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2022年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．（3分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）代数式 有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
4．（3分）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ﹣ ＝a（a≠0）
C． + ＝ D．a2•a3＝a5
6．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
7．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．a＝b B．a＞b C．|a|＜|b| D．|a|＞|b|
8．（3分）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区
入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD
于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A． B． C．2﹣ D．
10．（3分）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n
个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．（3分）在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方
差分别为S甲 2＝1.45，S乙 2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 ．（填“甲”、
“乙”中的一个）．
12．（3分）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
13．（3分）如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则
△BOC的周长为 ▱ ．
14．（3分）分式方程 ＝ 的解是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点
C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧 的长是 ．（结果保留 ）
π
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺
时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度
数为 ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 ．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解不等式：3x﹣2＜4．
18．（4分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．
19．（6分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调
查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min 频数 频率
30≤t＜60 4 0.1
60≤t＜90 7 0.175
90≤t＜120 a 0.35
120≤t＜150 9 0.225
150≤t＜180 6 b
合计 n 1
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ ，b＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于
120min的学生人数．20．（6分）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储
存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如
图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值
范围．
21．（8分）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
22．（10分）如图，AB是 O的直径，点C在 O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作⊙AC的垂线，交劣弧⊙于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作
法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．23．（10分）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某
一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，
CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角 为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分α．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
24．（12分）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点
Q′也在G上时，求G在 ≤x≤ +1的图象的最高点的坐标．
25．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝ DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+
CF的最小值；如果不是，请说明理由．2022年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．（3分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
【分析】根据基本几何体的展开图判断即可．
【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，
∴判断这个几何体是圆锥，
故选：A．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度
后与自身重合．
3．（3分）代数式 有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式 有意义时，x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定
义是解题关键．
4．（3分）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
【分析】直接把已知点代入，进而求出k的值．
【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，
∴﹣5＝3k，
解得：k＝﹣ ，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出k的值是解题关键．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ﹣ ＝a（a≠0）
C． + ＝ D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同
底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A． ＝﹣2，故此选项不合题意；
B． ﹣ ＝1，故此选项不合题意；
C． + ＝2 ，故此选项不合题意；D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底
数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
【分析】根据图象得出a，c的符号即可判断A、B，利用二次函数的性质即可判断C、D．
【解答】解：∵图象开口向上，
∴a＞0，故A不正确；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，故B不正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
故C正确，D不正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
7．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）A．a＝b B．a＞b C．|a|＜|b| D．|a|＞|b|
【分析】根据a，b两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．
【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a≠b，故不符合题意；
B．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故不符合题意；
C．由数轴可知|a|＜|b|，故符合题意；
D．由C可知不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在
于正确判断a，b的正负，以及绝对值的大小．
8．（3分）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区
入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，再由概率公式求
解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，
∴甲被抽中的概率为 ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查的用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结
果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
9．（3分）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD
于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）A． B． C．2﹣ D．
【分析】连接EF，由正方形ABCD的面积为3，CE＝1，可得DE＝ ﹣1，tan∠EBC＝
＝ ＝ ，即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF＝ ∠ABE＝30°，故AF＝
＝1，DF＝AD﹣AF＝ ﹣1，可知EF＝ DE＝ ×（ ﹣1）＝ ﹣ ，而M，N
分别是BE，BF的中点，即得MN＝ EF＝ ．
【解答】解：连接EF，如图：
∵正方形ABCD的面积为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝ ，
∵CE＝1，
∴DE＝ ﹣1，tan∠EBC＝ ＝ ＝ ，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵AF平分∠ABE，
∴∠ABF＝ ∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝ ＝1，
∴DF＝AD﹣AF＝ ﹣1，
∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝ DE＝ ×（ ﹣1）＝ ﹣ ，
∵M，N分别是BE，BF的中点，
∴MN是△BEF的中位线，
∴MN＝ EF＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及含30°角的直角三角形三边关系，等腰直角三角
形三边关系，解题的关键是根据已知求得∠EBC＝30°．
10．（3分）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个
图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n
个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即
可．
【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第n个图形
需要（8n﹣2）根小木棒是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．（3分）在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方
差分别为S甲 2＝1.45，S乙 2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 乙 ．（填“甲”、
“乙”中的一个）．
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的即可．
【解答】解：∵两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S甲 2＝1.45，S乙 2＝0.85，
∴S甲 2＞S乙 2，
∴考核成绩更为稳定的运动员是乙；
故答案为：乙．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键．
12．（3分）分解因式：3a2﹣21ab＝ 3 a （ a ﹣ 7 b ） ．
【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
故答案为：3a（a﹣7b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13．（3分）如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则
△BOC的周长为 ▱ 2 1 ．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝ AC，BO＝OD＝ BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝22，
∴OC+BO＝11，
∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边
形的对角线互相平分，属于中考基础题．14．（3分）分式方程 ＝ 的解是 x ＝ 3 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ＝ ，
3（x+1）＝4x，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，2x（x+1）≠0，
∴x＝3是原方程的根，
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点
C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧 的长是 2 ．（结果保留 ）
π π
【分析】连接OD，OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠COE，再
根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．
【解答】解：连接OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，
∴∠A＝∠COE，
∵圆O与边AB相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∴∠A+∠AOD＝90°，
∴∠COE+∠AOD＝90°，∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，
∴劣弧 的长是 ＝2 ．
π
故答案为：2 ．
π
【点评】本题考查了切线的性质，弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是
解题的关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺
时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度
数为 120 ° ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 75 ° ．
【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明
∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明
△BEO是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，
，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴点P′在射线EP′上运动，
如图1中，设EP′交BC于点O，
当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，
当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝ OB，OP′＝ OC，
∴EP′＝EO+OP′＝ OB+ OC＝ BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．
故答案为：120°，75°．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角
形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解不等式：3x﹣2＜4．
【分析】移项，合并同类项，系数化为1即可求解．【解答】解：移项得：3x＜4+2，
合并同类项得：3x＜6，
系数化为1得：x＜2．
【点评】本题考查一元一次不等式的解法，解题关键是熟知不等式的性质以及解一元一次
不等式的基本步骤．
18．（4分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．
【分析】根据等角对等边可得AB＝AC，然后利用SAS证明△ABD≌△ACE，即可解答．
【解答】证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，以及等腰三角形的
判定与性质是解题的关键．
19．（6分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调
查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min 频数 频率
30≤t＜60 4 0.1
60≤t＜90 7 0.175
90≤t＜120 a 0.35
120≤t＜150 9 0.225
150≤t＜180 6 b
合计 n 1
请根据图表中的信息解答下列问题：（1）频数分布表中的a＝ 1 4 ，b＝ 0.1 5 ，n＝ 4 0 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于
120min的学生人数．
【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”可得n的值，进而得出a、b的值；
（2）根据a的值即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计总体解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知，n＝4÷0.1＝40，
∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝0.15，
故答案为：14；0.15；40；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）480× ＝180（名），
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为180名．【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图表中获取数
量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
20．（6分）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储
存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如
图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值
范围．
【分析】（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S＝ ，把点（20，500）代入解析
式求出V的值；
（2）由d的范围和图像的性质求出S的范围．
【解答】解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S＝ ，把点（20，500）代入解
析式得500＝ ，
∴V＝10000．
（2）由（1）得S＝ ，
∵S随d的增大而减小，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625，
【点评】此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数
关系，难易程度适中．
21．（8分）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式化简T；
（2）根据根的判别式可求a2+ab，再代入计算可求T的值．
【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2
＝6a2+6ab；
（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，
∴a2+ab＝1，
∴T＝6×1＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算，根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根
与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
22．（10分）如图，AB是 O的直径，点C在 O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作⊙AC的垂线，交劣弧⊙于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作
法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
【分析】（1）利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线即可；
（2）根据垂径定理、勾股定理可求出直径AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位线定理可求
出OE，即点O到AC的距离，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD，再根
据锐角三角函数的定义可求出答案．
【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于 AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q
两点，画直线PQ交劣弧 于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定
理可知，直线PQ一定过点O；（2）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°⊙，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB＝ ＝10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝ AC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD＝ ＝ ＝2
∴sin∠ACD＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查尺规作图，直角三角形的边角关系以及三角形中位线定理，掌握直角三
角形的边角关系以及三角形的中位线定理是解决问题的前提．
23．（10分）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某
一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，
CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角 为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分α．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
【分析】（1）根据已知BC＝5CD，进行计算即可解答；
（2）若选择条件①，根据同一时刻的物高与影长是成比例的，进行计算即可解答；
若选择条件②，过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝
8m，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，
∴BC＝5×1.6＝8（m），
∴BC的长为8m；
（2）若选择条件①：
由题意得：
＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB＝12.8，
∴旗杆AB的高度为12.8m；
若选择条件②：
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，
∴AF＝DF•tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），
∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），∴旗杆AB的高度约为12.8m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（12分）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点
Q′也在G上时，求G在 ≤x≤ +1的图象的最高点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）①设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣
3，再由a＝ ＜0，求m的取值即可；
②由题意求出Q点的横坐标为m+ ，联立方程组 ，整理得ax2+（1﹣
2ma）x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得m+m+ ＝2m﹣ ，可求a＝﹣2，从而可求
m＝2或m＝﹣ ，确定抛物线的解析式后即可求解．
【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵点P（m，n）在直线l上，
∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，
∴a＝ ，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a＝ ＜0，
∴m＜10且m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴Q点与Q'关于x＝m对称，
∴Q点的横坐标为m+ ，
联立方程组 ，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
∴m+m+ ＝2m﹣ ，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m＝﹣ ，
当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此时抛物线的对称轴为直线x＝2，图象在 ≤x≤ 上的最高点坐标为（2，5）；
当m＝﹣ 时，y＝﹣2（x+ ）2+ ，
此时抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ，
图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；
综上所述：G在 ≤x≤ +1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系
数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
25．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝ DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+
CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据菱形120°内角得邻补角是60°，
利用三角函数即可解答；
（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，因为利用即可
求解S四边形ABEF ＝S△BEM +S梯形EMNF ﹣S△AFN ，所以先解直角三角形求出上面求各部分面积
需要的边长即可解答；
②设DF＝x，则BE＝ DF＝ x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点
G，过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于
N，所以四边形EMHY、FNHG是矩形，对边相等，方法同①，用含x的式子表示计算面积
需要的各边长并代入到S四边形ABEF ＝S△BEM +S梯形EMNF ﹣S△AFN 中，根号里面化简、合并、配
成二次函数的顶点式即可求出最值，从而解答．在计算CE+ CF的最小值时，有两种方法，参照解答过程．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝6，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
在Rt△ADH中，
DH＝AD•sin∠DAH＝6× ＝3 ，
AH＝AD•cos∠DAH＝6× ＝3，
∴BD＝ ＝ ＝6 ；
（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：
菱形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，
在Rt△BCM中，BM＝BC•cos∠ABC＝6× ＝3，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠DBA＝ ABC＝30°，在Rt△BEM中，
ME＝BM•tan∠DBM＝3× ＝ ，
BE＝ ＝ ＝2 ，
∵BE＝ DF，
∴DF＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
在Rt△AFN中，
∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴FN＝AF•sin∠FAN＝4× ＝2 ，
AN＝AF•cos∠FAN＝4× ＝2，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，
∴S四边形ABEF ＝S△BEM +S梯形EMNF ﹣S△AFN
＝ EM•BM+ （EM+FN）•MN﹣ AN•FN
＝ 3+ （ +2 ）×5﹣ 2×2
＝ + ﹣2
＝7 ；
②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+ CF的值是最小，
理由：设DF＝x，则BE＝ DF＝ x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于
点G，
过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如
图：∴EY∥FG∥AB，FN∥CH，
∴四边形EMHY、FNHG是矩形，
∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH，
由①可知：ME＝ BE＝ x，
BM＝ BE＝ x，
AN＝ AF＝ （AD﹣DF）＝3﹣ x，
FN＝ AF＝ ，
CH＝ BC＝3 ，BH＝ BC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝6﹣ x，
AH＝AB﹣BH＝3，
YH＝ME＝ x，
GH＝FN＝ ，
EY＝MH＝BM﹣BH＝ x﹣3，
∴CY＝CH﹣YH＝3 ﹣ x，
FG＝NH＝AN+AH＝6﹣ ，CG＝CH﹣GH＝3 ﹣ ＝ x，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣ x﹣ x＝9﹣2x，
∴S四边形ABEF ＝S△BEM +S梯形EMNF ﹣S△AFN＝ EM•BM+ （EM+FN）•MN﹣ AN•FN
＝ x× x+ （ x+ ）•（9﹣2x）﹣ （3﹣ x）•
＝ x2﹣ x+9
＝ （x﹣3）2+ ，
∵ ＞0，
∴当x＝3时，四边形ABEF的面积取得最小值，
方法一：CE+ CF＝ + •
＝ +
＝ + ×
＝ + ×
＝ + ，
∵（x﹣3）2≥0，当且仅当x＝3时，（x﹣3）2＝0，
∴CE+ CF＝ + ≥12，
当且仅当x＝3时，CE+ CF＝12，即当x＝3时，CE+ CF的最小值为12，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+ CF的值也最小，最小值为12．
方法二：
如图：将△BCD绕点B逆时针旋转60°至△BAG，连接CG，
在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，∵ ＝ ＝ ，∠CDF＝∠GBE＝60°，
∴△BEG∽△DFC，
∴ ＝＝ ＝ ，即GE＝ CF，
∴CE+ CF＝CE+GE≥CG＝12，
即当且仅当点C、E、G三点共线时，CE+ CF的值最小，
此时点E为菱形对角线的交点，BD中点，BE＝3 ，DF＝3，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+ CF的值也最小，最小值为12．
解法二：如图，在BD上截取DM，使得DM＝2 ，在DA上取点F，连接DF，使得
△DFM∽△BEC．
则有CE＝ FM，作点M关于AD阿德对称点M′，
∴CE+ CF＝ FM+ CF＝ （CF+FM）＝ （CF+FM′），
∴C，F，M′共线时，最小，
此时DF＝3，可得CE+ CF的值也最小，最小值为12．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形性质、解直角三角形、割补法求不规则图形面积、二
次函数的顶点式及最值等知识点，也考查了从特殊到一般的数学思想和转化思想，难度较大，
计算繁琐，解题关键是熟练掌握二次函数性质，是中考常考题型．
