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2022年青海省中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的）．
1．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线 D． 斐波那契螺旋线
2．（3分）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若 ＝ ，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣ x＝6，则x＝﹣2
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+4x3＝7x5 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（2+3x）（2﹣3x）＝9x2﹣4 D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y）
4．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
5．（3分）如图所示，A（2 ，0），AB＝3 ，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴
于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3 ，0） B．（ ，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣3 ，0）6．（3分）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被
截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，
连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．8
8．（3分）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某
一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通
规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千
米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）．9．（2分）﹣2022的相反数是 ．
10．（2分）若式子 有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（2分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“学习强国”平台上线的某天，
全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ．
12．（2分）不等式组 的所有整数解的和为 ．
13．（2分）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体
的小正方体的个数是 ．
14．（2分）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C三个面分别向下
在地上，地面所受压强分别为P ，P ，P ，压强的计算公式为P＝ ，其中P是压强，F是压
1 2 3
力，S是受力面积，则P ，P ，P 的大小关系为 （用小于号连接）．
1 2 3
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC
于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ．
16．（2分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB
＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．17．（2分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是 O
中弦AB的中点，CD经过圆心O交 O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则 O的半径⊙长
为 m． ⊙ ⊙
18．（2分）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的
扇形OCD，则此扇形的弧长为 cm．
19．（2分）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无
盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可
（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
20．（2分）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料
根．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）。
21．（7分）解方程： ﹣1＝ ．
22．（10分）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），
连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．（1）求证：△DCE≌△BCE；
（2）求证：∠AFD＝∠EBC．
23．（10分）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某
型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切
面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且
AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据： ≈1.414，
≈1.732）
24．（10分）如图，AB是 O的直径，AC是 O的弦，AD平分∠CAB交 O于点D，过点D作
O的切线EF，交A⊙B的延长线于点E⊙，交AC的延长线于点F． ⊙
⊙（1）求证：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．
25．（12分）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，
其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩
均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请
说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法
或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
26．（10分）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点
连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝
CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同
一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，
AE，BE之间的数量关系并说明理由．27．（13分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点
C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB ＝6的点P？如果存在，请
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）2022年青海省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的）．
1．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线 D． 斐波那契螺旋线
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
2．（3分）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若 ＝ ，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣ x＝6，则x＝﹣2
【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、若 ＝ ，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣ x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+4x3＝7x5 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（2+3x）（2﹣3x）＝9x2﹣4 D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y）
【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根
据计算结果得结论．
【解答】解：A．3x2与4x3不是同类项不能加减，故选项A计算不正确；
B．（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，故选项B计算不正确；
C．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2≠9x2﹣4，故选项C计算不正确；
D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y），故选项D计算正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决
本题的关键．
4．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】根据方程根的定义，将x＝1代入方程，解出m的值即可．
【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，
所以1+m+3＝0
解得m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定
系数的方法是将根代入方程求解．
5．（3分）如图所示，A（2 ，0），AB＝3 ，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴
于点C，则点C的坐标为（ ）A．（3 ，0） B．（ ，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣3 ，0）
【分析】根据点A坐标就可以求出线段OA的长，又因为AB＝3 ，所以求出CO长即可
解答．
【解答】解：∵A（2 ，0），AB＝3 ，
∴OA＝2 ，AC＝AB＝3 ，
∴OC＝AC﹣OA＝3 ﹣2 ＝ ，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为（﹣ ，0）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形性质的应用，解题关键是熟练掌握正负半轴表示的点的坐标
的性质．
6．（3分）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被
截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位
置关系的角称为同位角；
两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错
角；
两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内
角，并能区别它们．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，
连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．8
【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得
CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝ CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝ ＝20．
∵CD为中线，
∴CD＝ AB＝10．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则BF＝ CD＝5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的
突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
8．（3分）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某
一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千
米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车离剧场的距离y（千米）与
行驶时间t（小时）的函数关系采用排除法求解即可．
【解答】解：随着时间的增多，汽车离剧场的距离y（千米）减少，排除A、C、D；
由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，汽车离剧场的距离y没有变化；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势
要陡．
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类
型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）．
9．（2分）﹣2022的相反数是 202 2 ．
【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：﹣2022的相反数是：2022．
故答案为：2022．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
10．（2分）若式子 有意义，则实数x的取值范围是 x ＞ 1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
【解答】解：由题意得x﹣1＞0，
解得x＞1，
故答案为：x＞1．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义
的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
11．（2分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“学习强国”平台上线的某天，
全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 1.246×1 0 8
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：124600000＝1.246×108．
故答案是：1.246×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（2分）不等式组 的所有整数解的和为 0 ．
【分析】先解不等式组，求出x的范围，再求出满足条件的整数，相加即可得答案．
【解答】解： ，
由①得：x≥﹣2，
由②得x＜3，
∴﹣2≤x＜3，
x可取的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2；
∴所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，解题的关键是准确求出不等式组的解
集．
13．（2分）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体
的小正方体的个数是 5 ．【分析】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为5，也可以根据画三视图的方
法，发挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来．
【解答】解：由三视图可得，构成这个几何体的小正方体的个数是：1+2+1+1＝5．如图：
故答案为：5．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象
能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就能容
易得到答案了．
14．（2分）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C三个面分别向下
在地上，地面所受压强分别为P ，P ，P ，压强的计算公式为P＝ ，其中P是压强，F是压
1 2 3
力，S是受力面积，则P ，P ，P 的大小关系为 P ＜ P ＜ P （用小于号连接）．
1 2 3 1 2 3
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵P＝ ，F＞0，
∴P随S的增大而减小，
∵A，B，C三个面的面积比是5：3：1，
∴P ，P ，P 的大小关系是：P ＜P ＜P ，
1 2 3 1 2 3
故答案为：P ＜P ＜P ．
1 2 3
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确把握反比例函数的性质是解题的关键．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC
于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 40 ° ．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角
形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关
键．
16．（2分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB
＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 6 ．
【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将
阴影部分的面积转化为△BDC的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE ＝S△COF ，
∴S阴影 ＝S△AOE +S△BOF +S△COD ＝S△COF +S△BOF +S△COD ＝S△BCD ，
∵S△BCD ＝ BC•CD＝ ＝6，
∴S阴影 ＝6．故答案为6．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，
从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
17．（2分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是 O
中弦AB的中点，CD经过圆心O交 O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则 O的半径⊙长
⊙ ⊙
为 m．
【分析】连接OA，如图，设 O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在
Rt△AOC中利用勾股定理得到⊙22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设 O的半径为rm，
∵C是 O中弦AB的中点，CD过⊙圆心，
⊙
∴CD⊥AB，AC＝BC＝ AB＝2m，
在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝ ，
即 O的半径长为 m．
⊙
故答案为： ．【点评】本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦
所对的两条弧．
18．（2分）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的
扇形OCD，则此扇形的弧长为 2 0 cm．
π
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，
∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝ OA＝30cm，
∴弧CD的长＝ ＝20 cm，
π
故答案为：20 ．
π
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2分）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无
盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可
（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 （ 1 1 ﹣ 2 x ）（ 7 ﹣ 2 x ）
＝ 2 1 ．【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是（11﹣2x）cm，宽为（7﹣2x）cm，然
后根据长方形的面积＝长×宽，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，
故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面
的长和宽．
20．（2分）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料
根．
【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，据此可得答案．
【解答】解：由图可知：
第一个图形有木料1根，
第二个图形有木料1+2＝3（根），
第三个图形有木料1+2+3＝6（根），
第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），
.....．
第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝ （根），
故答案为： ．
【点评】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的变化规律是解
题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）。
21．（7分）解方程： ﹣1＝ ．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ﹣1＝ ，
﹣1＝ ，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0，
∴x＝4是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
22．（10分）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），
连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证：△DCE≌△BCE；
（2）求证：∠AFD＝∠EBC．
【分析】（1）由菱形的性质得出CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，进而利用“SAS”即可证明
△DCE≌△BCE；
（2）由菱形的性质得出DC∥AF，进而得出∠CDF＝∠AFD，由全等三角形的性质得出
∠CDF＝∠EBC，即可证明∠AFD＝∠EBC．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AF，
∴∠CDF＝∠AFD，
∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDF＝∠EBC，
∴∠AFD＝∠EBC．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形
的判定与性质，平行线的性质是解决问题的关键．
23．（10分）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某
型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切
面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且
AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据： ≈1.414，
≈1.732）
【分析】通过作垂线，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及等腰三角
形的性质，可求出BE、CE、DF、AF，进而求出AB，利用梯形面积的计算公式进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB
的延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，
∴BE＝ BC＝4，CE＝ BC＝4 ，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AF＝CE＝4 ，
由于FC＝AE，即4 +2＝AB+4，∴AB＝4 ﹣2，
∴S梯形ABCD ＝ （2+4 ﹣2）×4 ＝24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，
构造矩形、直角三角形是解决问题的关键．
24．（10分）如图，AB是 O的直径，AC是 O的弦，AD平分∠CAB交 O于点D，过点D作
O的切线EF，交A⊙B的延长线于点E⊙，交AC的延长线于点F． ⊙
⊙（1）求证：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，由AD平分∠CAB，OA＝OD，可得OD∥AF，而EF是 O的切线，
OD是 O的半径，有OD⊥EF，即得AF⊥EF； ⊙
（2）连⊙接CO并延长交 O于K，连接DK，DC，由CK是 O的直径，OD⊥EF，可得∠K＝
⊙ ⊙
∠CDF，即可得∠FAD＝∠K，从而△FAD∽△FDC， ＝ ，知 ＝ ，解得FD＝
，根据tan∠FAD＝ ＝ ，得∠FAD＝30°，故∠FAE＝2∠FAD＝60°，即得AE＝＝ ＝6，可得BE＝AE﹣AB＝6﹣4＝2．
【解答】（1）证明：连接OD，如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠FAD＝∠ODA，
∴OD∥AF，
∵EF是 O的切线，OD是 O的半径，
∴OD⊥⊙EF， ⊙
∴AF⊥EF；
（2）解：连接CO并延长交 O于K，连接DK，DC，如图：
⊙
∵CK是 O的直径，
∴∠CDK⊙＝90°，
∴∠K+∠DCK＝90°，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，即∠ODC+∠CDF＝90°，∵OC＝OD，
∴∠DCK＝∠ODC，
∴∠K＝∠CDF，
∵ ＝ ，
∴∠FAD＝∠K，
∴∠FAD＝∠CDF，
∵∠F＝∠F，
∴△FAD∽△FDC，
∴ ＝ ，
∵CF＝1，AC＝2，
∴FA＝CF+AC＝3，
∴ ＝ ，
解得FD＝ ，
在Rt△AFD中，tan∠FAD＝ ＝ ，
∴∠FAD＝30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE＝2∠FAD＝60°，
∴AE＝ ＝ ＝6，
∵AB＝4，
∴BE＝AE﹣AB＝6﹣4＝2，
答：BE的长为2．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等
知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
25．（12分）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，
其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从
七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩
均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请
说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法
或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【分析】（1）由众数和中位数的定义求解即可；
（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；
（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有
6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识；利用列
表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然
后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
26．（10分）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点
连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝
CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同
一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，
AE，BE之间的数量关系并说明理由．
【分析】（1）根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，证明△ABD≌△ACE（SAS），
即可得BD＝CE；
（2）根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE（SAS），即有AD＝
BE，∠ADC＝∠BEC，从而可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即知∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，由CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，可得DM＝ME＝CM，故AE＝AD+DE＝
BE+2CM．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：
如图：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三
角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．27．（13分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点
C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB ＝6的点P？如果存在，请
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点F的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函数
图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出
直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，结合点F的
坐标，即可求出线段EF的长；
（3）又点A，B的坐标可求出线段AB的长，设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），利用三角形的
面积计算公式，结合S△PAB ＝6，即可得出关于t的方程，解之即可得出t值，进而可得出点
P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得： ，解得： ，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的顶点F的坐标为（1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝1．当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n，
得： ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴点E的坐标为（1，﹣2），
∴EF＝|﹣2﹣（﹣4）|＝2．
（3）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝|3﹣（﹣1）|＝4．
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）．
∵S△PAB ＝6，
∴ ×4×|t2﹣2t﹣3|＝6，
即t2﹣2t﹣3＝3或t2﹣2t﹣3＝﹣3，
解得：t ＝1﹣ ，t ＝1+ ，t ＝0，t ＝2，
1 2 3 4
∴存在满足S△PAB ＝6的点P，点P的坐标为（1﹣ ，3）或（1+ ，3）或（0，﹣3）或（2，﹣
3）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐
标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及
解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析
式；（2）利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，求出点F，E的坐标；（3）利用
三角形的面积计算公式，找出关于t的一元二次方程．
