文档内容
2022年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置。）
1．（3分）2022的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
2．（3分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就．主要包括：北斗
全球卫星导航系统平均精度2～3米；中国高铁运营里程超40000000米；“奋斗者”号载
人潜水器最深下潜至10909米；中国嫦娥五号带回月壤重量1731克．其中数据40000000
用科学记数法表示为（ ）
A．0.4×108 B．4×107 C．4.0×108 D．4×106
3．（3分）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图
是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D AD＝（ ）
1
A．48° B．66° C．72° D．78°
5．（3分）射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（ ）A．平均数是9环 B．中位数是9环
C．众数是9环 D．方差是0.8
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝
BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（3分）根据如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象，判断反比例函数y＝ 与一次函数y
＝bx+c的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE＝2，DG＝3，现将等
腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至
AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相
应区域内．）
9．（3分）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
10．（3分）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（3分）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝ ．
12．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝ ，以A为圆心，以AB为半径作 ；以BC
为直径作 ．则图中阴影部分的面积是 .（结果保留 ）
π
13．（3分）若a2﹣2a﹣15＝0，则代数式（a﹣ ）• 的值是 ．
14．（3分）如图，在第一象限内的直线l：y＝ x上取点A ，使OA ＝1，以OA 为边作等边
1 1 1
△OA B ，交x轴于点B ；过点B 作x轴的垂线交直线l于点A ，以OA 为边作等边
1 1 1 1 2 2
△OA B ，交x轴于点B ；过点B 作x轴的垂线交直线l于点A ，以OA 为边作等边
2 2 2 2 3 3△OA B ，交x轴于点B ；……，依次类推，则点A 的横坐标为 ．
3 3 3 2022
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内，写在其他区域不得
分．）
15．（6分）计算：（ ）﹣1+4cos45°﹣ +（2022﹣ ）0．
π
16．（6分）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE
的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．
18．（6分）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的
37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点
D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，
≈1.73）
19．（7分）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5
倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购
买多少个篮球？
20．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的
图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
21．（10分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、
C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学
进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 ；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中
任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
22．（10分）如图，在△ABC中，以AB为直径作 O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，
过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线⊙于点H．
（1）求证：直线HG是 O的切线；
⊙
（2）若HA＝3，cosB＝ ，求CG的长．
23．（10分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝
DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连
接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的
位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，
若CG＝FG，DC＝ ，求AB′的长．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交
于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．2022年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置。）
1．（3分）2022的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2022的相反数等于﹣2022，
故选：D．
【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就．主要包括：北斗
全球卫星导航系统平均精度2～3米；中国高铁运营里程超40000000米；“奋斗者”号载
人潜水器最深下潜至10909米；中国嫦娥五号带回月壤重量1731克．其中数据40000000
用科学记数法表示为（ ）
A．0.4×108 B．4×107 C．4.0×108 D．4×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：40000000＝4×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图
是（ ）A． B． C． D．
【分析】根据主视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：A．
【点评】本题考查简单组几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画
法和形状是正确判断的前提．
4．（3分）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D AD＝（ ）
1
A．48° B．66° C．72° D．78°
【分析】先根据折叠的性质可得出∠BAD＝∠BAD ，再根据两直线平行，同旁内角互补可
1
得∠BAD 的度数，最后根据周角是360°可得出答案．
1
【解答】解：根据题意可得：∠BAD＝∠BAD ，
1
∵矩形纸片的对边平行，即ED∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝36°，
∴∠BAD＝180°﹣36°＝144°，
∴∠BAD ＝∠BAD＝144°，
1
∴∠D AD＝360°﹣∠BAD ﹣∠BAD＝360°﹣144°﹣144°＝72°．
1 1
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和翻折变换的知识．熟练掌握平行线的性质：两直线平
行，同旁内角互补是解题的关键．
5．（3分）射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（ ）A．平均数是9环 B．中位数是9环
C．众数是9环 D．方差是0.8
【分析】分别根据平均数，中位数，众数以及方差的定义解答即可．
【解答】解：这10次射击成绩从小到大排列为：8.4、8.6、8.8、9、9、9、9.2、9.2、9.4、9.4，
故平均数为： （8.4+8.6+8.8+9+9+9+9.2+9.2+9.4+9.4）＝9（环），故选项A不合题意；
中位数为： ＝9（环），故选项B不合题意；
众数是9环，故选项C不合题意；
方差为： （[ 8.4﹣9）2+（8.6﹣9）2+（8.8﹣9）2+3×（9﹣9）2+2×（9.2﹣9）2+2×（9.4﹣9）2]
＝0.096，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数以及方差，解答本题的关键是掌握
相关统计量的求法．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝
BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断△ABC
为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可．
【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M′时，MA+MF的值最小，
由菱形的性质可知，
AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵F点为BC的中点，AB＝2，
∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，
∴在Rt△ABF中，AF＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查最短路线问题、等边三角形的性质和菱形的性质，确定MA+MF的最小值
为AF的长度是关键．
7．（3分）根据如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象，判断反比例函数y＝ 与一次函数y
＝bx+c的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函
数y＝ 与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可．
【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，由对称轴x＝﹣ ＞0，可知b＜0，
所以反比例函数y＝ 的图象在一、三象限，一次函数y＝bx+c图象经过二、三、四象限．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的
性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
8．（3分）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE＝2，DG＝3，现将等
腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至
AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与
x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如图，作CH⊥AB于点H，可知CH＝1．分当0≤x≤1或1＜x≤3或3＜x≤4三种
情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出图象．
【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，
∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，
∴CH＝1，当0≤x≤1时，y＝ ×2x•x＝x2，
当1＜x≤3时，y＝ ＝1，
当3＜x≤4时，y＝1﹣ ＝﹣（x﹣3）2+1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰直角三角形的性质
等知识，分别求出三种情形下函数解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相
应区域内．）
9．（3分）分解因式：x2﹣9y2＝ （ x ﹣ 3 y ）（ x + 3 y ） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
10．（3分）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x ＞ 3 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不
为0是解题的关键．
11．（3分）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝ 5 ．
【分析】设外角为2x，则其内角为3x，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然
后利用外角和定理求得边数即可．
【解答】解：设外角为2x，则其内角为3x，则2x+3x＝180°，
解得：x＝36°，
∴外角为2x＝72°，
∵正n边形外角和为360°，
∴n＝360°÷72°＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和
定理是解决此类题目的关键．
12．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝ ，以A为圆心，以AB为半径作 ；以BC
为直径作 ．则图中阴影部分的面积是 ﹣ 2 .（结果保留 ）
π π
【分析】如图，取BC的中点O，连接OA．根据S阴 ＝S半圆 ﹣S△ABC +S扇形ACB ﹣S△ACB ，求解即
可．
【解答】解：如图，取BC的中点O，连接OA．
∵∠CAB＝90°，AC＝AB＝ ，
∴BC＝ AB＝2，
∴OA＝OB＝OC＝1，
∴S阴 ＝S半圆 ﹣S△ABC +S扇形ACB ﹣S△ACB
＝ • ×12﹣ × × + ﹣ × ×
π
＝ ﹣2．
π故答案为： ﹣2．
【点评】本题π考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用割
补法求阴影部分的面积．
13．（3分）若a2﹣2a﹣15＝0，则代数式（a﹣ ）• 的值是 1 5 ．
【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．
【解答】解：（a﹣ ）•
＝
＝
＝a2﹣2a，
∵a2﹣2a﹣15＝0，
∴a2﹣2a＝15，
∴原式＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（3分）如图，在第一象限内的直线l：y＝ x上取点A ，使OA ＝1，以OA 为边作等边
1 1 1
△OA B ，交x轴于点B ；过点B 作x轴的垂线交直线l于点A ，以OA 为边作等边
1 1 1 1 2 2
△OA B ，交x轴于点B ；过点B 作x轴的垂线交直线l于点A ，以OA 为边作等边
2 2 2 2 3 3
△OA B ，交x轴于点B ；……，依次类推，则点A 的横坐标为 2 202 0 ．
3 3 3 2022
【分析】根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解．
【解答】解：∵OA ＝1，△OA B 是等边三角形，
1 1 1
∴OB ＝OA ＝1，
1 1
∴A 的横坐标为 ，
1∵OB ＝1，
1
∴A 的横坐标为1，
2
∵过点B 作x轴的垂线交直线l于点A ，以OA 为边作等边△OA B ，交x轴于点B ，过点
1 2 2 2 2 2
B 作x轴的垂线交直线l于点A ，
2 3
∴OB ＝2OB ＝2，
2 1
∴A 的横坐标为2，
3
∴依此类推：A 的坐标为：（2n﹣2，2n﹣2 ），
n
∴A 的横坐标为22020，
2022
故答案为：22020．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，解题关键找出规
律性即可得出答案．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内，写在其他区域不得
分．）
15．（6分）计算：（ ）﹣1+4cos45°﹣ +（2022﹣ ）0．
π
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次
根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2+4× ﹣2 +1
＝2+2 ﹣2 +1
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
16．（6分）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的
解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：由①得：x≤1，
由②得：x＜6，
∴不等式组的解集为x≤1，
解集表示在数轴上，如图所示：．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不
等式组的解法是解本题的关键．
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE
的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC
＝90°，即可得△ADE∽△ABC．
【解答】证明：∵BE＝BC，
∴∠C＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠C＝∠AED，
∵AD⊥BE，
∴∠D＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关
键．
18．（6分）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的
37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点
D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，
≈1.73）
【分析】在△ABC中求出BC以及AC的长度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．
【解答】解：由题意得，在△ABC中，∵∠ABC＝37°，AB＝8米，
∴AC＝AB•sin37°＝4.8（米），
BC＝AB•cos37°＝6.4（米），
在Rt△ACD中，CD＝ ≈8.304（米），
则BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．
答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米．
【点评】本题考查了坡度和坡角的知识，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三
角函数的知识求解．
19．（7分）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5
倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购
买多少个篮球？
【分析】（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，由等量关系：用3600
元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个列出方程，解方程即可；
（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，由题意：购买篮球和排球的总费用不多于
28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，
依题意得： ﹣ ＝10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是方程的解，
1.5x＝1.5×80＝120．
答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；
（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，
依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，
解得：m≤100，
答：最多可以购买100个篮球．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的
图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把A，B两点的坐标代入y＝ 中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待
定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，证明CD⊥x轴于D，根据S△ABC ＝S△ACD +S△BCD 即可求得．
【解答】解：（1）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入y＝ 中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，
解得，k＝﹣8，m＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ；
将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣2，4）．
在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，
∴D（﹣2，0），
∴CD垂直x轴于点D，∴S△ABC ＝S△ADC +S△BCD ＝ ×4×（2+2）+ ×4×（4﹣2）＝8+4＝12．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三
角形的面积等，数形结合是解题的关键．
21．（10分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、
C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学
进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 4 0 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 7 2 度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 56 0 人 ；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中
任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女
生的概率．
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组
人数即可补全图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生
的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（名），C组人数为40﹣（4+16+12）＝
8（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
（2）C组所对应的扇形圆心角为360°× ＝72°，
故答案为：72；
（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400× ＝560（人），
故答案为：560人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要
注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，以AB为直径作 O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，
过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线⊙于点H．
（1）求证：直线HG是 O的切线；
⊙
（2）若HA＝3，cosB＝ ，求CG的长．
【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥BC，根据平行线的性质得到
OD⊥HG，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据余弦的定义求出 O的半径，根据三角形中位线定理求出BC，再根据余弦的定义
求出BG，计算即可． ⊙
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD＝DC，AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD＝ BC，
∵DG⊥BC，
∴OD⊥HG，
∵OD是 O的半径，
∴直线H⊙G是 O的切线；
（2）解：设 ⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，
∵OD∥BC，⊙
∴∠HOD＝∠B，
∴cos∠HOD＝ ，即 ＝ ＝ ，
解得：x＝2，
∴BC＝4，BH＝7，∵cosB＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：BG＝ ，
∴CG＝BC﹣BG＝4﹣ ＝ ．
【点评】本题考查的是切线的判定、三角形中位线定理、锐角三角函数的定义，掌握切线的
判定定理是解题的关键．
23．（10分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝
DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连
接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的
位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，
若CG＝FG，DC＝ ，求AB′的长．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，∠ABC＝∠DAB＝45°，∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，可得结论；
（2）通过证明△ADB'∽△CDE'，可得∠DAB'＝∠DCE'，由余角的性质可得结论；
（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB'＝ AD，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，
∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是
一致，
理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，
由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CDE'＝∠ADB'，
又∵ ＝1，∴△ADB'∽△CDE'，
∴∠DAB'＝∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC＝90°，
∴∠DAB'+∠AGH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，
∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，
∵DH⊥AB'，
∴AD＝2DH，AH＝ DH＝B'H，
∴AB'＝ AD，
由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，
∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，
∵AD⊥BC，CD＝ ，
∴DG＝1，CG＝2DG＝2，
∴CG＝FG＝2，
∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，
∴AG＝2GF＝4，
∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，
∴AB'＝ AD＝5 ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，
相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，
并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，利用轴对称的性质和三角形的中位线的性质定理求得线
段OE，DE，则点D坐标可得；利用四边形OADC的面积＝S△OAC +S△ACD ，S△ADC ＝S△ABC ，
利用三角形的面积公式即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线
的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P
在BC下方时，设PC交x轴于点H，设HB＝HC＝m，利用等腰三角形的判定与性质和勾
股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解
析式联立即可求得点P坐标；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴
交于点C（0，4），
∴ ，
解得： ．∴抛物线的表达式为y＝﹣ + x+4；
（2）点D的坐标为（﹣8，8），理由：
将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．
∵ ， ，
∴ ．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO．
∵∠CBO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，
∴点D，C，B三点在一条直线上．
由轴对称的性质得：BC＝CD，AB＝AD．
∵OC⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥OC，
∴OC为△BDE的中位线，
∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，
∴D（﹣8，8）；
由题意得：S△ACD ＝S△ABC ，∴四边形OADC的面积＝S△OAC +S△ADC
＝S△OAC +S△ABC
＝ OC•OA+ AB•OC
＝ 4×2+ 10×4
＝4+20
＝24；
（3）①当点P在BC上方时，如图，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣ + x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+n，
∴ ，
解得： ．
∴y＝﹣ x+4．
∴ ，
解得： ， ．
∴P（ ，﹣ ）．
综上，点P的坐标为（6，4）或（ ，﹣ ）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上
点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利
用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
