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2022年广东省深圳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正
确的）
1．（3分）下列互为倒数的是（ ）
A．3和 B．﹣2和2 C．3和﹣ D．﹣2和
2．（3分）下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）某学校进行演讲比赛，最终有7位同学进入决赛，这七位同学的评分分别是9.5，
9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．请问这组评分的众数是（ ）
A．9.5 B．9.4 C．9.1 D．9.3
4．（3分）某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.15×1013 B．1.5×1012 C．1.5×1013 D．15×1012
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8 B．（﹣2a）3＝6a3
C．2（a+b）＝2a+b D．2a+3b＝5ab
6．（3分）一元一次不等式组 的解集为（ ）
A．
B．C．
D．
7．（3分）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
8．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
9．（3分）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减
去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草
的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C
为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C． ：2 D．（ ﹣1）：1
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：a2﹣1＝ ．
12．（3分）某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．
从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么该工厂1200人中符合选拔条件的人
数为 ．
13．（3分）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
14．（3分）如图，已知直角三角形ABO中，AO＝1，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，
且A'在OB中点，B'在反比例函数y＝ 上，则k的值 ．
15．（3分）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2 ，连接CE，以
CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD
＝45°，则AF长为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20
题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（5分）（ ﹣1）0﹣ + cos45°+（ ）﹣1．
π
17．（7分）化简求值：（ ﹣1）÷ ，其中x＝4．
18．（8分）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，
“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ；
（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为
．
19．（8分）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙
种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数
量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，
则购买的最低费用是多少．
20．（8分）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在
平面直角坐标系上．
y＝2x2 y＝2（x﹣3）2+6
（0，0） （3，m）
（1，2） （4，8）
（2，8） （5，14）
（﹣1，2） （2，8）
（﹣2，8） （1，14）
（1）m的值为 ；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣ x2+5与y＝ x2的交点坐标；
（3）点P（x ，y ），Q（x ，y ）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y ＞y ，
1 1 2 2 1 2则x x ．（填不等号）
1 2
21．（9分）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，
CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为
反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝ ，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆
O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．22．（10分）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻
折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE
翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE
的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将
△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．2022年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正
确的）
1．（3分）下列互为倒数的是（ ）
A．3和 B．﹣2和2 C．3和﹣ D．﹣2和
【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可．
【解答】解：A．因为3× ＝1，所以3和 是互为倒数，因此选项A符合题意；
B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项B不符合题意；
C．因为3×（﹣ ）＝﹣1，所以3和﹣ 不是互为倒数，因此选项C不符合题意；
D．因为﹣2× ＝﹣1，所以﹣2和 不是互为倒数，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个
数互为倒数”是正确判断的关键．
2．（3分）下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．
【解答】解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关
键．
3．（3分）某学校进行演讲比赛，最终有7位同学进入决赛，这七位同学的评分分别是9.5，
9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．请问这组评分的众数是（ ）
A．9.5 B．9.4 C．9.1 D．9.3
【分析】直接根据众数的概念求解即可．
【解答】解：∵这七位同学的评分分别是9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．
∴这组评分的众数为9.3，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
4．（3分）某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.15×1013 B．1.5×1012 C．1.5×1013 D．15×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1.5万亿＝1500000000000＝1.5×1012．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8 B．（﹣2a）3＝6a3
C．2（a+b）＝2a+b D．2a+3b＝5ab
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类
项的法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2•a6＝a8，故本选项符合题意；
B．（﹣2a）3＝﹣8a3，故本选项不合题意；
C．2（a+b）＝2a+2b，故本选项不合题意；
D．2a和3b不是同类项，不能合并，故本选项不合题意．故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运
算法则是解答本题的关键．
6．（3分）一元一次不等式组 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由x﹣1≥0得，x≥1，
故此不等式组的解集为：1≤x＜2．
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
【分析】由题意得：∠ACB＝45°，∠F＝30°，利用平行线的性质可求∠DCB＝30°，进而可求
解．
【解答】解：如图，∠ACB＝45°，∠F＝30°，∵BC∥EF，
∴∠DCB＝∠F＝30°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
【分析】A．应用菱形的判定方法进行判定即可得出答案；
B．应用圆周角定理进行判定即可得出答案；
C．应用矩形的判定方法进行判定即可得出答案；
D．应用正方形的判定方法进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不
符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以A选项说法正确，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题
意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握圆
周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法进行求解是解决本题的关键．
9．（3分）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减
去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草
的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，利用已知“他卖五捆上等草的根数减去
11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的
根数”分别得出等量关系求出答案．
【解答】解：设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，
根据题意可列方程组为： ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关
键．
10．（3分）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C
为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C． ：2 D．（ ﹣1）：1
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，可以先证明△ABC
和△COD，再由∴S△COD ＝S△COE ＝ S△DCE ，进而得出S△ABC ＝ S△DCE ，即△ABC和
△CDE面积之比为1：2．
【解答】解：解法一：如图，连接OC，
∵BC是 O的切线，OC为半径，
∴OC⊥B⊙C，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠OBC＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝∠COD，∵DE是 O的直径，
∴∠DCE⊙＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，
又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，
∴∠A＝∠OCD，
在△ABC和△COD中，
，
∴△ABC≌△COD（AAS），
又∵EO＝DO，
∴S△COD ＝S△COE ＝ S△DCE ，
∴S△ABC ＝ S△DCE ，
即△ABC和△CDE面积之比为1：2；
解法二：如图，连接OC，过点B作BF⊥AC，
∵BC是 O的切线，OC为半径，
∴OC⊥B⊙C，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠BCD＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝∠COD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵∠A+∠E＝90°＝∠ODC+∠E，
∴∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AF＝ AC＝ CD，
∵△ABF∽△DEC，
∴ ＝ ＝ ，∴△ABC和△CDE面积之比（ AC•BF）：（ CD•EC）
＝BF：EC
＝1：2．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角
定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：a2﹣1＝ （ a + 1 ）（ a ﹣ 1 ） ．
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝
（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
12．（3分）某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．
从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么该工厂1200人中符合选拔条件的人
数为 90 0 ．
【分析】符合选拔条件的人数＝该工厂总共人数×符合条件的人数所占的分率，列出算式
计算即可求解．
【解答】解：1200× ＝900．
答：该工厂1200人中符合选拔条件的人数为900．
故答案为：900．【点评】本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的分率．
13．（3分）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 9 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（3分）如图，已知直角三角形ABO中，AO＝1，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，
且A'在OB中点，B'在反比例函数y＝ 上，则k的值 ．
【分析】连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质
得出△AOA′是等边三角形，从而得出∠AOB＝∠A′OB′＝60°，即可得出∠B′OE＝
60°，解直角三角形求得B′的坐标，进一步求得k＝ ．
【解答】解：连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，
由题意知OA＝OA′，A'是OB中点，∠AOB＝∠A′OB′，OB′＝OB，
∴AA′＝ OB＝OA′，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴OB＝2OA＝2，∠B′OE＝60°，
∴OB′＝2，∴OE＝ OB′＝1，
∴B′E＝ OE＝ ，
∴B′（1， ），
∵B'在反比例函数y＝ 上，
∴k＝1× ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣性质，解答本题的
关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2 ，连接CE，以
CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD
＝45°，则AF长为 ．
【分析】将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，利用SAS证明
△EDH≌△CDB，得EH＝CB＝5，∠BGH＝∠BDH＝90°，从而得出HE∥DC∥AB，则
△ABF∽△EHF，即可解决问题．
【解答】解：将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，延长HE交BC于
G，∴△BDH是等腰直角三角形，
∴∠HBD＝45°，
∵∠FBD＝45°，
∴点B、F、H共线，
又∵△EDC是等腰直角三角形，
∴HD＝BD，∠EDH＝∠CDB，ED＝CD，
∴△EDH≌△CDB（SAS），
∴EH＝CB＝5，∠DHE＝∠CBD，
∴∠BGH＝∠BDH＝90°，
∴HE∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴ ，
∵AE＝2 ，
∴ ，
∴AF＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形
的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20
题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．（5分）（ ﹣1）0﹣ + cos45°+（ ）﹣1．
π
【分析】利用零指数幂，特殊三角函数及负整数指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣3+ × +5＝3+1＝4．
【点评】本题考查了零指数幂，特殊三角函数及负整数指数幂的计算，熟练掌握运算法则
是解题的关键．
17．（7分）化简求值：（ ﹣1）÷ ，其中x＝4．
【分析】利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（ ﹣1）÷
＝
＝
＝ ，
当x＝4时，
原式＝
＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（8分）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，
“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为 5 0 人 ，“合格”人数的百分比为 40% ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 115.2 ° ；
（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数
所占百分比；
（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用360°乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽查的总人数为8÷16%＝50（人），
“合格”人数的百分比为1﹣（32%+16%+12%）＝40%，
故答案为：50人，40%；
（2）补全图形如下：（3）扇形统计图中“不合格”人数的度数为360°×32%＝115.2°，
故答案为：115.2°；
（4）列表如下：
甲 乙 丙
甲 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图；读懂
统计图中的信息、画出树状图是解题的关键．
19．（8分）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙
种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数
量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，
则购买的最低费用是多少．
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，根据用
110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决
问题；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，列
出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，
由题意得， ，
解得x＝11，
经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+1＝11+1＝12（元），
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝100时，w最小值为﹣100+1200＝1100（元），
答：最低费用为1100元．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知
识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
20．（8分）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在
平面直角坐标系上．
y＝2x2 y＝2（x﹣3）2+6
（0，0） （3，m）
（1，2） （4，8）
（2，8） （5，14）
（﹣1，2） （2，8）
（﹣2，8） （1，14）
（1）m的值为 6 ；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣ x2+5与y＝ x2的交点坐标；
（3）点P（x ，y ），Q（x ，y ）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y ＞y ，
1 1 2 2 1 2
则x ＜或＞ x ．（填不等号）
1 2【分析】（1）根据平移的性质分析对应点的坐标；
（2）利用描点法画函数图象，联立方程组求得两函数的交点坐标；
（3）结合二次函数图象的性质分析求解．
【解答】解：（1）将（0，0）先向上平移6个单位，再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3，
6），
∴m＝6，
故答案为：6；
（2）平移后的函数图象如图：联立方程组 ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+5与y＝ x2的交点坐标为（ ， ），（﹣ ， ）；
（3）∵点P（x ，y ），Q（x ，y ）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，
1 1 2 2
当P，Q两点同在对称轴左侧时，若y ＞y ，则x ＜x ，
1 2 1 2
当P，Q两点同在对称轴右侧时，若y ＞y ，则x ＞x ，
1 2 1 2
故答案为：＜或＞．
【点评】本题考查二次函数的图象性质，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解题是
关键．
21．（9分）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，
CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．
（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为
反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝ ，求ON的长度．
（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆
O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【分析】（1）根据题意得出DF是△COM的中位线，即点D是OC的中点，据此求解即可；
（2）过点N作ND⊥OH于点D，根据题意得到△NHD是等腰直角三角形，则ND＝HD，根
据锐角三角函数求出ND＝ ，OD＝ ，再根据勾股定理求解即可；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至
点T，故点N的运动路径长为OA+ 的长，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，
∴DF是△COM的中位线，
∴点D是OC的中点，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2；
（2）如图②，过点N作ND⊥OH于点D，
∵∠OHN＝45°，
∴△NHD是等腰直角三角形，
∴ND＝HD，
∵tan∠COH＝ ，∠NDO＝90°，
∴ ＝ ，
设ND＝3x＝HD，则OD＝4x，
∵OH＝OA＝4，
∴OH＝3x+4x＝4，
∴x＝ ，
∴ND＝ ×3＝ ，OD＝ ×4＝ ，
∴ON＝ ＝ ；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至
点T，故点N的运动路径长为OA+ 的长，∵∠HOM＝50°，OH＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH＝65°，
∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，
∴∠OTH＝∠OHT＝65°，
∴∠TOH＝50°，
∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴ 的长＝ ＝ ，
π
∴点N的运动路径长＝4+ ．
π
【点评】此题是圆的综合题，考查了三角形中位线的判定与性质、解直角三角形、弧长的计
算公式，熟练掌握三角形中位线的判定与性质、解直角三角形、弧长的计算公式是解题的
关键．
22．（10分）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻
折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE
翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE
的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将
△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
【分析】（1）根据将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，得AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，即得∠BFG＝90°＝∠C，可证Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）；
（2）延长BH，AD交于Q，设FH＝HC＝x，在Rt△BCH中，有82+x2＝（6+x）2，得x＝ ，DH
＝DC﹣HC＝ ，由△BFG∽△BCH，得 ＝ ＝ ，BG＝ ，FG＝ ，而
EQ∥GB，DQ∥CB，可得 ＝ ，即 ＝ ，DQ＝ ，设AE＝EF＝m，则DE＝8﹣
m，因 ＝ ，有 ＝ ，即解得AE的长为 ；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当DE＝ DC＝2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，设
DQ＝x，QE＝y，则AQ＝6﹣x，CP＝2x，由AE是△AQF的角平分线，有 ＝ ①，在
Rt△HQE中，（2﹣ x）2+（ x）2＝y2②，可解得x＝ ，CP＝2x＝ ；
（Ⅱ）当CE＝ DC＝2时，延长FE交AD延长线于Q'，过Q'作Q'H'⊥CD交CD延长线于
H'，同理解得x'＝ ，CP＝ ．
【解答】（1）证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，
∴∠BFG＝90°＝∠C，
∵AB＝BC＝BF，BG＝BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）；
（2）解：延长BH，AD交于Q，如图：设FH＝HC＝x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2，
∴82+x2＝（6+x）2，
解得x＝ ，
∴DH＝DC﹣HC＝ ，
∵∠BFG＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠FBG，
∴△BFG∽△BCH，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴BG＝ ，FG＝ ，
∵EQ∥GB，DQ∥CB，
∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴DQ＝ ，
设AE＝EF＝m，则DE＝8﹣m，
∴EQ＝DE+DQ＝8﹣m+ ＝ ﹣m，
∵△EFQ∽△GFB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得m＝ ，
∴AE的长为 ；
方法2：连接GH，如图：
∵CH＝FH，GH＝GH，
∴Rt△FGH≌Rt△CGH（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝x，则BG＝8﹣x，
在Rt△BFG中，BF2+FG2＝BG2，
∴62+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝ ，
∴BG＝BC﹣x＝ ，
∵∠GBE＝∠AEB＝∠FEB，
∴EG＝BG＝ ，
∴EF＝EG﹣FG＝ ；
∴AE＝ ；
（3）解：方法一：
（Ⅰ）当DE＝ DC＝2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图：设DQ＝x，QE＝y，则AQ＝6﹣x，
∵CP∥DQ，
∴△CPE∽△QDE，
∴ ＝ ＝2，
∴CP＝2x，
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，
∴AE是△AQF的角平分线，
∴ ＝ ，即 ＝ ①，
∵∠D＝60°，
∴DH＝ DQ＝ x，HE＝DE﹣DH＝2﹣ x，HQ＝ DH＝ x，
在Rt△HQE中，HE2+HQ2＝EQ2，
∴（2﹣ x）2+（ x）2＝y2②，
联立①②可解得x＝ ，
∴CP＝2x＝ ；
（Ⅱ）当CE＝ DC＝2时，延长FE交AD延长线于Q'，过Q'作Q'H'⊥CD交CD延长线于
H'，如图：设DQ'＝x'，Q'E＝y'，则AQ'＝6+x'，
同理∠Q'AE＝∠EAF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
由H'Q'2+H'E2＝Q'E2得：（ x'）2+（ x'+4）2＝y'2，
可解得x'＝ ，
∴CP＝ x'＝ ，
综上所述，CP的长为 或 ．
方法二：
（Ⅰ）当DE＝ DC＝2时，连接CF，过P作PK⊥CD于K，如图：
∵四边形ABCD是菱形，∠D＝60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ACD＝60°，AD＝AC，
∴∠PCK＝60°，
∵将△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠AFE＝∠D＝60°＝∠ACB，AF＝AD＝AC，EF＝DE＝2，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PF＝PC，
设PF＝PC＝2m，
在Rt△PCK中，CK＝m，PK＝ m，
∴EK＝EC﹣CK＝4﹣m，
在Rt△PEK中，EK2+PK2＝PE2，
∴（4﹣m）2+（ m）2＝（2+2m）2，
解得m＝ ，
∴PC＝2m＝ ；
（Ⅱ）当CE＝ DC＝2时，连接CF，过P作PT⊥CD交DC延长线于T，如图：
同（Ⅰ）可证AC＝AD＝AF，∠ACB＝60°＝∠D＝∠AFE，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴∠ACF﹣∠ACB＝∠AFC﹣∠AFE，即∠PCF＝∠PFC，
∴PC＝PF，
设PC＝PF＝2n，
在Rt△PCT中，
CT＝n，PT＝ n，
∴ET＝CE+CT＝2+n，EP＝EF﹣PF＝DE﹣PF＝4﹣2n，
在Rt△PET中，PT2+ET2＝PE2，
∴（ n）2+（2+n）2＝（4﹣2n）2，
解得n＝ ，∴PC＝2n＝ ，
综上所述，CP的长为 或 ．
【点评】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三
角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
