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2022年山东省济宁市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求。
1．（3分）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
2．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是（
）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．﹣3（x﹣y）＝﹣3x+y B．x3•x2＝x6
C．（ ﹣3.14）0＝1 D．（x3）2＝x5
4．（3分π）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
5．（3分）某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外
书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（ ）A．从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降
B．从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
C．每月阅读课外书本数的众数是45
D．每月阅读课外书本数的中位数是58
6．（3分）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则
提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm/h，根据题意所列方程是（ ）
A． ＝ +1 B． +1＝
C． ＝ +1 D． +1＝
7．（3分）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96 cm2 B．48 cm2 C．33 cm2 D．24 cm2
π π π π
8．（3分）若关于x的不等式组 仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折
叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点
为E，则AE的长是（ ）A． B． C． D．
10．（3分）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个
圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个
数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，直线l ，l ，l 被直线l 所截，若l ∥l ，l ∥l ，∠1＝126°32'，则∠2的度数是
1 2 3 4 1 2 2 3
．
13．（3分）已知直线y ＝x﹣1与y ＝kx+b相交于点（2，1）．请写出一个b值 （写出一
1 2
个即可），使x＞2时，y ＞y ．
1 2
14．（3分）如图，A是双曲线y＝ （x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，
垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 ．15．（3分）如图，点A，C，D，B在 O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝ ，
⊙
则AD的长是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．（6分）已知a＝2+ ，b＝2﹣ ，求代数式a2b+ab2的值．
17．（7分）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名
学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分 组中值 频率
75.5≤x＜ 78 0.05
80.5
80.5≤x＜ 83 a
85.5
85.5≤x＜ 88 0.375
90.5
90.5≤x＜ 93 0.275
95.5
95.5≤x＜ 98 0.05
100.5
请根据图表信息，解答下列问题：（1）填空：n＝ ，a＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画
树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
18．（7分）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交
半圆于点E，在 上取点F，使 ＝ ，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
19．（8分）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，
两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本 运往B地的成本
（元/辆） （元/辆）
甲种 16 1200 900
乙种 12 1000 750（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物
资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为
t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
20．（8分）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA＝ ，sinB＝ ，
∴c＝ ，c＝ ．
∴ ．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究 ， ， 之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝
60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
21．（9分）已知抛物线C ：y＝﹣ （m2+1）x2﹣（m+1）x﹣1与x轴有公共点．
1
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线C 先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C（如图
1 2
所示），抛物线C 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA
2时，求n的值；
（3）在（2）的条件下，D为抛物线C 的顶点，过点C作抛物线C 的对称轴l的垂线，垂足
2 2
为G，交抛物线C 于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
2
22．（10分）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，
）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于
点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．2022年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求。
1．（3分）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
【分析】利用四舍五入的方法，从万分位开始四舍五入取近似值即可．
【解答】解：0.0158≈0.016，
故选：B．
【点评】本题主要考查了近似数和有效数字，正确利用四舍五入法取近似值是解题的关键．
2．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是（
）
A． B． C． D．
【分析】根据几何体的三视图判断即可．
【解答】解：几何体的主视图如下：
故选：A．
【点评】本题主要考查几何体的视图，熟练掌握主视图是从几何体的前面看是解题的关键．
3．（3分）下列各式运算正确的是（ ）A．﹣3（x﹣y）＝﹣3x+y B．x3•x2＝x6
C．（ ﹣3.14）0＝1 D．（x3）2＝x5
【分析π】利用去括号的法则，幂的运算性质和零指数幂的意义对每个选项进行逐一判断即
可得出结论．
【解答】解：∵﹣3（x﹣y）＝﹣3x+3y，
∴A选项的结论不正确；
∵x3•x2＝x3+2＝x5，
∴B选项的结论不正确；
∵（ ﹣3.14）0＝1，
∴C选π项的结论正确；
∵（x3）2＝x6，
∴D选项的结论不正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了去括号的法则，幂的运算性质和零指数幂的意义，正确利用上述
法则对每个选项作出判断是解题的关键．
4．（3分）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
5．（3分）某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外
书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（ ）A．从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降
B．从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
C．每月阅读课外书本数的众数是45
D．每月阅读课外书本数的中位数是58
【分析】根据统计图的数据分别判断各个选项即可．
【解答】解：∵5月份阅读课外书的本数有所上升，
故A选项不符合题意；
∵从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多50，
故B选项不符合题意；
∵每月阅读课外书本数的众数是58，
故C选项不符合题意；
∵每月阅读课外书本数的中位数是58，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查折线统计图的知识，熟练根据折线统计图获取相应的数据是解题的
关键．
6．（3分）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则
提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm/h，根据题意所列方程是（ ）
A． ＝ +1 B． +1＝
C． ＝ +1 D． +1＝【分析】根据提速后及原计划车速间的关系，可得出这辆汽车提速后的速度是（x+10）
km/h，利用时间＝路程÷速度，结合提速后可提前1小时到达目的地，即可得出关于x的分
式方程，此题得解．
【解答】解：∵这辆汽车比原计划每小时多行10km，且这辆汽车原计划的速度是xkm/h，
∴这辆汽车提速后的速度是（x+10）km/h．
依题意得： ＝ +1，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
7．（3分）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96 cm2 B．48 cm2 C．33 cm2 D．24 cm2
【分析π】根据圆锥的侧面展开π图为一扇形，这个扇形π的弧长等于圆锥底面的π周长，扇形的
半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
【解答】解：∵底面圆的直径为6cm，
∴底面圆的半径为3cm，
∴圆锥的侧面积＝ ×8×2 ×3＝24 cm2．
π π
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（3分）若关于x的不等式组 仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，
解不等式7﹣2x＞5得：x＜1，
∵关于x的不等式组 仅有3个整数解，
∴﹣3≤a＜﹣2，
故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组
的解集和已知得出结论是解此题的关键．
9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折
叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点
为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，得AD＝AB＝2，
∠B＝∠ADB，又再折叠纸片，使点C与点D重合，得CE＝DE，∠C＝∠CDE，即可得
∠ADE＝90°，AD2+DE2＝AE2，设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x，可得22+（3﹣x）2＝x2，即可解
得AE＝ ．
【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE＝DE，∠C＝∠CDE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠ADB+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴AD2+DE2＝AE2，
设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x，
∴22+（3﹣x）2＝x2，
解得x＝ ，
∴AE＝ ，故选：A．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾
股定理列方程．
10．（3分）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个
圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个
数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆
点的个数．
【解答】解：观察图形可知：
摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；
摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；
摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；
摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；
…
第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 x ≥ 3 ．
【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．
【解答】解：根据题意，得
x﹣3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式
中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（3分）如图，直线l ，l ，l 被直线l 所截，若l ∥l ，l ∥l ，∠1＝126°32'，则∠2的度数是
1 2 3 4 1 2 2 3
53°28 ' ．
【分析】由平行线性质即可解答．
【解答】解：如图：
∵l ∥l ，l ∥l ，
1 2 2 3
∴l ∥l ，
1 3
∴∠1＝∠3＝126°32'，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣126°32'＝53°28'；
故答案为：53°28'．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行的传递性和平行线的性质．
13．（3分）已知直线y ＝x﹣1与y ＝kx+b相交于点（2，1）．请写出一个b值 0（ 答案不唯
1 2
一） （写出一个即可），使x＞2时，y ＞y ．
1 2
【分析】由题意可知，当b＞﹣1时满足题意，故b可以取0．
【解答】解：直线y ＝x﹣1与y ＝kx+b相交于点（2，1）．
1 2
∵x＞2时，y ＞y ．
1 2
∴b＞﹣1，
故b可以取0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写b的值必须满足b＞﹣1．14．（3分）如图，A是双曲线y＝ （x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，
垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 4 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成相等的两部分，得到S△ACD ＝S△OCD ，S△ACB ＝
S△OCB ，即可得到S△ABD ＝S△OBD ，由反比例函数系数k的几何意义即可求得结论．
【解答】解：∵点C是OA的中点，
∴S△ACD ＝S△OCD ，S△ACB ＝S△OCB ，
∴S△ACD +S△ACB ＝S△OCD +S△OCB ，
∴S△ABD ＝S△OBD ，
∵点B在双曲线y＝ （x＞0）上，BD⊥y轴，
∴S△OBD ＝ ＝4，
∴S△ABD ＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，证得S△ABD ＝S△OBD 是
解题的关键．
15．（3分）如图，点A，C，D，B在 O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝ ，
⊙
则AD的长是 2 a ．【分析】连接AB，作直径CE．连接DE，设AD交BC于点T．解直角三角形求出DE，CE，
AB，AC，BC，再求出AT，DT，可得结论．
【解答】解：连接AB，作直径CE．连接DE，设AD交BC于点T．
∵∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∵EC是直径，
∴∠CDE＝90°，
∵∠CBD＝∠E，
∴tanE＝tan∠CBD＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝3a，
∴EC＝AB＝ ＝ ＝ a，
∴AC＝BC＝ AB＝ a，
∵∠CAT＝∠CBD，
∴tan∠CAT＝tan∠CBD＝ ，∴CT＝ a，BT＝ a，
∴AT＝ ＝ ＝ a，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵tan∠DBT＝ ＝ ，
∴DT＝ BT＝ a，
∴AD＝AT+DT＝2 a，
解法二：过点C作CE⊥AD于点E，则CE＝DE＝ a，AE＝ a，
∴AD＝AE+CE＝2 a．
故答案为：2 a．
【点评】本题考查解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．（6分）已知a＝2+ ，b＝2﹣ ，求代数式a2b+ab2的值．
【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝2+ ，b＝2﹣ ，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝（2+ ）（2﹣ ）（2+ +2﹣ ）
＝（4﹣5）×4
＝﹣1×4
＝﹣4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
17．（7分）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名
学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分 组中值 频率
75.5≤x＜ 78 0.05
80.5
80.5≤x＜ 83 a
85.5
85.5≤x＜ 88 0.375
90.5
90.5≤x＜ 93 0.275
95.5
95.5≤x＜ 98 0.05
100.5
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝ 4 0 ，a＝ 0.2 5 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画
树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．【分析】（1）根据频率之和等于1，频数除以百分比等于总人数求解；
（2）先求频数，再补全频数分布直方图；
（3）用组中值代表数据求解；
（4）利用树状图求概率．
【解答】解：（1）a＝1﹣0.05﹣0.375﹣0.275﹣0.05＝0.25；
n＝2÷0.05＝40；
故答案为：40，0.25；
（2）频数分布直方图如图示：
（3）78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05＝88.125，
所以这n名学生成绩的平均分为88.125分；
（4）用a，b表示成绩在75.5≤x＜80.5的学生，用m，n表示成绩在95.5≤x＜100.5的学生，
树状图如下：
选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率为： ＝ ．【点评】本题考查了频数分布表和频数分布直方图及概率，掌握各组人数、总人数与各组
的百分数间关系是解决本题的关键．
18．（7分）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交
半圆于点E，在 上取点F，使 ＝ ，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）连接OF，证明△DAO≌△DFO（SAS），可得∠DAO＝90°＝∠DFO，即可得
DF与半圆O相切；
（2）连接AF，证明△AOD∽△FBA，可得 ＝ ，DO＝ ，在Rt△AOD中，AD＝
＝ ，即可得矩形ABCD的面积是 ．
【解答】（1）证明：连接OF，如图：
∵ ＝ ，
∴∠DOA＝∠FOD，
∵OA＝OF，OD＝OD，
∴△DAO≌△DFO（SAS），
∴∠DAO＝∠DFO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°＝∠DFO，
∴OF⊥DF，
又OF是半圆O的半径，∴DF与半圆O相切；
（2）解：连接AF，如图：
∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，
∴DO⊥AF，
∵AB为半圆直径，
∴∠AFB＝90°，
∴BF⊥AF，
∴DO∥BF，
∴∠AOD＝∠ABF，
∵∠OAD＝∠AFB＝90°，
∴△AOD∽△FBA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴DO＝ ，
在Rt△AOD中，AD＝ ＝ ＝ ，
∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝ ×10＝ ，
答：矩形ABCD的面积是 ．
【点评】本题考查四边形与圆的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定
与性质，勾股定理等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
19．（8分）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，
两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本 运往B地的成本
（元/辆） （元/辆）
甲种 16 1200 900
乙种 12 1000 750（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物
资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为
t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【分析】（1）设甲种货车用了x辆，可得：16x+12（24﹣x）＝328，即可解得甲种货车用了10
辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
②根据前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，可得4≤t≤10，由一
次函数性质可得当t为4时，w最小，最小值是22700元．
【解答】解：（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了（24﹣x）辆，
根据题意得：16x+12（24﹣x）＝328，
解得x＝10，
∴24﹣x＝24﹣10＝14，
答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：
w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
∴w与t之间的函数解析式是w＝50t+22500；
②∵ ，
∴0≤t≤10，
∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，
∴16t+12（12﹣t）≥160，
解得t≥4，
∴4≤t≤10，
在w＝50t+22500中，
∵50＞0，
∴w随t的增大而增大，∴t＝4时，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元），
答：当t为4时，w最小，最小值是22700元．
【点评】本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和
函数关系式．
20．（8分）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA＝ ，sinB＝ ，
∴c＝ ，c＝ ．
∴ ．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究 ， ， 之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝
60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE＝csinB，AE
＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，从而得出结论；
解决问题：由拓展探究知， ，代入计算即可．
【解答】解：拓展探究
如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，sinB＝ ，
同理：sinB＝ ，
sin ，
sin ，
∴AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴ ， ，
∴ ；
解决问题
在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵ ，
∴ ，
∴AB＝30 ，
∴点A到点B的距离为30 m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出
是解题的关键．
21．（9分）已知抛物线C ：y＝﹣ （m2+1）x2﹣（m+1）x﹣1与x轴有公共点．
1
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线C 先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C（如图
1 2
所示），抛物线C 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA
2时，求n的值；
（3）在（2）的条件下，D为抛物线C 的顶点，过点C作抛物线C 的对称轴l的垂线，垂足
2 2
为G，交抛物线C 于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
2
【分析】（1）根据抛物线与x轴有公共点，可得Δ≥0，从而求得m的值，进而求得抛物线对
称轴，进一步得出结果；
（2）根据图象平移的特征可得出平移后抛物线的解析式，根据x＝0和y＝0可分别得出C
点和A坐标，根据OC＝OA列出方程，进而求得结果；
（3）从而可得B点C点坐标，由抛物线的解析式可得出点D坐标和点E坐标，进而求得
BE的解析式，从而得出点F坐标，进而得出CG＝EG＝DG＝FG＝1，进一步得出结论．
【解答】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，
∴[﹣（m+1）]2﹣4× ≥0，
∴﹣（m﹣1）2≥0，
∴m＝1，
∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；、
（2）解：由题意得，抛物线C 的解析式为：y＝﹣（x+1﹣n）2+4，
2
当x＝0时，y＝﹣（1﹣n）2+4，
∴OC＝﹣（1﹣n）2+4，
当y＝0时，﹣（x+1﹣n）2+4＝0，
∴x ＝n+1，x ＝n﹣3，
1 2
∵点A在B点右侧，∴OA＝n+1，
由OC＝OA得，
﹣（1﹣n）2+4＝n+1，
∴n＝2或n＝﹣1（舍去），
∴n＝2；
（3）证明：由（2）可得，
y＝﹣（x﹣1）2+4，B（﹣1，0），C（0，3），
∴E（2，3），D（1，4），
设直线BE的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝x+1，
∴当x＝1时，y＝1+1＝2，
∴CG＝EG＝DG＝FG＝1，
∴四边形CDEF是矩形，
∵DF⊥CE，
∴四边形CDEF是正方形．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数的解析式，平移图象的特征，正方
形判定等知识，解决问题的关键是平移前后抛物线的解析式之间的关系．
22．（10分）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，
）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于
点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 （ 0 ， ）或（ 0 ， 2 ） ；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）分为点P在线段AB上和在BA的延长线两种情形．当点P在AB上时，AD＝
OD，通过解Rt△ACD求得结果；当点P在BA延长线上时，OD＝OA＝2，从而求得点D坐
标；
（2）①设OD＝x，可证得△ACD∽△DOM，从而得出m和x之间二次函数关系式，进一步
求得结果；
②作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，可证得AE＝OF，从而表示出FH
和OH及DH，根据△DHF∽△DOM列出关于x的方程，进而求得x，进一步求得m的值．
【解答】解：（1）∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
当点P在线段AB上时，AD＝OD，
∴∠DAO＝∠AOD＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，
∵AC⊥y轴，
∴∠CAO＝∠AOB＝60°，
∴∠CAD＝∠OAC﹣∠DAO＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△AOC中，
AC＝OC•tan∠AOC＝ ＝1，OA＝2AC＝2，
在Rt△ACD中，
AD＝ ＝ ，
∴DO＝ ，
∴D（0， ），
当点P在BA的延长线上时，OD＝OA＝2，∴D（0，2），
故答案为：（0， ）或（0，2）；
（2）①设OD＝x，则CD＝ ﹣x，
∵∠ACD＝∠DOM＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵DM⊥AD，
∴∠ADM＝90°，
∴∠ADC+∠ODM＝90°，
∴∠CAD＝∠ODM，
∴△ACD∽△DOM，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴m＝x•（ ）＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∴当x＝ 时，m最大 ＝ ，
∴当m最大 ＝ 时，D（0， ）；
②如图，
假设存在m，使BE＝BF，
作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，
∵BE＝BF，
∴GE＝GF，∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∴AG＝OG，
∴AG﹣GE＝OG﹣GF，
即：AE＝OF，
由①知：m＝x ，
∵∠ACD＝∠CDQ＝∠AQD＝90°，
∴四边形ACDQ是矩形，
∴AQ＝CD＝ ﹣x，
在Rt△AEQ中，
AE＝ ＝ ＝ ，
∴OF＝AE＝ ，
在Rt△OFH中，
HF＝ ＝ ，OH＝ OF＝ ﹣x，
∴DH＝OD﹣OH＝x﹣（ ﹣x），
∵HF∥OM，
∴△DHF∽△DOM，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴x＝ ，
∴m＝ ＝2﹣ ＝ ．
【点评】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决
问题的关键是熟练掌握“一线三直角”等模型．
