文档内容
专题 02 平行线解答题压轴
1．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论
运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、
EQ．
（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理
由；
（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数；
（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长
线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请直接写出∠PFQ的度数．
【答案】（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
（2）115°；
（3）140°．
【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，
如图1，过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，
∵AB∥EH，
∴∠APE＝∠PEH，
又∵CD∥EH，
∴∠CQE＝∠HEQ，
∵∠PEQ＝∠PEH+HEQ，
∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
（2）如图2，由（1）得，∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝130°；
∵∠APE+∠BPE＝180°，∠CQE+∠DQE＝180°，
∴∠BPE+∠DQE＝360°﹣130°＝230°，
又∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠3＝ （∠BPE+∠DQE）＝ ×230°＝115°，
在四边形PEQF中，
∠PFQ＝360°﹣（∠1+∠2+∠PEQ）＝360°﹣（115°+130°）＝115°；
（3）140°，如图3，延长PF交CD与点M，
∵PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，
∴∠BPE＝∠DNE，∠2＝∠PMC＝∠1，
又∵∠DQE＝∠DNE+∠E，即2∠4＝2∠1+80°，
∴∠4﹣∠1＝40°，
∴∠PFQ＝∠FQD+∠PMC＝180°﹣∠4+∠1＝180°﹣（∠4﹣∠1）＝180°﹣40°＝140°．
2．【问题情景】如图1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．过点P作PM∥AB，
则∠EPF＝ 105 ° ；
【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接
PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系是 ∠ PFC
＝∠ PEA + ∠ FPE ，请在下方说明理由；
【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分线和
∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，则∠EGF＝ 18 ° ．【答案】（1）105°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠FPE；
（3）18°．
【解答】解：（1）∵AB∥PM，
∴∠1＝∠AEP＝45°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝120°，
∴∠2＝180°﹣120°＝60°，
∴∠1+∠2＝45°+60°＝105°．
即∠EPF＝105°，
故答案为：105°．
（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF．
理由：∵PN∥AB，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥AB，AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，
故答案为：∠PFC＝∠PEA+∠FPE．
（3）∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴ ，
由（2）可知，∠CFP＝∠FPE+∠AEP，
∴∠HGF＝ （∠FPE+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝ （36°+∠AEP）﹣∠HGE＝18°．
故答案为：18°．
3．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动
点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系．
（2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板
的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点
G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：
① 的值不变；
②∠GEN﹣∠BDF的值不变．
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）结论① 的值不变是正确的，
设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴ ＝ ＝2（定值），
即 的值不变，值为2．
4．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为
∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 6 0 °
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，
∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，
在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直
接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【答案】（1）60°；
（2）①∠B＝75°；
②当BG上的动点P为∠CDG的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补
周角，此时k＝2n．
【解答】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x＝360，
解得，x＝60，
∠H的4系补周角的度数为60°，
故答案为60；
（2）①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D＝60°，
∴∠D＝∠DEF＝60°，
∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°＝∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED＝360°﹣3∠B，
∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，
∴∠B＝75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k＝2n．
5．如图1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．
（1）求证：∠DEC+∠ECD＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABD交CD的延长线于点F，若∠ABC＝100°，求∠F的大小；
（3）如图3，若H是BC上一动点，K是BA延长线上一点，KH交BD于点M，交AD
于点O，KG平分∠BKH，交DE于点N，交BC于点G，当点H在线段BC上运动时
（ 不 与 点 B 重 合 ） ， 求 的 值 ．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠F＝40°；
（3）2．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，即∠BCD+∠BDC+∠ADB＝180°，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADB＝2∠EDB，
∵∠BDC＝∠BCD，
∴2（∠BDC+∠EDB）＝180°，
∴∠BDC+∠EDB＝90°，即∠CDE＝90°，
∴∠DEC+∠ECD＝90°；（2）解：如图2，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠DBF，
设∠ABF＝∠DBF＝ ，
∵∠ABC＝100°， α
∴∠CBD＝100°﹣2 ，
∵∠BDC＝∠BCD，α
∴∠BDC＝∠BCD＝ （180°﹣∠CBD）＝40°+ ，
∵∠BDC＝∠F+∠DBF， α
∴∠F＝∠BDC﹣∠DBF＝40°+ ﹣ ＝40°；
（3）解： α α
在△BMK中，∠BMK＝∠DMH＝180°﹣∠ABD﹣∠BKH，
又∵∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB），
∴∠DMH+∠BAD＝（180°﹣∠ABD﹣∠BKH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB）＝360°﹣
∠BKH﹣2∠ABD﹣∠ADB＝2[180°﹣ （∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD]，
∵KG平分∠BKH，DE平分∠ADB，
∴∠BKG＝ ∠BKH，∠BDE＝ ∠ADB，
∴∠DNG＝∠KNE＝180°﹣∠BKG﹣∠AED＝180°﹣ ∠BKH﹣∠ABD﹣∠BDE＝180°﹣ （∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD，
∴ ＝ ＝2．
6．已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接
MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若
，求∠KMN的度数．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）50°．
【解答】（1）证明：∵∠CHG＝∠DHF，∠AGH+∠DHF＝180°，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：过K作KR∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴RK∥AB∥CD，
∴∠MPG＝∠MKR，∠NQH＝∠RKN，
∵∠MPG+∠NQH＝90°，
∴∠MKR+∠NKR＝90°∴∠MKN＝90°，
∴MK⊥NK；
（3）解：如图，过M作MT∥AB，过K作KR∥AB，
∵AB∥CD，
∴MT∥AB∥CD∥KR，
∵KH平分∠MKN，
∴∠MKH＝∠NKH＝45°
∵ ，
∴设∠DHG＝17x，∠MPG＝7x，
∵HE平分∠KHD，
∴∠KHM＝∠DHG＝17x，
∴∠KHD＝34x∴∠KHQ＝180°﹣34x，
∵CD∥KR，
∴∠RKH＝∠KHQ＝180°﹣34x，
∵MT∥AB∥KR
∴∠TMP＝∠MKR＝∠MPG＝7x，∠TMH＝∠MHD＝17x，
∵∠MKH＝45°，
∴∠RKH+∠MKR＝180°﹣34x+7x＝45°，
∴x＝5°，
∵∠KMN＝∠TMH﹣∠TMP，
∴∠KMN＝17x﹣7x＝10x＝50°．7．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角
形中的位置关系与数量关系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°）
（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．
①∠AOD与∠BOC大小关系是 相等 ，依据是 同角的余角相等 ．
②∠BOD与∠AOC的数量关系是 互补 ．
（2）小亮固定其中一块三角尺△COD不动，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2
的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与
△COD的一边平行的情况．
①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小；
②直接写出∠AOC的其余所有可能值．
【答案】（1）①相等，同角的余角相等；②互补；
（2）①75°；②30°，45°，120°，135°．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠AOD＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC，（同角的余角相等），
故答案为：相等，同角的余角相等；
②∠AOC与∠BOD互补．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
即∠AOC与∠BOD互补，
故答案为：互补；
（2）①如图，过点O作OE∥AB，则OE∥AB∥CD，
∵OE∥AB∥CD，
∴∠A＝∠AOE＝30°，∠C＝∠COE＝45°，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝30°+45°＝75°；
②当AB∥OC时，如图，
此时∠AOC＝∠A＝30°；
当OA∥CD时，如图，
此时，∠AOC＝∠C＝45°；
当AB∥CD时，
由①得，∠AOC＝75°；
当AB∥OD时，如图，此时，∠BOD＝∠B＝60°，
∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°；
当OB∥CD时，如图，
此时，∠BOD＝∠D＝45°，
∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°；
综上，∠AOC的其余所有可能值为30°，45°，120°，135°．
8．已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接
MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，若KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若
∠DHG＝5∠MPG，请直接写出∠KMN的度数．【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）∠KMN的度数为60°．
【解答】（1）证明：∵∠AGH+∠DHF＝180°，
又∵∠DHF＝∠EHC，
∴∠AGH+∠EHC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图，由（1）知，AB∥CD，
过K作KO∥AB，
∵AB∥CD，
∴KO∥CD
∵KO∥AB
∴∠MPG＝∠MKO，
∵KO∥CD，
∴∠NQH＝∠NKO，
∵∠MPG+∠NQH＝90°，
∴∠MKO+∠NKO＝90°，
则∠MKN＝90°，
即MK⊥NK．
（3）解：如图，过M作MT∥AB，过K作KR∥AB，∵AB∥CD，
∴MT∥AB∥CD∥KR，
∵KH平分∠MKN，
∴∠MKH＝∠NKH＝45°，
∵∠DHG＝5∠MPG，
∴设∠DHG＝5x，∠MPG＝x，
∵HE平分∠KHD，
∴∠KHM＝∠DHG＝5x，
∴∠KHD＝10x，
∴∠KHQ＝180°﹣10x，
∵CD∥KR．
∴∠RKH＝∠KHQ＝180°﹣10x，
∵MT∥AB∥KR，
∴∠TMP＝∠MKR＝∠MPG＝x，∠TMH＝∠MHD＝5x，
∵∠MKH＝45°，
∴∠RKH+∠MKR＝180°﹣10x+x＝45°，
∴x＝15°，
∵∠KMN＝∠TMH﹣∠TMP，
∴∠KMN＝5x﹣x＝4x＝60°．
9．已知直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，
且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，
∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
（1）如图，当点P在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间的关系，并给出证明；
（2）当点P在线段EF外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是
否还成立？若不成立，请你探索∠1，∠2，∠3之间的关系（不需要证明）．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）∠1+∠3＝∠2，
证明：
过P作PM∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥PM，
∴∠1＝∠APM，∠3＝∠BPM，
∴∠1+∠3＝∠APM+∠BPM，
即∠1+∠3＝∠2；
（2）不成立，有两种情况：
①如图2，此时∠1+∠2＝∠3，
理由是：∵a∥b，
∴∠3＝∠PQE，
∵∠1+∠2＝∠PQE，
∴∠1+∠2＝∠3；
②如图3，
此时∠2+∠3＝∠1，
理由是：∵a∥b，
∴∠1＝∠PQF，
∵∠2+∠3＝∠PQF，
∴∠2+∠3＝∠1．
10．问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线 AB，CD和一块含60°角的直角三角
尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的
度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探
索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．
若∠AEG＝ ，则∠CFG等于 60 ° ﹣ （用含 的式子表示）．
α α α
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝ （180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）如图3，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝ ，
∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣ ＝60°﹣ ． α
故答案为：60°﹣ ． α α
11．【阅读与思考】α
如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、
BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
【思考与探究】
（1）①∠ABN的度数是 116 ° ；
②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠ CBN ；
③∠CBD的度数是 58 ° ；
【猜想与探究】
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，
请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
【答案】（1）①116°；②CBN；③58°；
（2）不变，2：1；
（3）29°．
【解答】解：（1）①∵AM∥BN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
故答案为：116°；
②∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
故答案为：CBN；
③∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（2）不变，
∠APB：∠ADB＝2：1，
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°，
故答案为：29°．
12．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的
度数．阅读并补充下面推理过程．
解 ： 过 点 A 作 ED∥ BC ， ∴ ∠ B ＝ ∠ EAB ， ∠ C ＝ ∠ DAC ，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将
∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，
DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度数．
（用含n的代数式表示）
【答案】（1）∠EAB；∠DAC；
（2）360°；
（3）①43°；② ．
【解答】解：（1）∵ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：∠EAB；∠DAC；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CF∥AB，
∴∠B+∠FCB＝180°，
∴∠B+∠FCB+∠FCD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°；
（3）①过E作EG∥AB，
∵AB∥DC，
∴EG∥CD，
∴∠GED＝∠EDC，
∵DE平分∠ADC，
∴ ，
∴∠GED＝25°，
∵BE平分∠ABC，∴ ，
∵GE∥AB，
∴∠BEG＝∠ABE＝18°，
∴∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；
②过E作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠PED＝∠EDC＝25°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，
∴ ，
∵AB∥PE，
∴∠ABE+∠PEB＝180°，
∴ ，
∴ ．
13．如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．
（1）若∠C＝40°，则∠BAM＝ 130 ° ；（2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求
∠DEB的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC，
∵BE∥NC，∠C＝40°，
∴∠CBE＝∠C＝40°．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．
∵AM∥BE，
∴∠BAM+∠ABE＝18°，
∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°；
（2）证明：如图2，过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF＝180°．
∵BD⊥AM，
∴∠ADB＝90°．
∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°．
又∵AB⊥BC，
∴∠CBF+∠ABF＝90°．
∴∠ABD＝∠CBF．
∵AM∥CN，
∴BF∥CN，
∴∠C＝∠CBF．
∴∠ABD＝∠C．
（3）解：设∠DEB＝x°，由（2）可得∠ABD＝∠C，
∵∠C＝∠DEB，
∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x°．
过点B作BF∥DM，如图3，
∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC．∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x°．
∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x°．
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBC＝2∠CBE＝4x°，即4x＝90+x，解得x＝30．
∴∠DEB的度数为30°．
14．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线
交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝
4∠HFM，直接写出 的值．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EF∥GH；
（2）如图2，过点N作NK∥CD，
∴KN∥CD∥AB，
∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，
设∠4＝x，∠7＝y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，
又∵AB∥CD，
∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM＝90°，
∴180°﹣2x+2y＝90°，
∴x﹣y＝45°，
∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，（3）
∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，
∴x＝ ，
∴x﹣y＝ ﹣y＝45°
∴y＝27°，x＝72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，
∴ ，
故答案为 ．
15．已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG
上一点，连接NE，求证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE
交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的
度数．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）∠EDN的度数为45°．
【解答】（1）证明：∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠BED，
∴∠ADE＝∠BED，
∴AD∥BE；
（2）证明：过点E作EH∥BD，
∴∠DEH＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEH，
∵BD∥FG，∴EH∥FG，
∴∠HEN＝∠ENG，
∵∠DEN＝∠DEH+∠HEN，
∴∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）解：设∠BDM＝2x，
∵DM平分∠BDE，
∴∠BDM＝∠MDE＝2x，
∴∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，
∴∠ADB＝2∠BDE＝8x，
∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠ADB＝180°﹣8x，
∵DE⊥EN，
∴∠DEN＝90°，
由（2）得：∠DEN＝∠ADE+∠ENG，
∴∠ENG＝∠DEN﹣∠ADE＝90°﹣4x，
∵DN平分∠PDM，
∴∠MDN＝ ∠PDM＝ （180°﹣∠BDM）＝ （180°﹣2x）＝90°﹣x，
∴∠EDN＝∠MDN﹣∠MDE＝90°﹣x﹣2x＝90°﹣3x，
∴∠DNE＝90°﹣∠EDN＝3x，∠FDN＝∠ADE﹣∠EDN＝4x﹣（90°﹣3x）＝7x﹣90°，
∵∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，
∴180°﹣8x﹣3x＝7x﹣90°，
解得：x＝15°，
∴∠EDN＝90°﹣3x＝45°，
∴∠EDN的度数为45°．
16．将一副三角板中的两个直角顶点 C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝
60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时
CE∥AB，并简要说明理由．【答案】（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由见解析；
（2）144°；
（3）∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝ ，则∠BCD＝4 ，
α α
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴4 + ＝180°，
∴ α＝3α6°，
∴α∠BCD＝4 ＝144°；
（3）分两种α情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
17．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图 2，点 M 在直线 AB，CD 之间，连接 GM，HM，求证：∠M＝
∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点
N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+ ∠FGN，求∠MHG的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2 ，∠CHM＝ ，则∠N＝2 ，∠M＝2 + ，
α β α α β∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴ ，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2 +90°﹣ ＝90°+ ，
α α α
∵ ，
∴ ，
∴∠FGN＝2 ，
过点H作HTβ∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2 ，∠GHT＝∠FGN＝2 ，
∴∠GHM＝∠MHTα+∠GHT＝2 +2 ， β
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHαT＝β +2 +2 ＝2 +3 ，
∵AB∥CD， β α β α β
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+ +2 +3 ＝180°，
∴ + ＝α30α°，β
∴α∠GβHM＝2（ + ）＝60°．
18．【探究结论】α β
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、
∠C的关系是 ∠ AEC ＝∠ A + ∠ C （直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG 和EG 为∠BEF内满
1 2
足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G 和G ，求证：∠FG E+∠G ＝
1 2 1 2
180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 42 ° 或 41 ° ．
【答案】（1）∠AEC＝∠A+∠C；
（2）证明过程见解答；
（3）42°或41°．
【解答】（1）解：过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠2＝∠C．
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换），
故答案为：∠AEC＝∠A+∠C；
（2）证明：由（1）可知：∠EG F＝∠1+∠DFG ，
2 2
∵FG 平分∠MFD，
2
∴∠EFG ＝∠DFG ，
2 2
∵∠1＝∠2，
∴∠EG F＝∠2+∠EFG ，
2 2
∵∠EG F+∠2+∠EFG ＝180°，
1 2
∴∠FG E+∠G ＝180°；
1 2（3）由（1）知：∠AEF＝∠BAE+∠DFE，
设∠CEF＝x，则∠AEC＝3x，
∵∠EFD＝60°，
∴x+3x＝∠BAE+60°，
∴∠BAE＝4x﹣60°，
又∵8°＜∠BAE＜20°，
∴8°＜4x﹣60°＜20°，
解得17°＜x＜20°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠C＝∠DFE﹣∠CEF＝∠DFE﹣x，
∵∠C的度数为整数，
∴x＝18°或19°，
∴∠C＝60°﹣18°＝42°或∠C＝60°﹣19°＝41°，
故答案为：42°或41°．
19．已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD．
（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝
68°时，求∠GMH的度数．
（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是
∠MHD的平分线，作HN∥PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它
的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
【答案】（1）证明过程见解析；（2）∠GMH＝100°；（3）∠QHN＝40°．
【解答】（1）证明：∵∠AGE+∠BGE＝180°，∠AGE+∠DHE＝180°，
∴∠BGE＝∠DHE，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，
∵∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°，
∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∵∠AGM＝32°，∠MHC＝68°，
∴∠GMH＝100°．
（3）解：∠QHN的度数不发生改变，理由如下，
由（2）得，∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，
∴∠MGH+∠MHG＝80°，
∵GP、HQ分别平分∠MGA和∠MHD，
∴∠MGP＝ ∠MGA，∠MHQ＝ ∠MHD＝ （180°﹣∠MHC）＝90°﹣ ∠MHC，
∴∠PGH＝∠MGP+∠MGH＝ ∠MGA+∠MGH，
∵HN∥PG，
∴∠GHN＝∠PGH＝ ∠MGA+∠MGH，
∴∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ＝（ ∠MGA+∠MGH）﹣（∠MHQ﹣∠MHG）＝
∠MGA+∠MGH﹣∠MHQ+∠MHG＝ ∠MGA+80°﹣∠MHQ，
∴∠QHN＝ ∠MGA+80°﹣（90°﹣ ∠MHC）＝﹣10°+ （∠MGA+∠MHC）＝﹣10°
+ ×100°＝40°．
20．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接 CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝
45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线
AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求 的值．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）5或 ．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，
∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG﹣∠F＝45°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴CF平分∠BCD；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝ ＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝ ．
综上， 的值是5或 ．
21．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、
AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于
E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A D 如图2所示位置，此时A E平分
1 1 1
∠AA D ，CE 平分∠ACD ，A E与CE 相交于 E，∠PAC＝50°，∠A D C＝30°，求
1 1 1 1 1 1
∠A EC的度数．
1
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A D 如图3所示位置，其他条件与（2）
1 1
相 同 ， 求 此 时 ∠ A EC 的 度 数 ．
1【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示：
∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，
∴∠ADC＝∠QAD＝30°，
∴∠PAD＝150°，
∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE＝75°，
∴∠CAE＝25°，
可得∠PAC＝∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA＝25°，
∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
（2）如图2所示：
∵∠A D C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A D ，PQ∥MN，
1 1 1 1
∴∠QA D ＝30°，
1 1
∴∠PA D ＝150°，
1 1
∵A E平分∠AA D ，
1 1 1∴∠PA E＝∠EA D ＝75°，
1 1 1
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD ，
1
∴∠ACE＝25°，
∴∠CEA ＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；
1
（3）如图3所示：
过点E作FE∥PQ，
∵∠A D C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A D ，PQ∥MN，
1 1 1 1
∴∠QA D ＝30°，
1 1
∵A E平分∠AA D ，
1 1 1
∴∠QA E＝∠2＝15°，
1
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD ，
1
∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，
∴∠CEA ＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．
1
22．如图1所示：点E为BC上一点，∠A＝∠D，AB∥CD．
（1）直接写出∠ACB与∠BED的数量关系；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点，
若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度数；
（3）保持（2）中所求的∠DEB 的度数不变，如图 3，BM 平分∠EBK，DN 平分
∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度数．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）【答案】（1）∠ACB+∠BED＝180°；（2）100°；（3）40°．
【解答】解：（1）如答图1所示，延长DE交AB于点F．
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠EFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠EFB，
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠CED．
∵∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB+∠BED＝180°．
（2）如答图2所示，过点E作ES∥AB，过点H作HT∥AB．
设∠ABG＝∠EBG＝ ，∠FDH＝∠EDH＝ ，
∵AB∥CD，AB∥ESα， β
∴∠ABE＝∠BES，∠SED＝∠CED，
∴∠BED＝∠BES+∠SED＝∠ABE+∠CDE＝2 +180°﹣2 ，
∵AB∥TH，AB∥CD， α β
∴∠ABG＝∠THB，∠FDH＝∠DHT，
∴∠GHD＝∠THD﹣∠THB＝ ﹣ ，
∵∠BED比∠BHD大60°， β α
∴2 +180°﹣2 ﹣（ ﹣ ）＝60°，
∴ α﹣ ＝40°，β β α
∴β∠BαHD＝40°，
∴∠BED＝100°；
（3）如答图3所示，过点E作EQ∥DN．
设∠CDN＝∠EDN＝ ，∠EBM＝∠KBM＝ ，
由（2）易知∠DEB＝α∠CDE+∠ABE， β
∴2 +180°﹣2 ＝100°，
α β∴ ﹣ ＝40°，
∴β∠DαEB＝∠CDE+∠EDN+180°﹣（∠EBM+∠PBM）＝ +180°﹣ ﹣∠PBM，
∴∠PBM＝80°﹣（ ﹣ ）＝40°． α β
β α
23．如图，射线CB∥OA，∠C＝∠OAB．
（1）求证：AB∥OC；
（2）若点E，F在CB上，且∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
①当∠C＝110°时，求∠EOB的度数；
②如果平移AB，那么 的值是否随之发生变化？若不变，求出这个值；若变化，
请说明理由．
【答案】（1）见解答；
（2）①35°；
②∠OBC：∠OFC的值不发生变化，
∠OBC：∠OFC＝1：2．
【解答】（1）证明：∵CB∥OA，
∴∠C+∠COA＝180°，
∵∠C＝∠OAB，
∴∠OAB+∠COA＝180°，
∴AB∥OC．
（2）①∠COA＝180°﹣∠C＝70°，
∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠FOB+∠EOF＝ （∠AOF+∠COF）＝ ∠COA＝35°．
②∠OBC：∠OFC的值不发生变化，∵CB∥OA，
∴∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOA＝2∠BOA，
∴∠OFC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2．
24．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量
关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点
H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【答案】（1）见解答过程；
（2）∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）45°．
【解答】（1）证明：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠ABC＝∠BCM，
∵AB∥ED，∴∠CDE＝∠DCM，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图2，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，
∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN＝∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠F，
即∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH＝ ∠ABC，∠EFG＝ ∠CFD，
∴∠FGQ＝ ∠ABC﹣ ∠CFD＝ （∠ABC﹣∠CFD），
由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，∴∠FGQ＝ ×90°＝45°，
即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
25．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直
线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝
∠PHD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，
Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N
在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于 0°且小
于180°的角）
【答案】（1）证明过程详见解答部分；
（2）160°；
（3）点 N 在点 B 左侧，∠MNB 和∠PHM 的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或
∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．
【解答】（1）证明：∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∠PGB+∠P＝∠PEB，
∴∠PEB＝∠PHD，
∴AB∥CD；
（2）解：过点Q作QK∥AB，如图，则∠GQK＝∠EGF，
由（1）知：AB∥CD，
∴QK∥CD，
∴∠HQK＝∠CHQ，
∴∠GQH＝∠GQK+∠HQK
＝∠EGF+∠CHQ，
∵GF平分∠PGB，
∴∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK，
∵PH平分∠QHD，
∴∠QHD＝2∠PHD，
∵∠PGB+∠P＝∠PHD，
∴∠QHD＝2∠PHD＝2∠PGB+2∠P＝4∠GQK+2∠P，
∵2∠GQH+∠P＝120°，
∴2∠GQK+2∠HQK+∠P＝120°，
∴2∠GQK+∠P＝120°﹣2∠HQK＝120°﹣2∠QHC，
∴∠QHD＝4∠GQK+2∠P＝2（120°﹣2∠QHC）＝240°﹣4∠QHC，
∵∠QHC＝180°﹣∠QHD，
∴∠QHD＝240°﹣4（180°﹣∠QHD），
解得∠QHD＝160°；
即∠QHD的度数为160°；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N
在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM
＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°，理由如下：
在（2）的条件下，∠PHD＝ ∠QHD＝80°，
若点M在PG的延长线上，或
∵AB∥CD，
∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∠HEN＝∠CHP＝100°，
∵∠MNB+∠PHM+∠HEN＝180°，
∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝100°或∠MNB+∠PHM＝∠CHN+∠PHM＝180°
+∠CHP＝280°．
若点M在PG上，
∵AB∥CD，
∴∠HEN＝∠PHD＝80°，
∵∠MNB＝∠PHM+∠HEN，
∴∠MNB﹣∠PHM＝∠HEN＝80°；
若点M在GP的延长线上，∵AB∥CD，
∴∠HEN+∠PHD＝180°，
∴∠HEN＝180°﹣∠PHD＝100°，
∵∠HME+∠PHM+∠HEN＝180°，∠MNB＝∠HNE，
∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝80°．
综上所述，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或
∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．
26．已知AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．
（1）若∠EFB＝50°，∠EDP＝35°，求∠MPD的度数；
（2）如图1，当点P在线段EF上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问：
是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
（3）①如图2，当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于
Q，则 的值为 ；
②当点P在直线EF上运动时，∠CDP与∠ABP的n等分线交于Q，其中∠CDQ＝
∠CDP，∠ABQ＝ ∠ABP，设∠DPB＝ ，求∠Q的度数（直接用含n， 的代数式表
示 ， 不 需 说α 明 理 由 α ） .【答案】（1）15°；
（2） ；
（3） ．
【解答】解：（1）如图，当点P在线段AB，CD之间时，过点P作PG∥AB．
∵AB∥CD，
∴PG∥CD．
∵∠EFB＝50°，∠EDP＝35°
∴∠EPG＝∠EFB＝50°，
∠DPG＝∠EPD＝35°．
∴∠MPD＝∠EPG﹣∠DPG＝50°﹣35°＝15°．
当点P在CD的上方时，可得∠MPD＝85°，
综上所述，∠MPD为15°或85°；
（2） ．
由（1）可知PG∥CD．
∴∠DPG＝∠CDP，
∠BPG＝∠ABP．
∴∠DPB＝∠DPG+∠BPG＝∠CDP+∠ABP．
同理可得∠Q＝∠CDQ+∠ABQ．又∵DQ，BQ分别平分∠CDP与∠ABP，
∴∠CDQ＝ ∠CDP，
∠ABQ＝ ∠ABP．
∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ＝ （∠CDP+∠ABP）＝ ∠DPB．
∴ ．
（3）① ．
如图，过点P作PG∥AB．过点Q作QH∥AB．
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，QH∥CD．
∴∠DPG＝∠CDP，
∠BPG＝∠ABP．
∴∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG＝∠ABP﹣∠CDP．
同理可得∠BQD＝∠ABQ﹣∠CDQ．
又∵DQ，BQ分别平分∠CDP与∠ABP，
∴∠CDQ＝ ∠CDP，
∠ABQ＝ ∠ABP．
∴∠BDQ＝∠ABQ﹣∠CDQ＝ （∠ABP﹣∠CDP）＝ ∠DPB．
∴ ．
②∠BQD＝ ．分三种情况讨论：
（Ⅰ）当点P在线段FE的延长线上运动时，如图，
可得∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，
∠BQD＝∠ABQ﹣∠CDQ．
∵ ，
．
∴ ．
∴ ．
（Ⅱ）当点P在线段EF上运动时，如图，
可得∠DPB＝∠ABP+∠CDP，
∠BQD＝∠ABQ+∠CDQ．
∵ ，
．
∴ ．
∴ ．（Ⅲ）当点P在线段EF的延长线上运动时，如图，
可得∠DPB＝∠ABP+∠CDP，
∠BQD＝∠ABQ+∠CDQ．
∵ ，
．
∴ ．
∴
综上所述， ．
27．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与
O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速
度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况：
①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，
即9°t+30°﹣3°t＝45°，
解得t＝2.5；
②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，
即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，
解得t＝32.5；
综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；
②t的值为12s或36s．
分两种情况：
①当OE平分∠BOD时，∠BOE＝ ∠BOD，即9°t﹣60°﹣3°t＝ （60°﹣3°t），
解得t＝12；
②当OF平分∠BOD时，∠DOF＝ ∠BOD，
即9°t﹣300°＝ （3°t﹣60°），
解得t＝36；
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．
28．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面
镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则
入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．
（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被
b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝ 10 0 °，∠3＝ 9 0 °．
（2）请你猜想：当射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光
线m与反射光线n平行时，两平面镜a、b间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，
请求出∠3，若不是定值，请说明理由．
（3）如图3，两面镜子的夹角为 °（0＜ ＜90），进入光线与离开光线的夹角为 °（0
＜ ＜90）．试探索 与 的数量α关系，并α说明理由． β
β α β【答案】（1）100；90；
（2）90°；
（3）2 + ＝180°．
【解答α】解β ：（1）如图：
∵∠1＝∠4＝50°，
∴∠5＝180°﹣2×50°＝80°，
∵m∥n，
∴∠2+∠5＝180°，
∴∠2＝100°，
∴∠6＝ （180°﹣∠2）＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠6＝90°；
故答案为：100，90；
（2）当∠3＝90°时，m∥n，
理由如下：
∵∠3＝90°，
∴∠4+∠6＝90°，
∴2∠4+2∠6＝180°，
∴∠2+∠5＝180°，
∴m∥n；
（3）解：如图3，由（1）可得，∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，
∵∠2+∠3＝180°﹣∠ ，
∴∠ ＝180°﹣∠5﹣∠α6＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2（180°﹣∠ ）﹣180°＝180°﹣2∠ ，
∴ 与β 的数量关系为：2 + ＝180°， α α
故α答案β为：2 + ＝180°．α β
29．（1）如图1α，β已知直线l
1
∥l
2
，且l
3
和l
1
，l
2
分别交于A，B两点，点P在线段AB上，
则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是 ∠ 3 ＝∠ 1+ ∠ 2 ；如图2，点A在B处北偏东40°
方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝ 8 5 °．
（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试
说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1中，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，
∴∠1+∠2＝∠CPM+∠MPD＝∠CPD＝∠3．
由题可知：∠BAC＝∠B+∠C，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝40°+45°＝85°．
故答案为：∠1+∠2＝∠3，85°．（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝ ∠ABD，∠2＝ ∠BDC；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠FDE；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BED＝∠DEF＝90°；
∴∠3+∠FDE＝90°；
∴∠2+∠3＝90°．
30．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点
P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：
如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ∠ EPF ＝
∠ AEP + ∠ PFC ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量
关系为 ∠ AEP + ∠ EPF + ∠ PFC ＝ 360 ° ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150 ° ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q ，∠BEQ 与∠DFQ 的角平分线交
1 1 1
于点Q ，∠BEQ ，与∠DFQ 的角平分线交于点Q ；此次类推，则∠EPF与∠EQ F
2 2 2 3 2018满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过点P作PH∥AB，
则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；
同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°，
由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°，
而∠PFC+2 ＝180°，∠PEA+2 ＝180°，
故 + ＝150β°＝∠EQF， α
故答α案β为150°；
②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：∠BEQ＝∠QEP＝ ，∠QFD＝∠PFQ＝ ，
α β则∠P＝180°﹣2 +180°﹣2 ＝360°﹣2（ + ），
∠Q＝ + ， α β α β
即：∠αEPβF+2∠EQF＝360°；
③同理可得：∠Q ＝ （ + ），∠Q ＝ （ + ），
1 2
α β α β
∠Q ＝（ ）2018（ + ），
2018
故：∠EPF+22019•∠EαQ β F＝360°．
2018
31．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）如图 2，点 P 从点 A 出发，沿线段 AF 运动到点 F 停止，连接 PB，PE．则
∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重
合的情况）？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵∠A+∠1＝90°，
∴∠B＝∠1，
∴AB∥DE．
（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，
∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，
∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．
32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB
于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN 所放位置如图①所示时，则∠PFD 与∠AEM 的数量关系为
∠ PFD + ∠ AEM ＝ 90 ° ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N
的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示：
则PG∥CD，
∴∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，
∵∠1+∠2＝∠P＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝∠1+∠2＝90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）证明：如图②所示：
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHF＝180°，
∵∠P＝90°，
∴∠BHF+∠2＝90°，
∵∠2＝∠AEM，
∴∠BHF＝∠PHE＝90°﹣∠AEM，
∴∠PFD+90°﹣∠AEM＝180°，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）如图③所示：∵∠P＝90°，
∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣15°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠PFC＝∠PHE＝75°，
∵∠PFC＝∠N+∠DON，
∴∠N＝75°﹣30°＝45°．
33．【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则
∠AFB＝ 3 5 °；
（2）如图2，∠ADC＝ ，∠BCD＝ ，且 + ＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于
α β α β
点F，则∠AFB＝ ；（用 、 表示）
（3）如图3，∠ADC＝ ，∠BCD＝ ，当∠DAαB和β∠CBE的平分线AG、BH平行时，
、 应该满足怎样的数量α 关系？请证β明你的结论．
α β【挑战】
如果将（2）中的条件 + ＞180°改为 + ＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，
你又可以找到怎样的数α量关β 系？画出图α形并β 直接写出结论．
【答案】（1）35°；
（2） ；
（3） + ＝180°，证明过程看解答过程；
α β
挑战：∠AFB＝90°﹣ ，证明过程看解答过程．
【解答】解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝ ∠CBE，∠FAB＝ ∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝ ．
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝ ，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣
∠DCB．
∴ ∠ AFB ＝ ＝．
（3）若AG∥BH，则 + ＝180°．
证明：如图3． α β
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝ + ＝180°．
挑战：如图4． α β
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝ ， ．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣ ﹣ ．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣ ﹣ ． α β
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣ ﹣ ．α β
∵∠ABF与∠NBE是对顶角α，β
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝
＝
＝90°﹣ ．34．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝ ∠BCM＝ ，∠B＝4 ．
（1）求证：AB∥CD； α α
（2）若∠A＝ ∠B，求∠BOD的度数；（用含 的式子表示）
（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEBα交CM于点P，如备用图所示，求证：
∠COE＝2∠EPC+ ∠B．
【答案】（1）AB∥CD，（2）∠BOD＝7 ，（3）∠COE＝2∠EPC+ ∠B．
α
【解答】证明：（1）∵∠MCD＝ ∠BCM＝ ，
∴∠BCM＝3 ， α
∴∠BCD＝∠αBCM+∠MCD＝4 ＝∠B，
∴AB∥CD． α
解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A＝ ∠B＝3 ，
∵AB∥OF， α
∴∠B＝∠BOF，CD∥OF，
∴∠FOD＝∠D，
∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4 +3 ＝7 ．
证明：（3）过点P作AB、CD的平行线αPQα， α
∵AB∥PQ∥CD，
∴∠QPC＝∠PCD＝ ，
α
∴∠BEP＝∠EPQ＝ ∠OEB，
∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，
且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，
∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，
又∵EP平分∠OEB，
∴∠COE＝2∠EPC+ ∠B．
35．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、
NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG
＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图 3，若点 E 是 AB 上方一点，连接 EM、EN，且 GM 的延长线 MF 平分
∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝ ，
∵GK∥AB，AB∥CD， α
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝ ，
∵GK∥AB，∠BMG＝α40°，
∴∠MGK＝∠BMG＝40°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝40°，
∴∠BMP＝80°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝80°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝ ，
∵AB∥CD， α
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝ ，
∴∠MGN＝40°+ ，∠αMPN＝80°﹣ ，
∴∠MGN+∠MPαN＝40°+ +80°﹣ ＝α120°；
α α
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝ ∠CNG＝90°﹣ y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣ y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣ y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝102°，
∴2（90°﹣ y﹣2x）+x+y＝102°，
∴x＝26°，
∴∠AME＝2x＝52°．36．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连
接BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想
∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交
于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，
过点E作EH∥AB，
∴∠BEH＝∠ABE，
∵EH∥AB，CD∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠DEH＝∠CDE，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝∠ABE+∠CDE；
（2）2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°，理由：由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∵∠EDB+∠EBD+∠BED＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝180°﹣∠BED＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），
∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线，
∴∠EBD＝2∠DBF，∠EDB＝2∠BDF，
∴2∠DBF+2∠BDF＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），
∴∠DBF+∠BDF＝90°﹣ （∠ABE+∠CDE），
在△BDF中，∠F＝180°﹣（∠DBF+∠BDF）＝180°﹣[90°﹣ （∠ABE+∠CDE）]＝
90°+ （∠ABE+∠CDE），
即：2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°；
（3）2∠G＝∠ABE+∠CDE，理由：如图3，
由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∵BG是∠EBD的平分线，
∴∠DBE＝2∠DBG，
∵DG是∠EDP的平分线，
∴∠EDP＝2∠GDP，
∴∠BED＝∠EDP﹣∠DBE＝2∠GDP﹣2∠DBG＝2（∠GDP﹣∠DBG），
∴∠GDP﹣∠DBG＝ ∠BED＝ （∠ABE+∠CDE）
∴∠G＝∠GDP﹣∠DBG＝ （∠ABE+∠CDE），
∴2∠G＝∠ABE+∠CDE．37．如图，已知直线AB∥CD．
（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1
＝30°，∠3＝75°，则∠2＝ 45 ° ；
（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+
∠FGE＝54°时，求∠AEN的度数；
（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与
∠H的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，
∴∠1+∠2＝∠EGF，即30°+∠2＝75°，
∴∠2＝45°，故答案为：45°；
（2）∵FN平分∠CFG，EM平分∠AEN，
∴可设∠AEM＝∠NEM＝ ，∠CFN＝∠GFN＝ ，
如图2所示，过G作GP∥αCD，过N作NQ∥ABβ，
∵AB∥CD，
∴NQ∥AB∥CD∥PG，
∴∠QNF＝∠CFN＝ ，∠QNE＝∠AEN＝2 ，∠PGE＝∠AEM＝ ，∠PGF＝∠DFG＝
180°﹣2 ， β α α
∴∠FNEβ＝∠QNF﹣∠QNE＝ ﹣2 ，∠FGE＝∠PGE+∠PGF＝ +180°﹣2 ，
β α α β
又∵∠FNE+ ∠FGE＝54°，
∴ ﹣2 + （ +180°﹣2 ）＝54°，
∴β＝2α4°， α β
∴α∠AEN＝2 ＝48°；
α
（3）猜想：∠G＝2∠H．理由：
∵MF平分∠CFG，NE平分∠AEG，
∴可设∠AEN＝∠NEG＝ ，∠CFM＝∠GFM＝ ，
如图3所示，过H作HP∥αCD，过G作GQ∥ABβ，∵AB∥CD，
∴GQ∥AB∥CD∥PH，
∴∠QGE＝∠AEG＝2 ，∠QGF＝∠CFG＝2 ，∠PHM＝∠CFM＝ ，∠PHN＝∠AEN
＝ ， α β β
∴α∠EGF＝∠QGE﹣∠QGF＝2 ﹣2 ，∠EHF＝∠PHN﹣∠PHM＝ ﹣ ，
∴∠EGF＝2∠EHF． α β α β
