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2022年广西百色市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项
是符合要求的）
1．（3分）﹣2023的绝对值等于（ ）
A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．2022
2．（3分） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）篮球裁判员通常用抛掷硬币的方式来确定哪一方先选场地，那么抛掷一枚均匀的硬
币一次，正面朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（3分）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
5．（3分）下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A． 三棱锥 B． 圆锥
C． 圆柱 D． 圆台
6．（3分）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（
）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
7．（3分）某班一合作学习小组有5人，某次数学测试成绩数据分别为65、78、86、91、85，则这
组数据的中位数是（ ）
A．78 B．85 C．86 D．91
8．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形
C．正三角形 D．圆
9．（3分）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD
10．（3分）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移
1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，3） C．（﹣1，1） D．（﹣1，3）
11．（3分）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
12．（3分）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定
全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为 ，满足已知条件的三角形有
两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三
边长为（ ）
A．2 B．2 ﹣3 C．2 或 D．2 或2 ﹣3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正
数“数量相等，意义相反”，如果向东走5米，记作+5米，那么向西走5米，可记作
米．
14．（3分）因式分解：ax+ay＝ ．
15．（3分）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大
小为 °．
16．（3分）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2
米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米．
17．（3分）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（t）和路程
（s）数据如表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米到达纪念
馆，则小韦家到纪念馆的路程是 千米．
t（小时） 0.2 0.6 0.8
s（千米） 20 60 80
18．（3分）学校为落实立德树人，发展素质教育，加强美育，需要招聘两位艺术老师，从学历、
笔试、上课和现场答辩四个项目进行测试，以最终得分择优录取．甲、乙、丙三位应聘者的
测试成绩（10分制）如表所记，如果四项得分按照“1：1：1：1”比例确定每人的最终得分，
丙得分最高，甲与乙得分相同，分不出谁将被淘汰；鉴于教师行业应在“上课”项目上权
重大一些（其他项目比例相同），为此设计了新的计分比例，你认为三位应聘者中
（填：甲、乙或丙）将被淘汰．
甲 乙 丙
学历 9 8 9
笔试 8 7 9
上课 7 8 8
现场答辩 8 9 8
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：32+（﹣2）0﹣17．
20．（6分）解不等式2x+3≥﹣5，并把解集在数轴上表示出来．
21．（6分）已知：点A（1，3）是反比例函数y ＝ （k≠0）的图象与直线y ＝mx（m≠0）的一个
1 2
交点．
（1）求k、m的值；
（2）在第一象限内，当y ＞y 时，请直接写出x的取值范围．
2 122．（8分）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型
画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．
23．（8分）学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，黄老师收集了所有参赛班级的
成绩后，把成绩x（满分100分）分成四个等级（A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜
80，D：60≤x＜70）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据信息作答：
（1）参赛班级总数有 个；m＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）统计发现D等级中七年级、八年级各有两个班，为了提高D等级班级的朗诵水平，语
文组老师计划从D等级班级中任选两个班进行首轮培训，求选中两个班恰好是同一个年
级的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．24．（10分）金鹰酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客
房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工
程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：
（1）甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
（2）金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时
耗电1.5度；据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8
小时．若电费0.8元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围？
25．（10分）如图，AB为 O的直径，C是 O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，
作AD⊥MC，垂足为⊙D，已知AC平分⊙∠MAD．
（1）求证：MC是 O的切线；
（2）若AB＝BM＝⊙4，求tan∠MAC的值．
26．（12分）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方
形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．2022年广西百色市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项
是符合要求的）
1．（3分）﹣2023的绝对值等于（ ）
A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．2022
【分析】利用绝对值的意义求解．
【解答】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的含义．即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2．（3分） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解： 的倒数是 ，
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
3．（3分）篮球裁判员通常用抛掷硬币的方式来确定哪一方先选场地，那么抛掷一枚均匀的硬
币一次，正面朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据概率的计算公式直接计算即可．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结
果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率
为P（A）＝ ．
【解答】解：抛硬币有两种结果：正面向上、反面向上，
则正面向上的概率为 ．故选：B．
【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，必然事件的概率
为1，不可能事件的概率为0，如果A为随机事件，那么0＜P（A）＜1．
4．（3分）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【分析】方程移项合并，即可求出解．
【解答】解：移项得：3x﹣2x＝7，
合并同类项得：x＝7．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A． 三棱锥 B． 圆锥
C． 圆柱 D． 圆台
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：A．主视图为有一条公共边的两个三角形，故本选项不合题意；
B．主视图为等腰三角形，故本选项不合题意；
C．主视图为矩形，故本选项符合题意；
D．主视图为等腰梯形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识．主视图是指从物体的正面看物体所得到的图形．6．（3分）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（
）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【分析】利用为位似的性质得到△ABC与△A'B'C'相似比是1：3，然后根据相似三角形的性
质求解．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A'B'C'相似比是1：3，
∴△ABC与△A'B'C'的面积比是1：9．
故选：C．
【点评】本题考查了位似变换：位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；位似
比等于相似比．也考查了相似三角形的性质．
7．（3分）某班一合作学习小组有5人，某次数学测试成绩数据分别为65、78、86、91、85，则这
组数据的中位数是（ ）
A．78 B．85 C．86 D．91
【分析】将这组数据重新排列，再由中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为65、78、85、86、91，
所以这组数据的中位数为85，
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果
数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是
偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形
C．正三角形 D．圆
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
9．（3分）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD
【分析】利用基本作图得到CD垂直平分AB，然后根据线段垂直平分线的性质对各选项进
行判断．
【解答】解：由作图痕迹得CD垂直平分AB，
AE＝BE，AC＝BC，AB⊥CD．
所以A选项不一定成立，B、C、D选项成立．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了
线段垂直平分线的性质．
10．（3分）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移
1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ）A．（3，1） B．（3，3） C．（﹣1，1） D．（﹣1，3）
【分析】根据平移与图形的变化规律进行计算即可．
【解答】解：根据平移与图形变化的规律可知，
将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其图形上的对应点B′的横坐标减少
2，纵坐标增加1，
由于点B（1，2），
所以平移后的对应点B′的坐标为（﹣1，3），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化，掌握平移前后对应点坐标的变化规律是正确判断的关
键．
11．（3分）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
【分析】左边大正方形的边长为（a+b），面积为（a+b）2，由边长为a的正方形，2个长为a宽
为b的长方形，边长为b的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．
【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，
由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的
计算方法进行求解是解决本题的关键．
12．（3分）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定
全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为 ，满足已知条件的三角形有
两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三
边长为（ ）A．2 B．2 ﹣3 C．2 或 D．2 或2 ﹣3
【分析】根据题意知，CD＝CB，作CH⊥AB于H，再利用含30°角的直角三角形的性质可得
CH，AH的长，再利用勾股定理求出BH，从而得出答案．
【解答】解：如图，CD＝CB，作CH⊥AB于H，
∴DH＝BH，
∵∠A＝30°，
∴CH＝ AC＝ ，AH＝ CH＝ ，
在Rt△CBH中，由勾股定理得BH＝ ＝ ，
∴AB＝AH+BH＝ ＝2 ，AD＝AH﹣DH＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，理解题意，求出
BH的长是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正
数“数量相等，意义相反”，如果向东走5米，记作+5米，那么向西走5米，可记作 ﹣ 5
米．
【分析】利用正负数可以表示具有相反意义的量．
【解答】解：因为向东和向西是具有相反的意义，向东记作正数，则向西就记作负数．
故正确答案为：﹣5．
【点评】本题考查正负数的意义，即：正负数可以表示具有相反意义的量．
14．（3分）因式分解：ax+ay＝ a （ x + y ） ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式即可．【解答】解：ax+ay＝a（x+y）．
故答案为：a（x+y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．
15．（3分）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大
小为 13 5 °．
【分析】根据三角形外角定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
∠BAC＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
【点评】本题主要考查了角的计算，熟练掌握角的计算方法进行求解是解决本题的关键．
16．（3分）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2
米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 1 2 米．
【分析】设旗杆的高度为x米，根据“在同一时刻物高与影长的比相等”列方程即可解得
答案．
【解答】解：设旗杆的高度为x米，
根据题意得： ＝ ，
解得x＝12，
∴旗杆的高度为12米，
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形
的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解
决．
17．（3分）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，
进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（t）和路程
（s）数据如表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米到达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 21 2 千米．
t（小时） 0.2 0.6 0.8
s（千米） 20 60 80
【分析】可设小韦家到纪念馆的路程是x千米，根据高速路行驶速度不变的等量关系列出
方程计算即可求解．
【解答】解：设小韦家到纪念馆的路程是x千米，依题意有：
＝2，
解得x＝212．
故小韦家到纪念馆的路程是212千米．
故答案为：212．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量
关系，列出方程．
18．（3分）学校为落实立德树人，发展素质教育，加强美育，需要招聘两位艺术老师，从学历、
笔试、上课和现场答辩四个项目进行测试，以最终得分择优录取．甲、乙、丙三位应聘者的
测试成绩（10分制）如表所记，如果四项得分按照“1：1：1：1”比例确定每人的最终得分，
丙得分最高，甲与乙得分相同，分不出谁将被淘汰；鉴于教师行业应在“上课”项目上权
重大一些（其他项目比例相同），为此设计了新的计分比例，你认为三位应聘者中 甲
（填：甲、乙或丙）将被淘汰．
甲 乙 丙
学历 9 8 9
笔试 8 7 9
上课 7 8 8
现场答辩 8 9 8
【分析】根据加权平均数的概念即可得出答案．
【解答】解：∵如果四项得分按照“1：1：1：1”比例确定每人的最终得分，丙得分最高，甲
与乙得分相同，乙、丙的“上课”成绩大于甲的“上课”成绩，
∴“上课”项目上权重大一些（其他项目比例相同），则丙得分最高，甲得分最低，
∴三位应聘者中甲将被淘汰．
故答案为：甲．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：32+（﹣2）0﹣17．
【分析】首先计算乘方、零指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：32+（﹣2）0﹣17
＝9+1﹣17
＝﹣7．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂的运算，解答此题的关
键是要明确：a0＝1（a≠0）．
20．（6分）解不等式2x+3≥﹣5，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】利用不等式的性质即可求解．
【解答】解：移项得：2x≥﹣5﹣3，
合并同类项得：2x≥﹣8，
两边同时除以2得：x≥﹣4，
解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查了解不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符
号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同
一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的
方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
21．（6分）已知：点A（1，3）是反比例函数y ＝ （k≠0）的图象与直线y ＝mx（m≠0）的一个
1 2
交点．
（1）求k、m的值；
（2）在第一象限内，当y ＞y 时，请直接写出x的取值范围．
2 1【分析】（1）把A（1，3）代入解析式，即可求出答案；
（2）根据图象和交点坐标即可求出答案．
【解答】解：（1）把A（1，3）代入y ＝ （k≠0）得：3＝ ，
1
∴k＝3，
把A（1，3）代入y ＝mx（m≠0）得：3＝m，
2
∴m＝3．
（2）由图象可知：交于点（1，3）和（﹣1，﹣3），在第一象限内，当y ＞y 时，x的取值范围是
2 1
x＞1．
【点评】本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数，
能用待定系数法求出函数的解析式和会观察图象是解此题的关键．
22．（8分）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型
画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；
（2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应
边长，进而得出答案．【解答】（1）证明：在△ABC和△CDA中，
∵ ，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝2米，∠B＝30°，
∴AE＝1米，
∴S△ABC ＝ ×3×1＝ （平方米），
则S△CDA ＝ （平方米），
∴草坪造型的面积为：2× ＝3（平方米）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等
三角形的判定方法是解题关键．
23．（8分）学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，黄老师收集了所有参赛班级的
成绩后，把成绩x（满分100分）分成四个等级（A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜
80，D：60≤x＜70）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据信息作答：
（1）参赛班级总数有 4 0 个；m＝ 3 0 ；
（2）补全条形统计图；
（3）统计发现D等级中七年级、八年级各有两个班，为了提高D等级班级的朗诵水平，语
文组老师计划从D等级班级中任选两个班进行首轮培训，求选中两个班恰好是同一个年
级的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．【分析】（1）根据频率＝ 进行计算即可；进而求出成绩在“C等级”所占的百分比，
确定m的值；
（2）求出“C等级”人数即可补全条形统计图；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）从两个统计图中可知，成绩在“A等级”的有8人，占调查人数的20%，由
频率＝ 得，
调查人数为：8÷20%＝40（人），
成绩在“C等级”的学生人数为：40﹣8﹣16﹣4＝12（人），
成绩在“C等级”所占的百分比为：12÷40＝30%，即m＝30，
故答案为：40，30；
（2）补全条形统计图如下：（3）从D等级的七年级2个班，八年级2个班中，随机抽取2个班，所有可能出现的结果情
况如下：
共有12种可能出现的结果，其中来自同一年级的有4种，
所以从D等级的七年级2个班，八年级2个班中，随机抽取2个班，来自同一年级的概率
为 ＝ ．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，概率的计算，掌握频率＝ 是正确计算的
前提，列举出所有可能出现的结果是计算相应概率的关键．
24．（10分）金鹰酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客
房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工
程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：
（1）甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
（2）金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时
耗电1.5度；据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8
小时．若电费0.8元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围？
【分析】（1）设乙工程队每天安装x台空调，则甲工程队每天安装（x+5）台空调，根据甲、
乙两个工程队同时完成安装任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结
论；
（2）设每天有m（100≤m≤140）间客房有旅客住宿，利用每天所有客房空调所用电费W＝
电费的单价×每天旅客住宿耗电总数，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函数
上点的坐标特征，即可求出W的取值范围．
【解答】解：（1）设乙工程队每天安装x台空调，则甲工程队每天安装（x+5）台空调，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴x+5＝15+5＝20．
答：甲工程队每天安装20台空调，乙工程队每天安装15台空调，才能同时完成任务．
（2）设每天有m（100≤m≤140）间客房有旅客住宿，则W＝0.8×1.5×8m＝9.6m．
∵9.6＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴9.6×100≤W≤9.6×140，
即960≤W≤1344．
答：该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围为不少于960元且不超过
1344元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于m的函数关系式．
25．（10分）如图，AB为 O的直径，C是 O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，
作AD⊥MC，垂足为⊙D，已知AC平分⊙∠MAD．
（1）求证：MC是 O的切线；
（2）若AB＝BM＝⊙4，求tan∠MAC的值．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠D＝90°，然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证
OC∥DA，从而利用平行线的性质可得∠OCM＝90°，即可解答；
（2）先在Rt△OCM中，利用勾股定理求出MC的长，然后证明A字模型相似三角形
△MCO∽△MDA，从而利用相似三角形的性质可求出AD，CD的长，进而在Rt△ACD中，
利用锐角三角函数的定义求出tan∠DAC的值，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD⊥MC，
∴∠D＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠MAD，
∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥DA，
∴∠D＝∠OCM＝90°，
∵OC是 O的半径，
∴MC是⊙O的切线；
（2）解：⊙∵AB＝4，
∴OC＝OB＝ AB＝2，
∴OM＝OB+BM＝6，
在Rt△OCM中，MC＝ ＝ ＝4 ，
∵∠M＝∠M，∠OCM＝∠D＝90°，
∴△MCO∽△MDA，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴MD＝ ，AD＝ ，
∴CD＝MD﹣MC＝ ，
在Rt△ACD中，tan∠DAC＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠MAC＝tan∠DAC＝ ，
∴tan∠MAC的值为 ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角
形，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．（12分）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方
形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，即可得解；
（2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由 BF＝BF，得出
△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；
（3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角
形得出结果，当M在线段BD上时，得出∠BOM＝30°，类比①解答即可．
【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入
得： ，解得 ，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，
∵BF＝BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF＝∠BDF；
（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，
∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x ＝0，x ＝2，
1 2
∴E（2，3），
①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，
∴∠FDM为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴DF＝DM，
∴∠M＝∠DFM，
∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，
∵BM∥OC，
∴∠M＝∠MOC，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，
∴∠M＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝ ，
∴ME＝BM﹣BE＝3 ﹣2；
②如图，
当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝ ，
∴ME＝BE﹣BM＝2﹣ ，
综上所述，ME的值为：3 ﹣2或2﹣ ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形
的性质及解直角三角形，分类讨论思想的运用是解题的关键．
