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专题 02 平行线解答题压轴
1．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论
运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、
EQ．
（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理
由；
（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数；
（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长
线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请直接写出∠PFQ的度数．
2．【问题情景】如图1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．过点P作PM∥AB，
则∠EPF＝ ；
【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接
PE，PF，过 P 点作 PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF 之间的数量关系是
，请在下方说明理由；
【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分线和
∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，则∠EGF＝ ．
3．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系．
（2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板
的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点
G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：
① 的值不变；
②∠GEN﹣∠BDF的值不变．
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．
4．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为
∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 °
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，
∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，
在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直
接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
5．如图1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．（1）求证：∠DEC+∠ECD＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABD交CD的延长线于点F，若∠ABC＝100°，求∠F的大小；
（3）如图3，若H是BC上一动点，K是BA延长线上一点，KH交BD于点M，交AD
于点O，KG平分∠BKH，交DE于点N，交BC于点G，当点H在线段BC上运动时
（ 不 与 点 B 重 合 ） ， 求 的 值 ．
6．已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接
MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若
，求∠KMN的度数．7．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角
形中的位置关系与数量关系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°）
（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．
①∠AOD与∠BOC大小关系是 ，依据是 ．
②∠BOD与∠AOC的数量关系是 ．
（2）小亮固定其中一块三角尺△COD不动，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2
的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与
△COD的一边平行的情况．
①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小；
②直接写出∠AOC的其余所有可能值．
8．已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接
MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，若KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若
∠DHG＝5∠MPG，请直接写出∠KMN的度数．9．已知直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，
且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，
∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
（1）如图，当点P在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间的关系，并给出证
明；
（2）当点P在线段EF外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是
否还成立？若不成立，请你探索∠1，∠2，∠3之间的关系（不需要证明）．10．问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线 AB，CD和一块含60°角的直角三角
尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的
度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探
索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．
若∠AEG＝ ，则∠CFG等于 （用含 的式子表示）．
α α
11．【阅读与思考】如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、
BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
【思考与探究】
（1）①∠ABN的度数是 ；
②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠ ；
③∠CBD的度数是 ；
【猜想与探究】
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，
请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
12．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的
度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点 A 作 ED∥BC，∴∠B＝ ，∠C＝ ，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将
∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，
DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度数．
（用含n的代数式表示）
13．如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．（1）若∠C＝40°，则∠BAM＝ ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求
∠DEB的度数．
14．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线
交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝
4∠HFM，直接写出 的值．
15．已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．
（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG
上一点，连接NE，求证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE
交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的
度数．
16．将一副三角板中的两个直角顶点 C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝
60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时
CE∥AB，并简要说明理由．
17．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图 2，点 M 在直线 AB，CD 之间，连接 GM，HM，求证：∠M＝
∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点
N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+ ∠FGN，求∠MHG的度数．
18．【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、
∠C的关系是 （直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG 和EG 为∠BEF内满
1 2
足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G 和G ，求证：∠FG E+∠G ＝
1 2 1 2
180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°
＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 ．19．已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD．
（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝
68°时，求∠GMH的度数．
（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是
∠MHD的平分线，作HN∥PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它
的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
20．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接 CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝
45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线
AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求 的值．21．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、
AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于
E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A D 如图2所示位置，此时A E平分
1 1 1
∠AA D ，CE 平分∠ACD ，A E与CE 相交于 E，∠PAC＝50°，∠A D C＝30°，求
1 1 1 1 1 1
∠A EC的度数．
1
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A D 如图3所示位置，其他条件与（2）
1 1
相同，求此时∠A EC的度数．
1
22．如图1所示：点E为BC上一点，∠A＝∠D，AB∥CD．
（1）直接写出∠ACB与∠BED的数量关系；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点，
若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度数；
（3）保持（2）中所求的∠DEB 的度数不变，如图 3，BM 平分∠EBK，DN 平分
∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度数．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）23．如图，射线CB∥OA，∠C＝∠OAB．
（1）求证：AB∥OC；
（2）若点E，F在CB上，且∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
①当∠C＝110°时，求∠EOB的度数；
②如果平移AB，那么 的值是否随之发生变化？若不变，求出这个值；若变化，
请说明理由．
24．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量
关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点
H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．25．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直
线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝
∠PHD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，
Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N
在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于 0°且小
于180°的角）
26．已知AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．
（1）若∠EFB＝50°，∠EDP＝35°，求∠MPD的度数；
（2）如图1，当点P在线段EF上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问：
是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
（3）①如图2，当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于
Q，则 的值为 ；②当点P在直线EF上运动时，∠CDP与∠ABP的n等分线交于Q，其中∠CDQ＝
∠CDP，∠ABQ＝ ∠ABP，设∠DPB＝ ，求∠Q的度数（直接用含n， 的代数式表
示 ， 不 需 说α 明 理 由 α ） .
27．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与
O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速
度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．28．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面
镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则
入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．
（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被
b 反射出的光线 n 与光线 m 平行，且∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝
°．
（2）请你猜想：当射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光
线m与反射光线n平行时，两平面镜a、b间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，
请求出∠3，若不是定值，请说明理由．
（3）如图3，两面镜子的夹角为 °（0＜ ＜90），进入光线与离开光线的夹角为 °（0
＜ ＜90）．试探索 与 的数量α关系，并α说明理由． β
β α β
29．（1）如图1，已知直线l ∥l ，且l 和l ，l 分别交于A，B两点，点P在线段AB上，
1 2 3 1 2
则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是 ；如图2，点A在B处北偏东40°
方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝ °．
（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试
说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．30．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点
P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：
如图 1，当 P 点在 EF 的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC 满足数量关系为
，如图 2，当 P 点在 EF 的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC 满足数量关系为
．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q ，∠BEQ 与∠DFQ 的角平分线交
1 1 1
于点Q ，∠BEQ ，与∠DFQ 的角平分线交于点Q ；此次类推，则∠EPF与∠EQ F
2 2 2 3 2018
满足怎样的数量关系？（直接写出结果）31．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）如图 2，点 P 从点 A 出发，沿线段 AF 运动到点 F 停止，连接 PB，PE．则
∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重
合的情况）？并说明理由．
32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB
于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN 所放位置如图①所示时，则∠PFD 与∠AEM 的数量关系为
；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N
的度数．33．【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则
∠AFB＝ °；
（2）如图2，∠ADC＝ ，∠BCD＝ ，且 + ＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于
点F，则∠AFB＝ α β ；α（β用 、 表示）
（3）如图3，∠ADC＝ ，∠BCD＝ ，当∠DABα和∠βCBE的平分线AG、BH平行时，
、 应该满足怎样的数量α 关系？请证β明你的结论．
α β
【挑战】
如果将（2）中的条件 + ＞180°改为 + ＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，
你又可以找到怎样的数α量关β 系？画出图α形并β 直接写出结论．
34．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝ ∠BCM＝ ，∠B＝4 ．
（1）求证：AB∥CD； α α（2）若∠A＝ ∠B，求∠BOD的度数；（用含 的式子表示）
（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEBα交CM于点P，如备用图所示，求证：
∠COE＝2∠EPC+ ∠B．
35．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、
NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG
＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图 3，若点 E 是 AB 上方一点，连接 EM、EN，且 GM 的延长线 MF 平分
∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结
果）
36．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连
接BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想
∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交
于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
37．如图，已知直线AB∥CD．
（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1
＝30°，∠3＝75°，则∠2＝ ；
（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+
∠FGE＝54°时，求∠AEN的度数；
（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与
∠H的数量关系，并说明理由．
