A（3，4），
∴OA＝ ＝5，
∵OA＝OD，
∴OD＝5，∴△AOD的面积＝ ＝10．
【点评】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的
解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点A
的坐标求出反比例函数解析式以及点B的坐标是解题的关键．
25．（10分）如图，已知AB是 O的直径，点E是 O上异于A，B的点，点F是 的中点，连
接AE，AF，BF，过点F作⊙FC⊥AE交AE的延长⊙线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC
的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）求sin∠FHG⊙的值；
（3）若GH＝4 ，HB＝2，求 O的直径．
⊙
【分析】（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；
（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；
（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得 ＝ ＝
＝ ＝2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得
AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得 ＝ ＝ ，推出AG＝8，再利用勾股定理求解
即可．
【解答】（1）证明：连接OF．∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵ ＝ ，
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是 O的切线．
⊙
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG＝ ；
（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
∵ ＝ ＝ ＝ ，
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4 ，∴FH＝FG＝4，
∴ ＝ ＝2，
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF，
∴∠FDH＝∠ADG，
∴△FDH∽△ADG，
∴ ＝ ＝ ，
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB＝ ＝ ＝6 ，
∴ O的直径为6 ．
⊙
解法二：由（2）可知sin∠FHG＝ ，
∴FH＝FG＝4，
∴FB＝FH+HB＝4+2＝6， ＝2，
∵DG是∠FDA的角平分线，
可证 ＝ ＝2，
∵△DAF∽△DFB，
∴ ＝ ，
∴AF＝12，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB＝ ＝6 ．
解法三：可以作GP⊥AF交AD于点P，再证△DFG≌△DGP，△AGP∽△AFB可以求出AF的长，用勾股定理求出直径AB的长．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
26．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C
（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D
作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足
为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，
在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的
点P的坐标．
【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得b，c的值，
令y＝0即可得m的值；（2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次
函数的最值即可求解；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK，根据全
等三角形的性质得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线
BN的解析式为y＝﹣ x+ ，可得Q（0， ），设P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、
BQ2，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
得 ，
解得 ．
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x ＝5，x ＝﹣1，
1 2
∴B（5，0），
∴m＝5；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵DE∥x轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点 E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作
EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，
∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，
∴CH∥x轴，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），
∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N（﹣4，3），
设直线BN的解析式为y＝mx+n，
∴ ，解得 ，
∴直线BN的解析式为y＝﹣ x+ ，
∴Q（0， ），
设P（2，p），
∴PQ2＝22+（p﹣ ）2＝p2﹣ p+ ，
BP2＝（5﹣2）2+p2＝9+p2，
BQ2＝52+（ ）2＝25+ ，
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，
∴9+p2＝p2﹣ p+ +25+ ，解得p＝ ，
∴点P的坐标为（2， ）；
②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，
∴p2﹣ p+ ＝9+p2+25+ ，解得p＝﹣9，
∴点P′的坐标为（2，﹣9）．
综上，所有符合条件的点P的坐标为（2， ），（2，﹣9）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、
翻折的性质，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式以及勾股定理，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用．
