文档内容
2022年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣
2．（3分）地球上的陆地面积约为149000000km2，数字149000000用科学记数法表示为
（ ）
A．1.49×107 B．1.49×108 C．1.49×109 D．1.49×1010
3．（3分）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．c＞d B．|c|＞|d| C．﹣c＜d D．c+d＜0
4．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）小明同学对数据12，22，36，4■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数
字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（ ）
A．平均数 B．标准差 C．方差 D．中位数
6．（3分）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．60 B．65 C．90 D．120
7．（3分）如π 图，将平行四边形ABπCD沿对角线BD折叠，π使点A落在E处．若∠1π＝56°，∠2＝
42°，则∠A的度数为（ ）A．108° B．109° C．110° D．111°
8．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
9．（3分）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足
OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为（ ）
A．4 B．8 C．8 D．16
10．（3分π）函数y＝[x]叫做高斯函数，其中x为任意实π数，[x]表示不超过x的最大整数．定义
{x}＝x﹣[x]，则下列说法正确的个数为（ ）
①[﹣4.1]＝﹣4；
②{3.5}＝0.5；
③高斯函数y＝[x]中，当y＝﹣3时，x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2；
④函数y＝{x}中，当2.5＜x≤3.5时，0≤y＜1．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
11．（3分）函数y＝ 的自变量x的取值范围为 ．
12．（3分）写出一个过点D（0，1）且y随x增大而减小的一次函数关系式 ．
13．（3分）满足不等式组 的整数解是 ．
14．（3分）不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，大小、形状
完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机
取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为 ．
15．（3分）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 ．16．（3分）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是
．
17．（3分）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为
．
18．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD
的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个
结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则
MN＝4；④若 ＝2，BE＝3，则EF＝4．其中正确结论的序号为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：| ﹣2|×（3﹣ ）0+ ．
π
20．（4分）先化简，再求值：（ ﹣a）÷ ．其中a＝2b，b≠0．
21．（5分）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零
件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每
天生产多少个零件？22．（6分）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人
员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD为1000m，且
点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：
≈1.4142， ≈1.7321）．
23．（7分）中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，我市某校团委组
织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的
成绩不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况．随机选取其中200名
学生的海选比赛成绩（总分100分）作为样本进行整理，得到海选成绩统计表与扇形统计
图如下：
抽取的200名学生成绩统计表
组别 海选成绩 人数
A组 50≤x＜ 10
60
B组 60≤x＜ 30
70
C组 70≤x＜ 40
80
D组 80≤x＜ a
90
E组 90≤x≤1 70
00
请根据所给信息解答下列问题：
（1）填空：①a＝ ，②b＝ ，③ ＝ 度；
（2）若把统计表每组中各个成绩用这组数据的中间θ值代替（例如：A组数据中间值为55
分），请估计被选取的200名学生成绩的平均数；
（3）规定海选成绩不低于90分记为“优秀”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学
生中成绩“优秀”的有多少人？24．（7分）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB
＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．
25．（7分）已知反比例函数y＝ 和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，
b+ ）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数y＝ x，y＝3x的图象分别与函数y＝ （x＞0）图象交于A，B两点，在y轴
上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理
由．26．（8分）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之
间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种
10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg
的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间
的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 ，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少
kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？
27．（9分）如图，已知BC是△ABC外接圆 O的直径，BC＝16．点D为 O外的一点，
∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点⊙E，EF＝2EG，连接OE． ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）求证：（OC+⊙OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．28．（9分）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图
象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP
为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出
m的取值范围．2022年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是 ．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）地球上的陆地面积约为149000000km2，数字149000000用科学记数法表示为
（ ）
A．1.49×107 B．1.49×108 C．1.49×109 D．1.49×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：149000000＝1.49×108，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．c＞d B．|c|＞|d| C．﹣c＜d D．c+d＜0
【分析】根据实数c，d在数轴上的对应点的位置可知，c＜0，d＞0且|c|＜|d|，然后逐一判断
即可解答．
【解答】解：由题意得：c＜0，d＞0且|c|＜|d|，
A、c＜d，故A不符合题意；
B、|c|＜|d|，故B不符合题意；
C、﹣c＜d，故C符合题意；
D、c+d＞0，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，绝对值，根据实数c，d在数轴上的对应点的位置得出：c
＜0，d＞0且|c|＜|d|是解题的关键．
4．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
5．（3分）小明同学对数据12，22，36，4■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数
字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（ ）
A．平均数 B．标准差 C．方差 D．中位数
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数
为36，与被涂污数字无关．故选：D．
【点评】本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
6．（3分）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．60 B．65 C．90 D．120
【分析π】先利用勾股定理求出π圆锥侧面展开图扇形的π半径，利用侧面展开图与π底面圆的关
系求出侧面展开图的弧长，再利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面展开图的面积．
【解答】解：圆锥侧面展开图扇形的半径为： ＝13，其弧长为：2× ×5＝10 ，
π π
∴圆锥侧面展开图的面积为： ＝65 ．
π
故选：B．
【点评】本题主要考查圆锥的计算，掌握侧面展开图与底面圆的关系是解题关键．
7．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝
42°，则∠A的度数为（ ）
A．108° B．109° C．110° D．111°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，再由三角形的外
角性质得∠ABD＝∠CDB＝28°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠的性质得：∠EBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，
∵∠1＝∠CDB+∠EBD＝56°，
∴∠ABD＝∠CDB＝28°，
∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ABD＝180°﹣42°﹣28°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
8．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
【分析】根据直角三角形概念可判断A，C，由等腰三角形，等边三角形定义可判断B，D．
【解答】解：∵有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，
∴有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确，
符合题意；
有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正确，不符合题意；
有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意；
底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查三角形及分类，掌握直角三角形，等腰三角形，等边三角形等概念是解题
的关键．
9．（3分）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足
OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为（ ）
A．4 B．8 C．8 D．16
【分析π】分两种情形：当点N在x轴的正半轴上或π原点时，过点Q作QR⊥ON于点R，
QT⊥OM于点T．设Q（x，y）．判断出点Q的运动轨迹，同法求出点N在x轴的负半轴上时，
点Q的运动轨迹的长，可得结论．
【解答】解：如图，当点N在x轴的正半轴上或原点时，过点Q作QR⊥ON于点R，
QT⊥OM于点T．设Q（x，y）．∵QM＝QN，QT∥ON，QR∥OM，
∴QT＝ ON，QR＝ OM，
∴QT+QR＝ （OM+ON）＝4，
∴x+y＝4，
∴y＝﹣x+4，
∴点Q在直线y＝﹣x+4上运动，
∵直线y＝﹣x+4与坐标轴交于（0，4），（4，0），
∴点Q运动路径的长＝ ＝4 ，
当点N在x轴的负半轴上时，同法可得点Q运动路径的长＝ ＝4 ，
综上所述，点Q的运动路径的长为8 ，
故选：B．
【点评】本题考查轨迹，三角形中位线定理，一次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻
找点Q的运动轨迹，学会构建一次函数，探究轨迹，属于中考常考题型．
10．（3分）函数y＝[x]叫做高斯函数，其中x为任意实数，[x]表示不超过x的最大整数．定义
{x}＝x﹣[x]，则下列说法正确的个数为（ ）
①[﹣4.1]＝﹣4；
②{3.5}＝0.5；
③高斯函数y＝[x]中，当y＝﹣3时，x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2；
④函数y＝{x}中，当2.5＜x≤3.5时，0≤y＜1．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算；
②根据定义{x}＝x﹣[x]进行计算；
③根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算；
④可以代入特殊值或边界点确定y的取值．
【解答】解：①根据题意可得：[﹣4.1]＝﹣5，错误；
②∵[3.5]＝3，
∴{3.5}＝3.5﹣[3.5]＝3.5﹣3＝0.5，正确；
③高斯函数y＝[x]中，当y＝﹣3时，x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2，正确；④函数y＝{x}中，当2.5＜x＜3时，[x]＝2，0.5＜x﹣[x]＜1，即0.5＜y＜1，
当x＝3时，[x]＝3，x﹣[x]＝0，即y＝0，
当3＜x≤3.5时，[x]＝3，0＜x﹣[x]≤0.5，即0＜y≤0.5，
综上，0≤y＜1，正确．
正确的命题有②③④．
故选：D．
【点评】本题考查了新定义：取整函数和一元一次不等式的应用，解决本题的关键是理解
新定义．新定义解题是近几年常考的题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
11．（3分）函数y＝ 的自变量x的取值范围为 x ≥﹣ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．列不等式求x的范围．
【解答】解：根据题意得：2x+3≥0，
解得：x≥﹣ ．
【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考
虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（3分）写出一个过点D（0，1）且y随x增大而减小的一次函数关系式 y ＝﹣ x + 1（ 答案
不唯一） ．
【分析】先设一次函数关系式为：y＝kx+b，根据增减性可知k＜0，然后再把D（0，1）代入关
系式进行计算即可解答．
【解答】解：设一次函数关系式为：y＝kx+b，
∵y随x增大而减小，
∴k＜0，
取k＝﹣1，
∵一次函数过点D（0，1），
∴把D（0，﹣1）代入y＝﹣x+b中可得：
﹣1＝b，∴一次函数关系式为：y＝﹣x+1，
故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数
的性质是解题的关键．
13．（3分）满足不等式组 的整数解是 2 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
解不等式①得：x≤2.5，
解不等式②得：x＞1，
∴原不等式组的解集为：1＜x≤2.5，
∴该不等式组的整数解为：2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的
关键．
14．（3分）不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，大小、形状
完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机
取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次所取卡片的编号之积为奇数的结果有
4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次所取卡片的编号之积为奇数的结果有4种，
∴两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为 ，故答案为： ．
【点评】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概
率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 或﹣ ．
．
【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，可得（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，计算即可得
出答案．
【解答】解：根据题意可得，
（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，
即2t﹣1＝±4，
解得：t＝ 或t＝ ．
故答案为： 或﹣ ．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式进行求解是解决本题的关
键．
16．（3分）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是 4 9
．
【分析】从数字找规律，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，
第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，
第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，
..．∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，
故答案为：49．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
17．（3分）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为
1 或﹣ ．
【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标
原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
【解答】解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣ ，
综上所述：m的值为1或﹣ ．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两
个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．
18．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD
的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个
结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则
MN＝4；④若 ＝2，BE＝3，则EF＝4．其中正确结论的序号为 ② ．【分析】根据已知条件可得EF＝AE+FC，即可判断①，进而推出∠EDF＝45°，判断②正
确，作DG⊥EF于点G，连接GM，GN，证明△GMN是直角三角形，结合勾股定理验证③，
证明∠BEF＝∠MNG＝30°，即可判断④．
【解答】解：∵正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，
∴BE+BF+EF＝AB+BC，
∴EF＝AE+FC，
若AE＝2，CF＝3，则EF＝2+3＝5，故①错误；
如图，在BA的延长线上取点H，使得AH＝CF，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠HAD＝∠FCD＝90°，
在△AHD和△CFD中，
，
∴△AHD≌△CFD（SAS），∴∠CDF＝∠ADH，HD＝DF，∠H＝∠DFC，
又∵EF＝AE+CF，
∴EF＝AE+AH＝EH，
在△DEH和△DEF中，
，
∴△DEH≌△DEF（SSS），
∴∠HDE＝∠FDE，∠H＝∠EFD，∠HED＝∠FED，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADH+∠ADF＝∠HDF＝90°
∴∠EDF＝∠HDE＝45°，
∵∠H＝∠DFC＝∠DFE，∠EMN＝∠HED+∠EAM＝45°+∠DEF，
∴∠EFN+∠EMN＝∠DFC+45°+∠DEF＝∠DFC+∠EDF+∠DEF＝180°，
则∠EFN+∠EMN＝180°，故②正确；
如图，作DG⊥EF于点G，连接GM，GN，
在△AED和△GED中，
，
∴△AED≌△GED（AAS），
同理，△GDF≌△CDF（AAS），
∴AG＝DG＝CF，∠ADE＝∠GDE，∠GDF＝∠CDF，
∴点A，G关于DE对称轴，C，G关于DF对称，
∴GM＝AM，GN＝CN，∠EGM＝∠EAM＝45°，∠NGF＝∠NCF＝45°，
∴∠MGN＝90°，即△GMN是直角三角形，若AM＝2，CN＝3，
∴GM＝2，GN＝3，
在Rt△GMN中，MN＝ ＝ ，故③错误；
∵MG＝AM，且 ＝2，BE＝3，
在Rt△GMN中，sin∠MNG＝ ＝ ＝ ，
∴∠MNG＝30°，
∵∠EFN+∠EMN＝180°，∠EMN+∠AME＝180°，
且∠CFN＝∠EFN，
∴∠AME＝∠CFN，
∴2∠AME＝2∠CFN，
即∠AMG＝∠CFG，
∴∠GMN＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠MNG＝30°，
∴cos∠BEF＝cos∠MNG＝ ＝ ，
∴EF＝2 ，故④错误，
综上，正确结论的序号为②，
故答案为：②．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判
定，题目有一定综合性，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：| ﹣2|×（3﹣ ）0+ ．
π
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：| ﹣2|×（3﹣ ）0+
π
＝（2﹣ ）×1+（﹣2）
＝2﹣ ﹣2
＝﹣ ．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，立方根，估算无理数的大小，准确熟练
地化简各式是解题的关键．
20．（4分）先化简，再求值：（ ﹣a）÷ ．其中a＝2b，b≠0．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a＝2b代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（ ﹣a）÷
＝ •
＝ •
＝ ，
当a＝2b时，原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
21．（5分）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零
件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每
天生产多少个零件？
【分析】设现在平均每天生产x个零件，根据现在生产800个零件所需时间与原计划生产
600个零件所需时间相同得： ＝ ，解方程并检验，即可得答案．
【解答】解：设现在平均每天生产x个零件，
根据题意得： ＝ ，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x＝80，
答：现在平均每天生产80个零件．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
22．（6分）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人
员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD为1000m，且
点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：≈1.4142， ≈1.7321）．
【分析】根据题意可得∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，
利用锐角三角函数的定义求出BD，AD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝1000m，
∴AD＝ ＝1000（m），
在Rt△BCD中，BD＝ ＝ ＝1000 （m），
∴AB＝BD﹣AD＝1000 ﹣1000≈732（m），
∴这条江的宽度AB约为732m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
23．（7分）中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，我市某校团委组
织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的
成绩不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况．随机选取其中200名
学生的海选比赛成绩（总分100分）作为样本进行整理，得到海选成绩统计表与扇形统计
图如下：
抽取的200名学生成绩统计表
组别 海选成绩 人数
A组 50≤x＜ 10
60
B组 60≤x＜ 30
70
C组 70≤x＜ 40
80
D组 80≤x＜ a
90
E组 90≤x≤1 7000
请根据所给信息解答下列问题：
（1）填空：①a＝ 5 0 ，②b＝ 1 5 ，③ ＝ 7 2 度；
（2）若把统计表每组中各个成绩用这组数据的中θ间值代替（例如：A组数据中间值为55
分），请估计被选取的200名学生成绩的平均数；
（3）规定海选成绩不低于90分记为“优秀”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学
生中成绩“优秀”的有多少人？
【分析】（1）根据频数分布表和扇形统计图中的数据，可以计算出a、b、 的值；
（2）根据加权平均数的计算方法，可以计算出被选取的200名学生成绩的平θ均数；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩
“优秀”的有多少人．
【解答】解：（1）a＝200﹣10﹣30﹣40﹣70＝50，
b%＝ ×100%＝15%，
＝360°× ＝72°，
θ
故答案为：50，15，72；
（2） ＝82（分），
即估计被选取的200名学生成绩的平均数是82分；
（3）2000× ＝700（人），
即估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优秀”的有700人．
【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
24．（7分）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．
【分析】（1）根据等式的性质可得BC＝EF，从而利用SSS证明△ABC≌△DFE，然后利用
全等三角形的性质可得∠ABC＝∠DFE，从而可得AB∥DF，即可解答；
（2）连接AD交BF于点O，利用平行四边形的性质可得OB＝OF，从而可得OE＝OC，再
利用等腰三角形的性质可得AO⊥EC，然后证明四边形ABDF是菱形，即可解答．
【解答】证明：（1）∵EB＝CF，
∴EB+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
∵AB＝DF，AC＝DE，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）连接AD交BF于点O，
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴OB＝OF，
∵BE＝CF，
∴OB﹣BE＝OF﹣CF，
∴OE＝OC，
∵AE＝AC，∴AO⊥EC，
∴四边形ABDF是菱形，
∴AB＝BD．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与
性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
25．（7分）已知反比例函数y＝ 和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，
b+ ）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数y＝ x，y＝3x的图象分别与函数y＝ （x＞0）图象交于A，B两点，在y轴
上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理
由．
【分析】（1）把（3a，b），（3a+1，b+ ）代入y＝x﹣1中，列出方程组进行计算即可解答；（2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接BP，此时AP+BP的最小，
即△ABP周长最小，先求出A，B两点坐标，从而求出AB的长，
再根据点B与点B′关于y轴对称，求出B′的坐标，从而求出AB′的长，进而求出
△ABP周长的最小值．
【解答】解：（1）把（3a，b），（3a+1，b+ ）代入y＝x﹣1中可得：
，
解得：k＝3，
∴反比例函数的关系式为：y＝ ；
（2）存在，
作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接BP，此时AP+BP的最小，即
△ABP周长最小，
由题意得： ，
解得： 或 ，
∴B（1，3），
由题意得： ，
解得： 或 ，
∴A（3，1），
∴AB＝2 ，
∵点B与点B′关于y轴对称，
∴B′（﹣1，3），BP＝B′P，
∴AB′＝2 ，
∴AP+BP＝AP+B′P＝AB′＝2 ，
∴AP+BP的最小值为2 ，∴△ABP周长最小值＝2 +2 ，
∴△ABP周长的最小值为2 +2 ．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，
根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（8分）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之
间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种
10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg
的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间
的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 增种果树 2 8 棵，每棵果树平均产量为 6 6 k g ，每增
种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？
【分析】（1）根据题意可知点P所表示的实际意义，列算式求出每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少多少kg；
（2）先求出A点坐标，再求出y与x之间的函数关系式，再求出自变量x的取值范围；
（3）根据题意写出二次函数解析式，根据其性质，求出当增种果树多少棵时，果园的总产
量w（kg）最大，及最大产量是多少．
【解答】解：（1）根据题意可知：点P所表示的实际意义是增种果树28棵，每棵果树平均产
量为66kg，
（75﹣66）÷（28﹣10）＝ ，
∴每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 kg，
故答案为：增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg， kg；
（2）
设在10棵的基础上增种m棵，
根据题意可得 m＝75﹣40，
解得m＝70，
∴A（80，40），
设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，
把P（28，66），A（80，40），
，
解得k＝﹣ ，b＝80，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣ x+80；自变量x的取值范围：0＜x≤80；
（3）设增种果树x棵，
W＝（60+x）（﹣0.5x+80）
＝﹣0.5x2+50x+4800，
∵﹣0.5＜0，
∴x＝﹣ ＝50，
W最大 ＝6050，
∴当增种果树50棵时，果园的总产量w（kg）最大，最大产量是6050kg．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式，用二次函数
的性质求出最大产量是解题关键．
27．（9分）如图，已知BC是△ABC外接圆 O的直径，BC＝16．点D为 O外的一点，
∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点⊙E，EF＝2EG，连接OE． ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）求证：（OC+⊙OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．
【分析】（1）由BC是△ABC外接圆 O的直径，得∠ABC+∠ACB＝90°，根据∠ACD＝
∠B，即得∠BCD＝90°，从而CD是⊙O的切线；
（2）连接AF，CG，证明△AEF∽△G⊙EC，可得AE•CE＝EG•EF，根据E为AC的中点，有
AE＝CE，OE⊥AC，即可得OC2﹣OE2＝EG•EF，（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，由四边形MNOC是矩形，得MN＝OC＝
BC＝8，根据EF＝2EG，可得NG＝ EG，NE＝ EG，EM＝MN﹣NE＝8﹣ EG，因CE2＝EG•EF＝2EG2，可得2EG2﹣（8﹣ EG）2＝（82﹣2EG2）﹣（ EG）2，解得EG即可得FG
＝3EG＝3 ﹣3．
【解答】（1）证明：∵BC是△ABC外接圆 O的直径，
∴∠BAC＝90°， ⊙
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∵OC是 O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明⊙：连接AF，CG，如图：
∵ ＝ ，
∴∠AFE＝∠GCE，
∵∠AEF＝∠GEC，
∴△AEF∽△GEC，
∴ ＝ ，
∴AE•CE＝EG•EF，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，OE⊥AC，
∴CE2＝OC2﹣OE2，AE•CE＝CE•CE＝CE2＝EG•EF，
∴OC2﹣OE2＝EG•EF，∴（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）解：过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，如图：
∵∠OCD＝∠ONM＝90°，FG∥BC，
∴四边形MNOC是矩形，
∴MN＝OC＝ BC＝8，
∵ON⊥FG，
∴FN＝GN，
∵EF＝2EG，
∴FG＝3EG，
∴NG＝ EG，
∴NE＝ EG，
∴EM＝MN﹣NE＝8﹣ EG，
由（2）知CE2＝EG•EF＝2EG2，
∴CM2＝CE2﹣EM2＝2EG2﹣（8﹣ EG）2＝ON2，
而ON2＝OE2﹣NE2＝（OC2﹣CE2）﹣NE2，
∴2EG2﹣（8﹣ EG）2＝（82﹣2EG2）﹣（ EG）2，
解得EG＝ ﹣1（负值已舍去），
∴FG＝3EG＝3 ﹣3．方法2：
过O作ON⊥EG于N，过E作EH⊥BC于H，如图：
设EG＝x，则EF＝2x，FG＝3x，
∵ON⊥EG，
∴NG＝ FG＝ x，
∴NE＝NG﹣EG＝ x＝OH，
∴CH＝OC﹣OH＝8﹣ x，
∵E为AC中点，O为BC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴∠OEC＝∠A＝90°＝∠EHC，
∵∠ECH＝∠OCE，
∴△ECH∽△OCE，
∴ ＝ ，
∴CE2＝OC•CH，
由（2）知CE2＝EG•EF＝2x•x＝2x2，
∴2x2＝8×（8﹣ x），
解得x＝ ﹣1或x＝﹣ ﹣1（舍去），
∴FG＝3x＝3 ﹣3．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及垂径定理及应用，三角形相似的判定与应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形和直角三角形解决问题．
28．（9分）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图
象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP
为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出
m的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的对称轴直接可求b的值；
（2）①求出M（2﹣ ，0），N（2+ ，0），再求出MN＝2 ，MN的中点坐标为
（2，0），利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出方程即可求解；
②求出抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），再求出y
＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0）当﹣x2+4x+1＝﹣4时，
解得x＝5（舍）或x＝﹣1，抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣
4），结合图像可得﹣1≤x＜2﹣ 或0≤x≤1或3≤x＜2+ 时，﹣4≤y＜0；
（3）通过画函数的图象，分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4；
（2）如图1：①令x2+bx+m＝0，
解得x＝2﹣ 或x＝2+ ，
∵M在N的左侧，∴M（2﹣ ，0），N（2+ ，0），
∴MN＝2 ，MN的中点坐标为（2，0），
∵△MNP为直角三角形，
∴ ＝ ，
解得m＝0（舍）或m＝﹣1；
②∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），
令x2﹣4x﹣1＝﹣4，
解得x＝1或x＝3，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），
∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0），
当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），
∴﹣1≤x＜2﹣ 或0≤x≤1或3≤x＜2+ 时，﹣4≤y＜0；
（3）y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），
如图2，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），当x＝5时，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）与线段AB有一个交点，
∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图3，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）经过点（0，﹣1）时，m＝﹣1，
此时图象C与线段AB有三个公共点，
∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图4，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点（0，﹣1）时，m＝1，
此时图象C与线段AB有两个公共点，
当y＝x2﹣4x+m（x≥0）的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，
解得m＝3，
此时图象C与线段AB有一个公共点，
∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形翻折的性质，
分类讨论，数形结合是解题的关键．
