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2022年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．a•a2＝a3 C．（a2）4＝a6 D．a3÷a﹣1＝a2
3．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2
4．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小
正方体的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（3分）在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随
机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是
（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，BD是 O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
⊙A．50° B．45° C．40° D．35°
7．（3分）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB ＝4 ，若反比例函数y＝
（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）若关于x的方程 ＝3无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
9．（3分）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
10．（3分）观察下列数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
11．（3分）下列图形是黄金矩形的折叠过程：
第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；
第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．
则下列线段的比中：① ，② ，③ ，④ ，比值为 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，
若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任
意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）在2022年3月13日北京冬残奥会闭幕当天，奥林匹克官方旗舰店再次发售
1000000只“冰墩墩”，很快便售罄．数据1000000用科学记数法表示为 ．
14．（3分）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEC．15．（3分）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的
标价为每件 元．
16．（3分）一列数据：1，2，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的中位数是 ．
17．（3分） O的直径CD＝10，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC
的长为 ⊙ ． ⊙
18．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物
线的顶点坐标是 ．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋
转90°后，点B的对应点B'坐标是 ．
20．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，
点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：
①AC＝CD；② AD2＝BC•AF；③若AD＝3 ，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝
DH•AC，正确的是 ．
三、解答题（共60分）
21．（5分）先化简，再求值．（x﹣ ）÷ ，其中x＝cos30°．
22．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，
顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣ ，顶点坐标是（﹣ ， ）．
23．（6分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作
等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．
24．（7分）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地
足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对
他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一
种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请解答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有多少人？
（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？
25．（8分）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不
计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人
距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出
自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
26．（8分）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如
图①，易证：BC+BE＝BF．请解答下列问题：
（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；
（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC ＝12 ，则BC＝ ，BF＝ ．
27．（10分）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫
用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B
种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：
（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用
品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
（3）为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备
（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多
可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，
AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长
分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．
请解答下列问题：
（1）求点B，C的坐标；
（2）若反比例函数y＝ （k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比
为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．2022年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．a•a2＝a3 C．（a2）4＝a6 D．a3÷a﹣1＝a2
【分析】A．应用合并同类项的法则进行计算即可得出答案；
B．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
C．应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
D．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为a+a＝2a，所以A选项计算不正确，故A选项不符合题意；
B．因为a•a＝a3，所以B选项计算正确，故B选项符合题意；
C．因为（a2）4＝a8，所以C选项计算不正确，故C选项不符合题意；
D．因为a3÷a﹣1＝a3﹣（﹣1）＝a4，所以D选项计算不正确，故D选项不符合题意．故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的
乘除法，合并同类项，幂的乘方运算法则进行求解即可得出答案．
3．（3分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2
【分析】根据二次根式 （a≥0），可得x﹣2≥0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式
（a≥0）是解题的关键．
4．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小
正方体的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三视图画出小正方体搭成的几何体即可作出判断．
【解答】解：由三视图画出小正方体搭成的几何体如下：
则搭成这个几何体的小正方体的个数是4，
故选：B．
【点评】本题主要考查三视图的知识，根据三视图画出小正方体搭成的几何体是解题的关键．
5．（3分）在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随
机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，利用
概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，
∴两次都摸到红球的概率是 ，
故选：D．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率的知识．树状图可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试
验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）如图，BD是 O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）
⊙
A．50° B．45° C．40° D．35°
【分析】由BD是 O的直径，可求得∠BCD＝90°，又由圆周角定理可得∠D＝∠A＝50°，
继而求得答案．⊙
【解答】解：∵BD是 O的直径，
∴∠BCD＝90°， ⊙∵∠D＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结
合思想的应用．
7．（3分）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB ＝4 ，若反比例函数y＝
（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，得出S△AOC ＝ S△AOB ＝2
＝ |k|，即可求出k的值．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是正三角形，
∴OC＝BC，
∴S△AOC ＝ S△AOB ＝2 ＝ |k|，
又∵k＞0，
∴k＝4 ，
故选：D．【点评】本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握等边三角形的性
质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
8．（3分）若关于x的方程 ＝3无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【分析】先去分母，再根据条件求m．
【解答】解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，
∴（m﹣3）x＝﹣2．
当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．
当m﹣3≠0时，x＝ ，
∵方程无解，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
∴m﹣3＝﹣2，
∴m＝1，
综上：当m＝1或3时，原方程无解．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
9．（3分）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然
后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2 ×1＝2 ，
设圆心角的度数是n度． π π则 ＝2 ，
π
解得：n＝120．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间
的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的
弧长．
10．（3分）观察下列数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是 ×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝
12代入求值即可．
【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是 ×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是 ×（﹣1）12+1＝﹣ ．
故选：D．
【点评】考查了找规律以及代数式求值问题，关键要读懂题意，能根据题意找到规律并利
用规律解决问题．
11．（3分）下列图形是黄金矩形的折叠过程：
第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；
第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：① ，② ，③ ，④ ，比值为 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【分析】设MN＝2a，则BC＝DE＝2a，AC＝a，根据折叠的性质和正方形，矩形的性质分别
计算相应线段的长，再计算①②③④中的比值即可解答．
【解答】解：①设MN＝2a，则BC＝DE＝2a，AC＝a，
在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝ a，
如图（3），由折叠得：AD＝AB＝ a，
∴CD＝AD﹣AC＝AB﹣AC＝ a﹣a，
∴ ＝ ＝ ；
② ＝ ＝ ；
③∵四边形MNCB是正方形，
∴CN＝MN＝2a，
∴ND＝a+ a，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
④ ＝ ＝ ；
综上，比值为 的是①③；
故选：B．
【点评】本题考查了黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换，分母有理化等知识，解题的关
键是掌握折叠的性质，利用参数表示相应线段的长是解本题的关键，属于中考创新题目．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任
意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x
＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判
断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最
小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④；
【解答】解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，
可得OA＝5，OB＝1，
∴点A（﹣5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣ ＝﹣2，
∴b＝4a，
∵a+b+c＝0，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+4c＝﹣11a，
∵a＞0，
∴9a+4c＜0，故③正确；
④当x＝﹣2时，函数有最小值y＝4a﹣2b+c，
由am2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，∴若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本
题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）在2022年3月13日北京冬残奥会闭幕当天，奥林匹克官方旗舰店再次发售
1000000只“冰墩墩”，很快便售罄．数据1000000用科学记数法表示为 1×1 0 6 ．
【分析】应用科学记数法﹣表示较大的数：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a
是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：
a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
【解答】解：1000000＝1×106．
故答案为：1×106．
【点评】本题主要考查了科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握科学记数法﹣表示较大的
数的表示方法进行求解是解决本题的关键．
14．（3分）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 CB ＝ CE （ 答案不唯一） ，使
△ABC≌△DEC．
【分析】根据等式的性质可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，
ASA或AAS即可解答．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
15．（3分）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的
标价为每件 1 5 元．【分析】设该商品的标价为每件x元，根据八折出售可获利2元，可得出方程：80%x﹣10＝
2，再解答即可．
【解答】解：设该商品的标价为每件x元，
由题意得：80%x﹣10＝2，
解得：x＝15．
答：该商品的标价为每件15元．
故答案为：15．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难
度一般．
16．（3分）一列数据：1，2，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的中位数是 4 ．
【分析】根据数据的平均数计算出x的值，再确定数据的中位数即可．
【解答】解：由题意知， ＝4，
解得x＝8，
∴这组数据为1，2，3，5，5，8，
∴这组数据的中位数是 ＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查平均数和中位数的知识，熟练掌握平均数和中位数的概念是解题的
关键．
17．（3分） O的直径CD＝10，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC
的长为 ⊙ 4 或 2 ． ⊙
【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根
据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利
用勾股定理分别计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OM：OC＝3：5，设OC＝5x，OM＝3x，
则OD＝OC＝5x，
∵CD＝10，
∴OM＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝ AB，
在Rt△OAM中，OA＝5，
AM＝ ，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC＝ ；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC＝ ．
综上所述，AC的长为4 或2 ．
故答案为：4 或2 ．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
18．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物
线的顶点坐标是 （ 3 ， 5 ） ．
【分析】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝
（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加
下减．并用规律求函数解析式．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋
转90°后，点B的对应点B'坐标是 （﹣ 2 ， 3 ）或（ 2 ，﹣ 3 ） ．【分析】根据旋转可得：BM＝B M ＝B M ＝3，∠AOA ＝∠AOA ＝90°，可得B 和B 的坐
1 1 2 2 1 2 1 2
标，即是B'的坐标．
【解答】解：∵A（﹣1，2），OC＝4，
∴C（4，0），B（3，2），M（0，2），BM＝3，AB∥x轴，
将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，
由旋转得：OM＝OM ＝OM ＝2，∠AOA ＝∠AOA ＝90°，BM＝B M ＝B M ＝3，
1 2 1 2 1 1 2 2
A B ⊥x轴，A B ⊥x轴，
1 1 2 2
∴B 和B 的坐标分别为：（﹣2，3）、（2，﹣3），
1 2
∴B'即是图中的B 和B ，坐标就是（﹣2，3）或（2，﹣3），
1 2
故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形
是解题的关键．
20．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，
点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：
①AC＝CD；② AD2＝BC•AF；③若AD＝3 ，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝
DH•AC，正确的是 ②③ ．【分析】①根据等腰直角三角形可知∠B＝∠ACB＝45°，若AC＝CD，则∠ADC＝∠CAD
＝67.5°，这个根据已知得不出来，所以①错误；
②证明△AEF∽△ABD，列比例式可作判断；
④证明△ADH∽△BAH，列比例式可作判断；
③先计算AH的长，由④中得到的比列式计算可作判断．
【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
而∠BAD的度数不确定，
∴∠ADC与∠CAD不一定相等，
∴AC与CD不一定相等，
故①错误；
②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠B＝∠AED＝45°，
∴△AEF∽△ABD，
∴ ＝ ，
∵AE＝AD，AB＝ BC，
∴AD2＝AF•AB＝AF• BC，
∴ AD2＝AF•BC，
故②正确；
④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，
∴△ADH∽△BAH，
∴ ＝ ，∴AH2＝DH•BH，
而BH与AC不一定相等，
故④不一定正确；
③∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADG＝45°，
∵AH⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∵AD＝3 ，
∴AG＝DG＝ ，
∵DH＝5，
∴GH＝ ＝ ＝ ，
∴AH＝AG+GH＝2 ，
由④知：AH2＝DH•BH，
∴（2 ）2＝5BH，
∴BH＝8，
∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，
故③正确；
本题正确的结论有：②③
故答案为：②③．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三
角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定，计算线段的长或进行比例式的变形，
属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共60分）
21．（5分）先化简，再求值．（x﹣ ）÷ ，其中x＝cos30°．
【分析】直接利用分式的加减运算法则将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则
计算，结合特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：原式＝ •
＝ •＝x﹣1，
∵x＝cos30°＝ ，
∴原式＝ ﹣1．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值、分式的混合运算，正确掌握分式的混合运
算法则是解题关键．
22．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，
顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣ ，顶点坐标是（﹣ ， ）．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出；
（2）把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得D的坐标，进一步求得点P的坐标，令x＝
0即可求得C的坐标，利用勾股定理即可求得CP的长．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴C（0，3），
∵P为BD的中点，
∴P（2，2），
∴CP＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的应用，熟练掌握待定系
数法是解题的关键．
23．（6分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作
等腰直角三角形ADE，连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．
【分析】分两种情况，即等腰直角三角形ADE的直角顶点为点A或点D两种情况，分别画
出相应的图形，通过作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出答案即可．
【解答】解：利用三角板可作图1，图2；
（1）如图1，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝3，OB＝OD＝ BD＝4，
∴AB＝ ＝5＝BC＝CD＝AD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝90°，AE＝AD，
∴∠OAD+∠FAE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠FAE+∠FEA＝90°，
∴∠OAD＝∠FEA，
在△AOD和△EFA中，
，
∴△AOD≌△EFA（AAS），
∴AF＝DO＝4，EF＝AO＝3，
在Rt△CEF中，CF＝4+6＝10，EF＝3，∴EC＝ ＝ ；
（2）如图2，过点E作BD的垂线，交BD的延长线于点F，过点C作EF的垂线交EF的延
长线于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∵EF⊥BD，
∴∠OFG＝90°，
又∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴四边形OCGF是矩形，
由（1）的方法可证，△AOD≌△DFE（AAS），
∴DF＝AO＝3，EF＝DO＝4，
∴OF＝OD+DF＝4+3＝7＝CG，
在Rt△ECG中，CG＝7，EG＝EF+FG＝4+3＝7，
∴EC＝ ＝ ＝7 ；
综上所述，EC＝ 或EC＝7 ．
【点评】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等以及等腰直角三角形的性
质，勾股定理，掌握菱形、矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理是正确解答的前提．
24．（7分）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地
足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对
他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一
种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请解答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有多少人？
（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是 120 ° ；
（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？
【分析】（1）根据A．速度滑冰的人数和百分比即可解决问题；
（2）根据60﹣12﹣20﹣8﹣4＝16，即可补全条形统计图；然后可以计算图中B类活动扇形
圆心角的度数；
（3）根据样本估计总体的方法即可解决问题．
【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），
答：这次被抽查的学生有60人；
（2）补全的条形统计图如图，B类活动扇形圆心角的度数＝ ×360°＝120°，
故答案为：120°；
（3）1500× ＝200（人）．
答：全校最喜爱雪地足球的学生约有200人．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表的知识，用样本估计总体，关键在于计算的准确性．
25．（8分）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙
从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不
计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人
距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 30 0 米/分钟，乙的速度为 80 0 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出
自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【分析】（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；
（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐
标代入，求解方程组即可；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴ ，
解得， ．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反
方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x＝ ．
∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x＝ （不合题意，舍去）
∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x＝ 或x＝6．
综上，出发 分钟或 分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点评】本题考查一次函数的应用、路程＝速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图
象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．
26．（8分）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE＝BF．请解答下列问题：
（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；
（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC ＝12 ，则BC＝ 8 ，BF＝ 1 4 或 1 8 ．
【分析】（1）根据图形分别得出答案；
（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；
（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E
的位置进行分类即可．
【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，
图③：BE﹣BC＝BF；
（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴BC＝EF，
∵BE＝BC+CE，
∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；
图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴BC＝EF，
∵BE＝BF+EF，
∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；
（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，
∵∠B＝∠F＝60°，
∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，
∴AH＝3 ，
∵S△ABC ＝12 ，
∴ ＝12 ，
∴BC＝8，
∵CE＝2，
∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；
同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，
故答案为：8，14或18．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，
运用分类讨论思想是解题的关键．
27．（10分）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫
用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B
种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：
（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；
（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用
品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
（3）为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备
（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多
可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）
【分析】（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为（x+500）元/箱，
利用数量＝总价÷单价，结合用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防
疫用品的箱数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种防疫用品的
成本，再将其代入（x+500）中即可求出A种防疫用品的成本；
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产（50﹣m）箱A种防疫用品，根据“该工厂计划用不
超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱”，即
可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可
得出该工厂共有6种生产方案；
（3）设（2）中的生产成本为w元，利用生产成本＝A种防疫用品的成本×生产数量+B种防
疫用品的成本×生产数量，即可得出关于w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出（2）中最低成本，设购买a台甲种设备，b台乙种设备，利用总价＝单价×数量，即可
得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案，再将其代入
a+b中即可得出结论．
【解答】解：（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为（x+500）元/箱，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，
∴x+500＝1500+500＝2000．
答：A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱．
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产（50﹣m）箱A种防疫用品，
依题意得： ，
解得：20≤m≤25．
又∵m为整数，
∴m可以为20，21，22，23，24，25，
∴该工厂共有6种生产方案．
（3）设（2）中的生产成本为w元，则w＝2000（50﹣m）+1500m＝﹣500m+100000，
∵﹣500＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣500×25+100000＝87500．
设购买a台甲种设备，b台乙种设备，
依题意得：2500a+3500b＝87500，
∴a＝35﹣ b．
又∵a，b均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴a+b＝33或31或29或27．
∵33＞31＞29＞27，
∴共有4种购买方案，最多可购买甲，乙两种设备共33台．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元
一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，
AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长
分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．
请解答下列问题：
（1）求点B，C的坐标；
（2）若反比例函数y＝ （k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比
为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程的两个根就是OB，OC的长，再根据在x轴的正半轴上还是负半轴上
就可以得到坐标；
（2）根据题意得∠BAC＝∠BCA，所以AB＝BC＝5，又因为AD∥BC，所以∠ADB＝
∠DBC，即∠ABD＝∠ADB，所以AB＝AD＝5，再根据勾股定理得AO的长，从而求解；
（3）先由勾股定理求出BD的长，再分两种情况：①当BD是矩形一边，又分BD是短边和
长边时计算；②当BD是对角线时，以BD为半径作圆，可得符合题意的两个矩形进行计
算，详情见解答过程．
【解答】解：（1）由x2﹣5x+6＝0，解得x ＝2，x ＝3，
1 2
∵OB，OC的长分别是方程的两个根，且OB＞OC，
∴OB＝3，OC＝2．
∴B（﹣3，0），C （2，0）；
（2）∵AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，
∵∠CAO＝∠DBC，∠CAO+∠AFB＝∠DBC+∠AOB，
∴∠AFB＝∠AOB＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠AFB＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝5，
∵在Rt△ABO中，AO＝ ＝ ＝4，
∴D（5，4），
∴反比例函数解析式为：y＝ ；
（3）存在，N （3，﹣12），N （ ，﹣ ），N （ ，﹣ ），
4 5 6
理由：过点D作DG⊥x轴于点G，
∵B（﹣3，0），D（5，4），
∴BG＝8，DG＝4，BD＝ ＝4 ，
∵使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形，
①当BD是矩形一边，且是短边时，即图中矩形BDM N 和矩形BDM N ，
1 1 4 4
由BD：N B＝2：3，得N B＝6 ，
1 1
过点N 作N H⊥x轴于点H，由一线三等角易得△BDG∽△N BH，
1 1 1
∴根据相似三角形三边对应成比例得：BH＝6，N H＝12，
1
∴OH＝OB+BH＝3+6＝9，
∴N （﹣9，12），
1
同理得点N （3，﹣12），
4
当BD是矩形一边，且是长边时，即图中矩形BDM N 和矩形BDM N ，
2 2 3 3方法同上，得点N （﹣ ， ），N （﹣ ，﹣ ）；
2 3
②当BD是对角线时，如下图：以BD为半径作圆，矩形BN DM ，BN DM 即为符合题意
5 5 6 6
矩形，
当BN ：N D＝2：3时，过点N 作KL∥x轴，过点B作BK⊥KL于点K，过点D作DL⊥KL
5 5 5
于点L，由一线三等角易得△BKN ∽△DLN ，
5 5
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴BK＝ N L，KN ＝ LD，
5 5
设N L＝x，LD＝y，
5
∴BK＝ x，KN ＝ y，
5
∵N L+KN ＝8，DL﹣BK＝4，
5 5
∴ ，
解得： ，
∴KN ＝ y＝ ＝ ，N 的横坐标＝ ﹣3＝ ，
5 5
同理得N 的纵坐标＝﹣ ；
5
再同理得：当BN ：N D＝3：2时，N （ ，﹣ ）．
5 5 6
综上所述：在第四象限内点N的坐标为N（3，﹣12），N（ ，﹣ ），N （ ，﹣ ）．
4 5 6
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了解一元二次方程、矩形性质、三角形相似的判定和性质、直径所对的圆周角是直角、分类讨论思想和一线三等角模型，解题关键是恰当作出辅
助线，计算难度较大，属于中考常考类型，易出错．
