文档内容
2022年黑龙江省牡丹江市、鸡西市朝鲜族学校联合体中考数学
试卷
一、选择题（每小题3分，共30分。）
1．（3分）据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约16万吨，将16万
吨用科学记数法表示为（ ）
A．1.6×103吨 B．1.6×104吨 C．1.6×105吨 D．1.6×106吨
2．（3分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图．这个几何体只能是
（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一组数据13，10，10，11，16的中位数和平均数分别是（ ）
A．11，13 B．11，12 C．13，12 D．10，12
5．（3分）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2+4x＝10 B．3x2+8x﹣3＝0
C．x2﹣2x+3＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝12
6．（3分）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
7．（3分）函数 自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1且x≠3 B．x≥1 C．x≠3 D．x＞1且x≠3
8．（3分）王老师对本班40名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的人数是（ ）
组别 A型 B型 AB型 O型
频率 0.4 0.35 0.1 0.15
A．16人 B．14人 C．4人 D．6人
9．（3分）袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽
取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，
此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米
A．600﹣250 B．600 ﹣250 C．350+350 D．500
二、填空题：（每小题3分，共30分。）
11．（3分）分解因式：x2﹣2x＝ ．
12．（3分）若两个连续的整数a、b满足a＜ ＜b，则 的值为 ．
13．（3分）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为
．
14．（3分）在九张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，从中任
意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是 ．
15．（3分）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移
后抛物线的解析式为 ．
16．（3分）如图，在 O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若 O的半径为2，则弦AB
的长为 ．⊙ ⊙17．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ ．
18．（3分）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某
点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，
4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 上．
19．（3分）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间
每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产x
个，可列方程为 ．
20．（3分）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个
数有 ．
三、解答题：（共60分。）21．（5分）先化简，再求值：（ ）÷ ，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代
入求值．
22．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点
O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出点O的位置．
（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A B C ，请画出
1 1 1
△A B C ；
1 1 1
（3）在网格中画出格点M，使A M平分∠B A C ．
1 1 1 1
23．（5分）如图，已知抛物线y＝ （x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，
且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
24．（8分）某电视台为了解观众对“谍战”题材电视剧的喜爱情况，随机抽取某社区部分电
视观众，进行问卷调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：请根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次接受调查的女观众中，表示“不喜欢”的女观众所占的百分比是多少？
（2）求这次调查的男观众人数，并补全条形统计图．
（3）若该社区有男观众约1000人，估计该社区男观众喜欢看“谍战”题材电视剧的约有
多少人？
25．（12分）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通
知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙
组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的
折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲 （千米）、y乙 （千米）与时间x（小时）之间的
函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发
点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千
米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？26．（8分）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，
并给予证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜
想（不必证明）．
27．（8分）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运
动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 甲 乙
价格
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，
且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如
何进货？
28．（8分）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的
垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个
实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写
出P点的坐标．2022年黑龙江省牡丹江市、鸡西市朝鲜族学校联合体中考数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。）
1．（3分）据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约16万吨，将16万
吨用科学记数法表示为（ ）
A．1.6×103吨 B．1.6×104吨 C．1.6×105吨 D．1.6×106吨
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将16万吨用科学记数法表示为：1.6×105吨．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；
B、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原
图重合．3．（3分）如图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图．这个几何体只能是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三视图的定义一一判断即可．
【解答】解：观察图象可知，选项A符合题意．
故选：A．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面
的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答
案．
4．（3分）一组数据13，10，10，11，16的中位数和平均数分别是（ ）
A．11，13 B．11，12 C．13，12 D．10，12
【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照从小到大
（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据
的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把这组数据按从大到小的顺序排列是：10，10，11，13，16，
∴这组数据的中位数是：11，
平均数＝（13+10+10+11+16）÷5＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数的定义和平均数的求法，解题的关键是牢记定义，此题比较简
单，易于掌握．
5．（3分）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2+4x＝10 B．3x2+8x﹣3＝0
C．x2﹣2x+3＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝12
【分析】分别计算出判别式Δ＝b2﹣4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可．
【解答】解：A、方程变形为：x2+4x﹣10＝0，Δ＝42﹣4×1×（﹣10）＝56＞0，所以方程有两个
不相等的实数根，故A选项不符合题意；
B、Δ＝82﹣4×3×（﹣3）＝100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；
D、方程变形为：x2﹣5x﹣6＝0，Δ＝52﹣4×1×（﹣6）＝49＞0，所以方程有两个不相等的实
数根，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2
﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜
0，方程没有实数根．
6．（3分）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，
确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．
7．（3分）函数 自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1且x≠3 B．x≥1 C．x≠3 D．x＞1且x≠3
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且x﹣3≠0，
解得x≥1且x≠3．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负
数．
8．（3分）王老师对本班40名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的人数
是（ ）
组别 A型 B型 AB型 O型
频率 0.4 0.35 0.1 0.15
A．16人 B．14人 C．4人 D．6人
【分析】根据频数和频率的定义求解即可．【解答】解：本班A型血的人数为：40×0.4＝16．
故选：A．
【点评】本题考查了频数和频率的知识，属于基础题，掌握频数和频率的概念是解答本题
的关键．
9．（3分）袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽
取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两个球
数字之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，
∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是： ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，
此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米
A．600﹣250 B．600 ﹣250 C．350+350 D．500
【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设EF＝5x米，
∵斜坡BE的坡度为5：12，
∴BF＝12x米，
由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，
解得：x＝100，
则EF＝500米，BF＝1200米，
由题意可知，四边形DCFE为矩形，
∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，
在Rt△ADE中，tan∠AED＝ ，
则DE＝ ＝ AD，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝ ，
∴ ＝ ，
解得：AD＝600 ﹣750，
∴山高AC＝AD+DC＝600 ﹣750+500＝（600 ﹣250）米，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度
h和水平宽度l的比是解题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共30分。）
11．（3分）分解因式：x2﹣2x＝ x （ x ﹣ 2 ） ．
【分析】提取公因式x，整理即可．【解答】解：x2﹣2x＝x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因
式．
12．（3分）若两个连续的整数a、b满足a＜ ＜b，则 的值为 ．
【分析】 ＜ ＜ ，由此可确定a和b的值，进而可得出 的值．
【解答】解：∵3＝ ＜ ＜ ＝4，
∴a＝3，b＝4，
即 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查无理数的估算，注意夹逼法的运用．
13．（3分）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为
26+10 ．
【分析π】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥周长＝弧长+2母线长．
【解答】解：∵圆锥的底面半径是5，高是12，
∴圆锥的母线长为13，
∴这个圆锥的侧面展开图的周长＝2×13+2 ×5＝26+10 ．
故答案为26+10 ． π π
【点评】考查圆π锥的计算；掌握圆锥的侧面展开图扇形的弧长公式是解决本题的关键．
14．（3分）在九张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，从中任
意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是 ．
【分析】让绝对值不大于2的数的个数除以数的总数即为所抽卡片上数字的绝对值不大于
2的概率．
【解答】解：∵数的总个数有9个，绝对值不大于2的数有﹣2，﹣1，0，1，2共5个，
∴任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是 ．
故答案为 ．【点评】本题考查概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到绝
对值不大于2的数的个数是解决本题的易错点．
15．（3分）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移
后抛物线的解析式为 y ＝ 2 （ x + 1 ） 2 ﹣ 2 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长
度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y＝2
（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题
的关键．
16．（3分）如图，在 O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若 O的半径为2，则弦AB
的长为 2 ⊙． ⊙
【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，
在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．
【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝ OC＝1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB＝2AD＝2 ＝2 ＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．17．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ 3 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角
的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC ＝ AC•CD+ AB•DE＝ AC•BC，
即 ×6•CD+ ×10•CD＝ ×6×8，
解得CD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形
的面积列出方程是解题的关键．
18．（3分）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某
点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，
4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 OC 上．【分析】根据规律得出每6个数为一周期．用2013除以6，根据余数来决定数2013在哪条
射线上．
【解答】解：∵1在射线OA上，
2在射线OB上，
3在射线OC上，
4在射线OD上，
5在射线OE上，
6在射线OF上，
7在射线OA上，
……
每六个一循环，
2013÷6＝335……3，
∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，
∴所描的第2013个点在射线OC上．
故答案为：OC．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据数的循环和余数来决定点的位置是解题关键．
19．（3分）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间
每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产x
个，可列方程为 ＝ ．
【分析】根据甲车间生产500个玩具所用的时间＝乙车间生产400个玩具所用的时间，列
出方程即可解答．
【解答】解：设乙车间每天生产x个，则甲车间每天生产（x+10）个，由题意得： ＝ ，
故答案为： ＝ ．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
20．（3分）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个
数有 48 5 ．
【分析】由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2＝17个正三角形，
第三个图形中17×3+2＝53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2＝161个正三角形，
第五个图形中161×3+2＝485个正三角形．
【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2＝2×32﹣1＝17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2＝2×33﹣1＝53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2＝2×34﹣1＝161，
第五个图形正三角形的个数为161×3+2＝2×35﹣1＝485．
如果是第n个图，则有2×3n﹣1个
故答案为：485．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律解决问题．
三、解答题：（共60分。）
21．（5分）先化简，再求值：（ ）÷ ，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代
入求值．
【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝ •
＝2x+8，
分母不能为0，则x≠±2，
除数不能为0，则x≠0，
当x＝1时，原式＝2+8＝10．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此
题的关键．
22．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点
O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出点O的位置．
（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A B C ，请画出
1 1 1
△A B C ；
1 1 1
（3）在网格中画出格点M，使A M平分∠B A C ．
1 1 1 1
【分析】（1）连接对应点B、F，对应点C、E，其交点即为旋转中心的位置；
（2）利用网格结构找出平移后的点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据网格结构的特点作出即可．
【解答】解：（1）如图所示，点O为所求．
（2）如图所示，△A B C 为所求．
1 1 1
（3）如图所示，点M为所求．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，准确找出对应点的位置是解
题的关键，熟悉网格结构对解题也很关键．
23．（5分）如图，已知抛物线y＝ （x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
【分析】（1）将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；
（2）①求出的a代入确定出抛物线解析式，令y＝0求出x的值，确定出B与C坐标，令x
＝0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；
②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x＝﹣1，根据C与B关于对称轴对称，连接
BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y＝kx+b，将B与E坐标代入求出
k与b的值，确定出直线BE解析式，将x＝﹣1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定
出H的坐标．
【解答】解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2＝ （﹣2﹣2）（﹣2+a），
解得：a＝4；
（2）①由（1）抛物线解析式y＝ （x﹣2）（x+4），
当y＝0时，得：0＝ （x﹣2）（x+4），
解得：x ＝2，x ＝﹣4，
1 2
∵点B在点C的左侧，
∴B（﹣4，0），C（2，0），
当x＝0时，得：y＝﹣2，即E（0，﹣2），∴S△BCE ＝ ×6×2＝6；
②由抛物线解析式y＝ （x﹣2）（x+4），得对称轴为直线x＝﹣1，
根据C与B关于抛物线对称轴直线x＝﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，
设直线BE解析式为y＝kx+b，
将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得： ，
解得： ，
∴直线BE解析式为y＝﹣ x﹣2，
将x＝﹣1代入得：y＝ ﹣2＝﹣ ，
则H（﹣1，﹣ ）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与
坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．（8分）某电视台为了解观众对“谍战”题材电视剧的喜爱情况，随机抽取某社区部分电
视观众，进行问卷调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：请根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次接受调查的女观众中，表示“不喜欢”的女观众所占的百分比是多少？
（2）求这次调查的男观众人数，并补全条形统计图．
（3）若该社区有男观众约1000人，估计该社区男观众喜欢看“谍战”题材电视剧的约有
多少人？
【分析】（1）先求出接受调查的女观众的总人数，再由图可知表示“不喜欢”的女观众有
90人，然后用90除以总人数即可；
（2）用男观众中喜欢“谍战”题材电视剧的人数直接除以60%即可解答；
（3）利用样本估计总体的方法，用总人数乘以男观众喜欢看“谍战”题材电视剧的百分比
即可．
【解答】解：（1） ×100%＝60%．
答：女观众中“不喜欢”所占的百分比是60%．
（2）180÷60%＝300（人）．
答：这次调查的男观众有300人．
如图补全正确．（3）1000× ＝600（人）．
答：喜欢看“谍战”题材电视剧的男观众约有600人．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本估计总体的思想，解题的关键是
弄清题意，读懂统计图．
25．（12分）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通
知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙
组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的
折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲 （千米）、y乙 （千米）与时间x（小时）之间的
函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 1. 9 小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发
点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千
米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？
【分析】（1）由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所
以停留的时间为1.9时；
（2）观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，
所以求得点B的坐标是解答（2）题的关键，这就需要求得直线EF和直线BD的解析式，而
EF过点（1.25，0），（7.25，480），利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令x＝
6，即可求出点C的纵坐标，又因点D（7，480），这样就可求出CD即BD的解析式，从而求
出B点的坐标；（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在点B处时，x＝4.9，求出
此时的y乙 ﹣y甲 ，在点D有x＝7，也求出此时的y甲 ﹣y乙 ，分别同25比较即可．
【解答】解：（1）1.9；
（2）设直线EF的解析式为y乙 ＝kx+b，
∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上，
∴ ，
解得 ∴直线EF的解析式是y乙 ＝80x﹣100；
∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，
∴点C的纵坐标为80×6﹣100＝380；
∴点C的坐标是（6，380）；
设直线BD的解析式为y甲 ＝mx+n；
∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，
∴ ；
解得 ；∴BD的解析式是y甲 ＝100x﹣220；
∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲 得B（4.9，270），
∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．
（3）符合约定；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．
在点B处有y乙 ﹣y甲 ＝80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）＝22千米＜25千米，
在点D有y甲 ﹣y乙 ＝100×7﹣220﹣（80×7﹣100）＝20千米＜25千米，
∴按图象所表示的走法符合约定．
【点评】本题是依据函数图象提供的信息，解答相关的问题，充分体现了“数形结合”的
数学思想，是中考的常见题型，其关键是认真观察函数图象、结合已知条件，正确地提炼
出图象信息．
26．（8分）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系．（不必证明）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，
并给予证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜
想（不必证明）．
【分析】（1）延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE＝PG，DE＝FG，得到
CE＝CG，CP是EG的中垂线，在Rt△CPG中，利用正切函数即可求解；
（2）延长 GP 交 DA 于点 E，连接 EC，GC，先证明△PED≌△PGF，再证明
△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，即可求解；
（3）延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，作EF∥DC，先证△GFP≌△HDP，再
证△HDC≌△GBC，利用在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，即可求解．
【解答】解：（1）PG＝ PC；
如图1，延长GP交DC于点E，
∵P是DF的中点，
∴PD＝PF，
∵△BGF是正三角形，
∴∠BGF＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BGF＝∠ABC，
∴AB∥GF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∴CD∥GF，
∴∠CDP＝∠PFG，
在△PED和△PGF中，
，
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG，
∵△BGF是正三角形，
∴FG＝BG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CE＝CG，
∴CP是EG的垂直平分线，
在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，
∴PG＝tan∠PCG•PC＝ PC；
（2）猜想：PG＝ PC，证明如下：
如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，
∵∠ABC＝60°，△BGF是等边三角形，
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP＝∠GFP，
在△PED和△PGF中，
，
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，
在△CDE和△CBG中，，
∴△CDE≌△CBG（SAS），
∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，
∴∠ECG＝∠DCB＝120°，
∵PE＝PG，
∴CP⊥PG，∠PCG＝ ∠ECG＝60°，
∴PG＝tan∠PCG•PC＝ PC；
（3）猜想：PG＝ PC，
如图3，延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，过点F作EF∥DC，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
∴∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A，B，G，在同一直线上，
∴∠GBC＝120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°，
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴PG＝tan∠PCG•PC＝ PC．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直
角三角形，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
27．（8分）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运
动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 甲 乙
价格
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，
且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每
双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如
何进货？
【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解
即可；
（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一
次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增
减性分情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）依题意得， ＝ ，
整理得，3000（m﹣20）＝2400m，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原分式方程的解，
所以，m＝100；（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105﹣95+1＝11，
∴共有11种方案；
（3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000
（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x＝105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x＝95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问
题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）
要根据一次项系数的情况分情况讨论．
28．（8分）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的
垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个
实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写
出P点的坐标．【分析】（1）通过解方程x2﹣14x+48＝0可以求得OC＝6，OA＝8．则C（0，6）；
（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于
系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、
两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
【解答】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0得
x ＝6，x ＝8．
1 2
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，
∴OC＝6，OA＝8．
∴C（0，6）；
（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA＝8，则A（8，0）．
∵点A、C都在直线MN上，
∴ ，
解得， ，
∴直线MN的解析式为y＝﹣ x+6；
（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意知B（8，6）．
∵点P在直线MNy＝﹣ x+6上，∴设P（a，﹣ a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC＝PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P （4，3）；
1
②当PC＝BC时，a2+（﹣ a+6﹣6）2＝64，
解得，a＝ ，则P （﹣ ， ），P （ ， ）；
2 3
③当PB＝BC时，（a﹣8）2+（ a﹣6+6）2＝64，
解得，a＝ ，则﹣ a+6＝﹣ ，∴P （ ，﹣ ）．
4
综上所述，符合条件的点P有：P（4，3），P（﹣ ， ）P（ ， ），P（ ，﹣ ）．
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【点评】本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，
一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．
另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想．
